2018版浙江省高考物理教师文档讲义：第五章第3课时-机械能守恒定律及其应用（19页） 18页

第3课时　机械能守恒定律及其应用 考点一　重力势能(c/c)‎ ‎[基础过关]‎ 一、重力势能 ‎1．重力做功的特点 ‎(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。‎ ‎(2)重力做功不引起物体机械能的变化。‎ ‎2．重力做功与重力势能变化的关系 ‎(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大。‎ ‎(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量。即WG＝－(Ep2－Ep1)＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。‎ ‎(3)重力势能的相对性和系统性 ‎①重力势能的具体大小与零势能面的选取是有关的，即具有相对性。‎ ‎②重力势能是物体和地球共有的，即具有系统性。‎ 二、弹性势能 ‎1．概念：物体由于发生弹性形变而具有的能。‎ ‎2．大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。‎ ‎3．弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp。‎ ‎【过关演练】‎ ‎1．篮球场上，运动员练习投篮，篮球划过一条漂亮的弧线落入篮筐，球的轨迹如图中虚线所示。从篮球出手到落入篮筐的过程中，篮球的重力势能(　　)‎ A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 解析　篮球出手后先上升后下降，故重力势能先增大后减小，D正确。‎ 答案　D ‎2．质量为m的小球从离桌面高度为H处由静止下落，桌面离地高度为h，如图所示。若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中小球重力势能的变化分别为(　　)‎ A．mgh，减少mg(H－h)‎ B．mgh，增加mg(H＋h)‎ C．－mgh，增加mg(H－h)‎ D．－mgh，减少mg(H＋h)‎ 解析　以桌面为参考平面，小球落地时的重力势能Ep＝－mgh，故A、B错；整个过程中小球重力势能减少了mg(H＋h)，C错误，D正确。‎ 答案　D ‎[要点突破]‎ ‎1．对重力做功和重力势能的几点理解 ‎(1)重力做功的大小与物体的运动状态无关，与物体是否受其他力无关；‎ ‎(2)重力做功，一定会引起重力势能的变化；‎ ‎(3)重力势能是标量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在参考平面的重力势能大还是小；‎ ‎(4)WG＝－ΔEP中的负号表示重力做的功与重力势能变化的绝对值相等，符号相反。‎ ‎2．对弹性势能的理解 ‎(1)弹性势能是由物体的相对位置决定的能。‎ ‎(2)当弹簧形变量的长度为零时，弹性势能计为零，弹簧被拉长或压缩后，都具有弹性势能。‎ ‎(3)表达式适用范围：在弹簧的弹性限度之内，该式成立，与其他受力无关，与运动状态无关。‎ ‎【例题】 如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是(　　)‎ A．弹簧的弹性势能逐渐减少 B．弹簧的弹性势能逐渐增加 C．弹簧的弹性势能先增加再减少 D．弹簧的弹性势能先减少再增加 解析　当力F作用在物体上时，弹簧处于压缩状态，具有弹性势能，当撤去力F后，物体向右运动。随着物体向右运动，弹簧的压缩量逐渐减小，弹性势能减少，当弹簧恢复原长时，弹性势能为零，但物体的运动速度仍然向右，继续向右运动，弹簧被拉长，弹性势能增加，所以选项D正确。‎ 答案　D ‎[精练题组]‎ ‎1．关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)‎ A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定 B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大 C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了 D．重力势能的变化量与零势能面的选取无关 解析　物体的重力势能与零势能面的选取有关，同一物体在同一位置相对不同的零势能面的重力势能不同，选项A错误；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大；物体在零势能面以下，距零势面的距离越大，重力势能越小，选项B错误；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，选项C错误；重力做的功量度了重力势能的变化，选项D正确。‎ 答案　D ‎2．关于重力势能的几种理解，正确的是(　　)‎ A．重力势能的值与参考平面的选择有关 B．放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零 C．不同质量的物体，由于在同一地点，所以重力势能相等 D．