人教版必修二5.6《向心力》WORD教案5 4页

第6节 向心加速度 ‎【知识要点】‎ ‎1、从物体的受力方向看匀速圆周运动的加速度方向 图6－1‎ G FN FT 三个实例：1、地球绕太阳的运动，我们容易想到，地球受到了太阳对它的作用力。根据曲线运动的特点――做曲线运动的物体所受合外力总指向曲线内侧，我们容易想到，这个力的方向是由地球指向太阳（圆心）。‎ ‎2、小球的受力情况，显然，它受到重力、桌面对它的支持力和细线对它的拉力等三个力的作用，如图6－1所示。在竖直方向上小球没有发生运动，故重力、支持力的合力为零，所以小球所受合外力就等于细线的拉力，方向沿细线指向图钉（圆心）。‎ 图6－2‎ ‎3、四周有挡板的圆形转盘，靠挡板处有一小物块，随着转盘一起在做匀速转动，如图6－2所示，不计摩擦，则小物块受到重力、转盘对它的支持力和挡板对它的弹力等三个力的作用，同以上分析可得这样的结论：物块所受合外力的方向指向圆心。‎ 几个实例中，物体所受的合外力方向都指向圆心，所以物体的加速度也指向圆心。‎ ‎2、向心加速度 方向：设质点沿半径为r的圆做匀速圆周运动，某时刻位于A点，速度为vA，经过时间△t后位于B点，速度为vB。我们按以下思路讨论质点运动的加速度的方向。‎ ‎（1）分别作出质点在A、B两点的速度矢量vA和vB。由于是匀速圆周运动，vA和vB的长度是一样的。‎ ‎（2）为便于对vA和vB做比较，将vA的起点移到B，同时保持vA的长度和方向不变，它仍可代表质点在A处的速度。‎ ‎（3）以vA的箭头端为起点，vB的箭头端为终点做矢量。如前所述，△v就是质点由A运动到B的速度变化量。‎ vA vB O A B 图6－3‎ Δv ‎（4）是质点从A运动到B的平均加速度。由于与△v的方向相同，以下我们只△v讨论的方向，它代表了质点的加速度的方向。‎ ‎（5）△v并不与圆的半径平行，但当△t很小很小时，A、B两点非常非常接近，vA和vB也就非常非常接近，如图6－3所示。由于vA和vB的长度相等，它们与△v组成等腰三角形，当△t很小很小时，△v也就与vA（或vB）垂直，即与半径平行，或说△v指向圆心了。‎ vA vB O A B 图6－4‎ Δv 如图6－4所示，我们可以发现图中△v的方向与沿半径指向圆心的方向非常接近，实际上，当△t很小很小时，△v也就指向圆心了。‎ 由此可见，图6－3中，当△t很小很小时，△v也就与vA（或vB）垂直，即与半径平行，△v反映了速度变化量的大小和方向，当把这个矢量的起点移至A（或B）点时，我们就可发现其方向确实指向圆心。‎ 大小：‎ ‎（1）vA和vB的大小实际上就是图6－5中vA和vB的长度，解决几个物理量的关系，实际是找它们的几何关系。‎ ‎（2）如图6－6，当角θ用弧度表示时，弧长QP可以表示为QP＝aθ。当θ很小很小时，弧长与弦长没什么区别，所以此式也表示弦长。这个关系可以用来计算矢量△v的长度。‎ 在图6－6中，由三角形的相似关系可得 当θ很小很小时，有。（θ的单位为弧度）‎ 由加速度定义式可知an＝＝v 根据角速度定义式ω＝以及线速度与角速度的关系式v＝ωr可得 图6－5‎ O B A Δθ Δv an＝vω＝或an＝rω2‎ 图6－6‎ O Q P a θ ‎3、匀速圆周运动的运动性质 由于物体做匀速圆周运动的过程中，其角速度、速率和周期等都是不变的，因而物体在做匀速圆周运动过程中，向心加速度的大小是不变的，但向心加速度的方向在时刻变化着，所以匀速圆周运动是变加速运动。‎ ‎【例题讲解】‎ ‎【例1】关于向心加速度，以下说法中正确的是（ ）‎ A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直 B．向心加速度的方向保持不变 C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 ‎【解析】向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向。所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向就不始终指向圆心。正确选项为A、D。‎ ‎【例2】一小球被一细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，则（ ）‎ A．小球的角速度ω＝ B．小球在时间t内通过的路程为s＝t C．小球做匀速圆周运动的周期T＝ D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R ‎【解析】小球做圆周运动的线速度为v、角速度为ω，则有a＝＝Rω2，由此可得 v＝，ω＝ 周期T＝＝2π。