因为重力势能是标量，所以只能取正值 解析　重力势能的值与参考平面有关，选定了参考平面后，物体处于参考平面低处重力势能为负值，A正确。‎ 答案　A ‎3．将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，下列说法中正确的是(取g＝10 m/s2)(　　)‎ A．重力做正功，重力势能增加1.0×104 J B．重力做正功，重力势能减少1.0×104 J C．重力做负功，重力势能增加1.0×104 J D．重力做负功，重力势能减少1.0×104 J 解析　WG＝－mgh＝－1.0×104 J，ΔEp＝－WG＝1.0×104 J，C项正确。‎ 答案　C ‎4．如图所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是(　　)‎ A．重力势能减少，弹性势能增大 B．重力势能增大，弹性势能减少 C．重力势能减少，弹性势能减少 D．重力势能不变，弹性势能增大 解析　弹簧向下压缩的过程中，弹簧压缩量增大，弹性势能增大；重力做正功，重力势能减少，故A正确。‎ 答案　A ‎5．(多选)物体在运动过程中，克服重力做功50 J，则下列说法中正确的是(　　)‎ A．物体的高度一定降低了 B．物体的高度一定升高了 C．物体的重力势能一定是50 J D．物体的重力势能一定增加50 J 解析　克服重力做功，即重力做负功，重力势能增加，高度升高，克服重力做多少功，重力势能就增加多少，但重力势能的大小是相对的，故A、C错误，B、D正确。‎ 答案　BD ‎【方法总结】‎ ‎(1)物体的重力势能大小与参考面的选择有关。‎ ‎(2)重力做功过程是重力势能改变的过程，重力势能的改变只与重力做功有关，与其他力做功无关。‎ 考点二　机械能守恒定律及应用(d/d)‎ ‎[基础过关]‎ ‎1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能。‎ ‎2．机械能守恒定律 ‎(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。‎ ‎(2)表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv。‎ ‎3．守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。‎ ‎【过关演练】‎ ‎1．(2016·浙江10月学考)如图所示，无人机在空中匀速上升时，不断增加的能量是(　　)‎ A．动能 B．动能、重力势能 C．重力势能、机械能 D．动能、重力势能、机械能 解析　无人机匀速上升，所以动能保持不变，所以选项A、B、D均错；高度不断增加，所以重力势能不断增加，在上升过程中升力对无人机做正功，所以无人机机械能不断增加，所以选项C正确。‎ 答案　C ‎2．下列运动过程中，机械能一定守恒的是(　　)‎ A．做自由落体运动的小球 B．在竖直平面内做匀速圆周运动的物体 C．在粗糙斜面上匀加速下滑的物块 D．匀速下落的跳伞运动员 解析　判断机械能是否守恒有两种方法，一是根据条件判断；二是直接判断动能和势能的总和是否保持不变。做自由落体运动的小球，只有重力做功，机械能守恒，选项A正确；做竖直面上的匀速圆周运动的物体，在运动中重力势能改变，而动能不变，机械能不守恒，故选项B错误；沿粗糙斜面加速下滑的物块，由于摩擦力做功，所以机械能一定不守恒，选项C错误；跳伞运动员带着张开的降落伞匀速下降，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小，故选项D错误。‎ 答案　A ‎[要点突破]‎ 要点一　机械能守恒的判断 只要满足下列条件之一，机械能一定守恒。 ‎ ‎(1)物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化。如自由落体运动、抛体运动等。 ‎ ‎(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。 ‎ ‎(3)物体既受重力，又受弹力，只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。 ‎ ‎(4)除受重力(或系统内弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零。如物体在沿斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下运动，其拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，其机械能守恒。‎ ‎【例1】 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　)‎ A．圆环的机械能守恒 B．弹簧弹性势能变化了mgL C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零 D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 解析　圆环在下落过程中弹簧的弹性势能增加，由能量守恒定律可知圆环的机械能减少，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，故A、D错误；圆环下滑到最大距离时速度为零，但是加速度不为零，即合外力不为零，故C错误；圆环重力势能减少了mgl，由机械能守恒定律知弹簧弹性势能增加了mgl，故B正确。‎ 答案　B 要点二　用机械能守恒定律解题的基本思路 ‎【例2】 (2015·浙江9月学考测试)如图所示是跳台滑雪的示意图，雪道由倾斜的助滑雪道AB、水平平台BC、着陆雪道CD及减速区DE组成，各雪道间均平滑连接，A处与水平平台间的高度差h＝45 m，CD的倾角为30°。运动员自A处由静止滑下，不计其在雪道ABC滑行和空中飞行时所受的阻力。运动员可视为质点。(g取10 m/s2)‎ ‎(1)求运动员滑离平台BC时的速度；‎ ‎(2)为保证运动员落在着陆雪道CD上，雪道CD长度至少为多少？‎ ‎(3)若实际的着陆雪道CD长为150 m，运动员着陆后滑到D点时具有的动能是着陆瞬间动能的80%。在减速区DE，滑行s＝100 m后停下，运动员在减速区所受平均阻力是其重力的多少倍？‎ 解析　(1)A→C过程中机械能守恒 mgh＝mv 得vC＝＝30 m/s ‎(2)设落点距抛出点C的距离为L，由平抛运动规律得 Lcos 30°＝vCt Lsin 30°＝gt2‎ 解得：L＝120 m ‎(3)运动员由A运动到落点过程中，由机械能守恒得 mg(h＋Lsin 30°)＝mv2‎ 设运动员在减速区减速过程中所受平均阻力是重力的k倍，根据动能定理有 ‎－kmgs＝0－mv 根据题意有 mv＝0.80×mv2‎ 解得k＝0.84‎ 答案　(1)30 m/s　(2)120 m　(3)0.84倍 ‎[精练题组]‎ ‎1．如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O 在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法中正确的是(　　)‎ A．小球的机械能守恒 B．小球的机械能增加 C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变 D．小球与弹簧组成的系统机械能守恒 解析　小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A、B错误；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能，等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。‎ 答案　D ‎2．总质量约为3.8吨“嫦娥三号”探测器在距月面3 m 处关闭反推发动机，让其以自由落体方式降落在月球表面。4条着陆腿触月信号显示，“嫦娥三号”完美着陆月球虹湾地区。月球表面附近重力加速度约为1.6 m/s2，4条着陆腿可视作完全相同的四个轻弹簧，在软着陆后，每个轻弹簧获得的弹性势能大约是(　　)‎ A．28 500 J B．4 560 J C．18 240 J D．9 120 J 解析　由机械能守恒定律，mgh＝4Ep，解得Ep＝＝4 560 J，选项B正确。‎ 答案　B ‎3．(2016·温州十校期中)如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H 处自由落下，不计空气阻力，假设地面为参考平面，则小球落到地面前瞬间的机械能为(　　)‎ A．0 B．mgh C．mgH D．mg(H＋h)‎ 解析　物体做自由落体运动，只受到重力的作用，所以机械能守恒，可知物体落地前的机械能等于物体最初的机械能，物体最初静止于距离地面高为H＋h的位置，也即物体最初的机械能为mg(H＋h)，则物体落地前机械能为mg(H＋h)，选项D正确。‎ 答案　D ‎4.为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为θ＝60°，长为L1＝2 m的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与长为L2＝ m的水平轨道BC相连，然后在C处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道D，如图所示。现将一个小球从距A点高为h＝0.9 m的水平台面上以一定的初速度v0水平弹出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB和BC间的动摩擦因数均为μ＝。g取10 m/s2，求：‎ ‎(1)小球初速度v0的大小；‎ ‎(2)小球滑过C点时的速率vC；‎ ‎(3)要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件。‎ 解析　(1)小球做平抛运动到达A点，由平抛运动规律知竖直方向有：v＝2gh，即：vy＝3 m/s。因为在A点的速度恰好沿AB方向，所以小球的初速度：‎ v0＝vytan 30°＝ m/s。‎ ‎(2)从水平抛出到C点的过程中，由动能定理得：‎ mg(h＋L1sin θ)－μmgL1cos θ－μmgL2＝mv－mv，解得vC＝3 m/s。