‎ 所以小球在时间t内通过的路程为s＝v t＝t ，小球在时间t内可能发生的最大位移应该等于直径。正确选项为A、B、D。‎ ‎【例3】关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的是（ ）‎ A．在赤道上向心加速度最大 B．在两极向心加速度最大 C．在地球上各处，向心加速度一样大 D．随着纬度的升高，向心加速度的值逐渐减小 ‎【解析】由公式a＝rω2可以知道，在角速度一定的情况下，向心加速度大小与转动半径成正比关系。所以，在赤道处，物体转动半径即地球半径，其值最大，故其向心加速度最大；在两极，其转动半径为零，所以其向心加速度也为零；随着纬度的升高，其转动半径减小，故其向心加速度也减小。正确选项为A、D。‎ 图6－7‎ B b c C A a O ‎【例4】如图6－7所示，A、B两轮同绕轴O转动，A和C两轮用皮带传动，A、B、C三轮的半径之比为2∶3∶3，a、b、c为三轮边缘上的点。求：‎ ‎（1）三点的线速度之比；‎ ‎（2）三点转动的周期之比；‎ ‎（3）三点的向心加速度之比。‎ ‎【解析】（1）因A、B两轮同绕轴O转动，所以有ωa＝ωb，由公式v＝ωr可知 ‎   va∶vb＝(ωa ra)∶(ωb rb)＝ra∶rb＝2∶3‎ 又因为A和C两轮用皮带传动，所以有va＝vc ‎ 综上所述可知三轮上a、b、c三点的线速度之比va∶vb∶vc＝2∶3∶2‎ ‎（2）因为ωa＝ωb，所以有Ta＝Tb 因为va＝vc，根据T＝可得Ta∶Tc＝ra∶rc＝2∶3‎ 所以三点转动的周期之比Ta∶Tb∶Tc＝2∶2∶3‎ ‎（3）根据向心加速度公式a＝可得三点的向心加速度之比 aa∶ab∶ac＝∶∶＝∶∶＝6∶9∶4‎ r a O 图6－8‎ A B ‎【例5】如图6－8所示，是A、B两物体做匀速圆周运动是的向心加速度随半径变化的关系图象，A是以坐标轴为渐近线的双曲线，B是一条过原点的倾斜直线，则从图象可以看出（ ） ‎ A．A物体运动时线速度的大小保持不变B．A物体运动时角速度的大小保持不变 C．B物体运动时角速度随半径而变化D．B物体运动时线速度的大小保持不变 ‎【解析】在圆周运动中，向心加速度a＝＝rω2，由此可以看出：当线速度v一定时，向心加速度a与半径r成反比；当角速度ω一定时，向心加速度a与半径r成正比。从图象可知，A物体运动时遵循a＝的规律，其线速度大小保持不变；B物体运动时遵循a＝rω2的规律，其角速度的大小保持不变。正确选项为A。‎ ‎【例6】一个小球在竖直放置的光滑圆环的内槽里做圆周运动。关于小球的加速度方向，下列说法中正确的是（ ）‎ A．一定指向圆心 B．一定不指向圆心 C．只在最高点和最低点指向圆心 D．不能确定是否指向圆心 ‎【解析】小球受重力与圆环弹力的作用，重力方向竖直向下，弹力方向沿半径方向，只在最高点和最低点小球所受重力与弹力的合力才指向圆心。根据牛顿第二定律，小球的加速度也只在最高点和最低点指向圆心。正确选项为C。‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）‎ A．它是一种匀速运动 B．它是一种变速运动 C．它是一种匀变速运动 D．它是一种变加速运动 ‎2．关于向心加速度的物理意义，下列说法中正确的是（ ）‎ A．它描述的是线速度变化的快慢 B．它描述的是线速度方向变化的快慢 C．它描述的是线速度大小变化的快慢 D．它描述的是角速度变化的快慢 ‎3．质点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）‎ A．由可知，a与r成反比 B．由可知，a与ω成正比 C．由可知，ω与r成反比 D．由可知，ω与n成正比 ‎4．由于地球自转，地球上的物体有向心加速度。地面物体的向心加速度（ ）‎ A．其方向都指向地心  B．在赤道处最大 C．在纬度45°处最大  D．在两极处最大 ‎5．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期与向心加速度的关系，下列说法中正确的是（　 ）‎ A．角速度大的向心加速度一定大 B．线速度大的向心加速度一定大 C．线速度与角速度乘积大的向心加速度一定大 D．周期小的向心加速度一定大 图6－77‎ r1‎ r2‎ r3‎ 甲 乙 丙 ‎6．某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图6－77所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮边缘上某点的向心加速度为（　　）‎ A．　　B． C．　 D．‎