‎ ‎(3)小球刚好能通过最高点时，由牛顿第二定律有：‎ mg＝m，‎ 小球做圆周运动过程中，由动能定理有：‎ ‎－2mgR1＝mv2－mv，解得：R1＝＝1.08 m。‎ 当小球刚好能到达与圆心等高时有：mgR2＝mv，‎ 解得R2＝＝2.7 m。‎ 当圆轨道与AB相切时：R3＝BCtan 60°＝1.5 m，即圆轨道的半径不能超过1.5 m。综上所述，要使小球不离开轨道，R应该满足的条件是：0＜R≤1.08 m。‎ 答案　(1) m/s　(2)3 m/s　(3)0＜R≤1.08 m ‎5.如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点。已知h＝2 m，s＝ m。取重力加速度大小g＝10 m/s2。‎ ‎(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；‎ ‎(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小。‎ 解析　(1)小环在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b点时的速度水平，使小环做平抛运动的轨迹与轨道bc重合，故有s＝vbt①‎ h＝gt2②‎ 在ab滑落过程中，根据动能定理可得mgR＝mv③‎ 联立三式可得R＝＝0.25 m ‎(2)下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，根据动能定理可得mgh＝mv④‎ 因为小环滑到c点时速度与竖直方向的夹角等于(1)问中做平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角，设为θ，则根据平抛运动规律可知sin θ＝⑤‎ 根据运动的合成与分解可得sin θ＝⑥‎ 联立①②④⑤⑥可得v水平＝ m/s。‎ 答案　(1)0.25 m　(2) m/s ‎【方法总结】‎ 机械能守恒定律与圆周运动的结合 绳 杆 圆管 m的受力情况 重力、绳的拉力 重力、杆的拉力或支持力 重力、外管壁的支持力或内管壁的支持力 过最高点的 临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球恰能做圆周运动得 v临＝0‎ 最高点A 的速度 vA≥ vA≥0‎ vA≥0‎ 活页作业 ‎[学 考 题 组])‎ ‎1．篮球从一定高度下落至地面，经多次反弹后静止在地面上，此过程中(　　)‎ A．动能时刻在减少 B．重力始终做正功 C．重力势能时刻在减少 D．机械能不守恒 解析　篮球的动能增大时，重力势能减小，动能减小时，重力势能增大，但机械能不守恒，D正确。‎ 答案　D ‎2．把一本质量为1.0 kg的书，从距地面1.2 m高的书架移到距地面2.0 m高的书架，这本书的重力势能增加了(　　)‎ A．0.8 J B．8 J C．－8 J D．20 J 解析　ΔEp＝mg·h＝1×10×(2.0－1.2) J＝8 J 答案　B ‎3．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小(　　)‎ A．一样大 B．水平抛的最大 C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大 解析　由机械能守恒定律mgh＋mv＝mv知，落地时速度v2的大小相等，故A正确。‎ 答案　A ‎4．如图所示，质量均为m的两个物体甲和乙从同一水平面下降相同高度，甲物体竖直向下运动，乙物体沿斜面下滑。下列说法正确的是(　　)‎ A．重力对甲做功mgh B．重力对乙做功mgl C．甲的重力势能增加mgh D．乙的重力势能减小mgl 答案　A ‎5．物体做自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h 代表下落的距离，以水平地面为零势能面(不计一切阻力)。下列图象能正确反映各物理量之间关系的是(　　)‎ 解析　由机械能守恒定律得Ep＝E－Ek，可知势能与动能关系的图象为倾斜的直线，C错；由动能定理得Ek＝mgh，则Ep＝E－mgh，故势能与h关系的图象也为倾斜的直线，D错；Ep＝E－mv2，故势能与速度关系的图象为开口向下的抛物线，B对；Ep＝E－mg2t2，势能与时间关系的图象也为开口向下的抛物线，A错。‎ 答案　B ‎6.如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换为质量为2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B下降h时的速度为(　　)‎ A. B. C. D．0‎ 解析　对弹簧和小球A，根据机械能守恒定律得弹性势能Ep＝mgh；对弹簧和小球B，根据机械能守恒定律有Ep＋×2mv2＝2mgh，得小球B下降h时的速度v＝，只有选项B正确。‎ 答案　B ‎7．取水平地面为重力势能零点。一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。不计空气阻力。该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　根据平抛运动的规律和机械能守恒定律解题。设物块水平抛出的初速度为v0，高度为h，由机械能守恒定律得mv＝mgh，即v0＝。物块在竖直方向上的运动是自由落体运动，故落地时的竖直分速度vy＝＝v0，则该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角θ＝，故选项B正确，故选项A、C、D错误。‎ 答案　B ‎8．静止在地面上的物体在竖直向上的恒力作用下上升，在某一高度撤去恒力。不计空气阻力，在整个上升过程中，物体机械能随时间变化关系是(　　)‎ 解析　设在恒力作用下的加速度为a，则机械能增量E＝Fh＝F·，知机械能随时间不是线性增加，撤去拉力后，机械能守恒，则机械能随时间不变。故C正确，A、B、D错误。‎ 答案　C ‎9．在实验操作前应该对实验进行适当的分析。研究平抛运动的实验装置示意图如图所示。小球每次都从斜槽的同一位置无初速释放，并从斜槽末端水平飞出。改变水平板的高度，就改变了小球在板上落点的位置，从而可描绘出小球的运动轨迹。某同学设想小球先后三次做平抛，将水平板依次放在如图1、2、3的位置，且1与2的间距等于2与3的间距。若三次实验中，小球从抛出点到落点的水平位移依次为x1、x2、x3，机械能的变化量依次为ΔE1、ΔE2、ΔE3，忽略空气阻力的影响，下面分析正确的是(　　)‎ A．x2－x1＝x3－x2，ΔE1＝ΔE2＝ΔE3‎ B．x2－x1>x3－x2，ΔE1＝ΔE2＝ΔE3‎ C．x2－x1>x3－x2，ΔE1<ΔE2<ΔE3‎ D．x2－x1t23；在水平方向上x12＝x2－x1＝v0t12，x23＝x3－x2＝v0t23，故有：x2－x1>x3－x2，又因忽略空气阻力的影响，故此过程中机械能守恒，所以有ΔE1＝ΔE2＝ΔE3＝0，选项B正确。‎ 答案　B ‎[加 试 题 组])‎ ‎10．如图所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜向上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为hA、hB、hC，则(　　)‎ A．hA＝hB＝hC B．hA＝hB＜hC C．hA＝hB＞hC D．hA＝hC＞hB 解析　对于A球和C球，当到达最高点时，速度均会减为0，所以由机械能守恒定律可得mv＝mgh，所以hA＝hC，而B球当上升到最高点时，只有竖直方向的分速度减为0，水平方向速度保持不变，所以由机械能定律得mv＝mghB＋mv，所以hA＝hC＞hB，故D正确。‎ 答案　D ‎11．如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道CDE在竖直平面内与光滑水平轨道AC相切于C点，水平轨道AC上有一轻质弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧自由端B与轨道最低点C的距离为4R，现用一个小球压缩弹簧(不拴接)，当弹簧的压缩量为l时，释放小球，小球在运动过程中恰好通过半圆形轨道的最高点E；之后再次从B点用该小球压缩弹簧，释放后小球经过BCDE轨道抛出后恰好落在B 点，已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，弹簧始终处在弹性限度内，求第二次压缩时弹簧的压缩量。‎ 解析　设第一次压缩量为l时，弹簧的弹性势能为Ep。‎ 释放小球后弹簧的弹性势能转化为小球的动能，设小球离开弹簧时速度为v1‎ 由机械能守恒定律得Ep＝mv 设小球在最高点E时的速度为v2，由临界条件可知 mg＝m，v2＝ 由机械能守恒定律可得mv＝mg·2R＋mv 以上几式联立解得Ep＝mgR 设第二次压缩时弹簧的压缩量为x，此时弹簧的弹性势能为Ep′‎ 小球通过最高点E时的速度为v3，由机械能守恒定律可得：Ep′＝mg·2R＋mv 小球从E点开始做平抛运动，由平抛运动规律得 ‎4R＝v3t，2R＝gt2解得v3＝2，‎ 解得Ep′＝4mgR 由已知条件可得＝，代入数据解得x＝l。‎ 答案　l ‎12．(2016·杭二中期中)如图是翻滚过山车的模型，光滑的竖直圆轨道半径为R＝2 m，入口的平直轨道AC和出口的平直轨道CD均是粗糙的，质量m＝2 kg的小车与水平轨道之间的动摩擦因数均为 ＝0.5。加速阶段AB的长度为l＝3 m，小车从A点由静止开始受到水平拉力F＝60 N的作用， 在B点撤去拉力，g取10 m/s2，试问：‎ ‎(1)要使小车恰好通过圆轨道的最高点，小车在C点的速度为多少？‎ ‎(2)满足第(1)的条件下，小车沿着出口平轨道CD滑行多远的距离？‎ ‎(3)要使小车不脱离轨道，平直轨道BC段的长度范围？‎ 解析　(1)小车恰好通过圆轨道的最高点mg＝m 由机械能守恒定律mv＝mg·2R＋mv 解得vC＝10 m/s ‎(2)根据动能定理：－μmgsCD＝0－mv 解得sCD＝10 m ‎(3)根据动能定理；Fl－μmg(l＋sBC)－mgh＝0－0‎ h≤R 得sBC≥11 m Fl－μmg(l＋sBC)＝mv vC≥10 m/s 得sBC≤5 m BC满足sBC≤5 m或sBC≥11 m。‎ 答案　(1)10 m/s　(2)10 m　(3) sBC≤5 m或sBC≥11 m