【推荐】专题32 带电粒子在交变电、磁场中运动-2017-2018学年高二物理专题提升之电学 17页

一：专题概述 带电粒子在交变电、磁场运动的试题近几年在各地模拟考试题中时有出现,考查的结果是学生的得分率很低,成为教学中的一个新难点.原因是多方面的.一是学生遇到这部分题目就怕;二是学生未能深入掌握带电粒子在交变电、磁场中运动的特点.‎ 带电粒子在交变电场或交变磁场中的运动情况是比较复杂的,因为其运动情况不仅与电场、磁场变化的规律有关,还与粒子进入电场、磁场的时刻有关.解答此类问题时,要从粒子的受力情况入手,分析粒子在不同时间间隔,内的运动情况,准确找出粒子运动情况关于某一时间、某一中心或某一轴线对称的关系,从而为解题找到一条捷径.‎ 二：典例精讲 典例1：如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点．Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量．‎ ‎ (1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小．‎ ‎(2)求电场变化的周期T.‎ ‎(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值．‎ ‎【答案】(1)　　(2)＋　(3) ‎【解析】(1)微粒做直线运动，则 mg＋qE0＝qvB①‎ 微粒做圆周运动，则mg＝qE0②‎ 联立①②得q＝③‎ B＝④‎ ‎ ‎ ‎(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求d≥2R⑩‎ 联立③④⑥得R≤⑪‎ 设在N1Q段直线运动的最短时间为t1min，由⑤⑩⑪得t1min＝，因t2不变，T的最小值Tmin＝t1min＋t2＝ 典例2：如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的交流电压u，金属板间电场可看做均匀、且两板外无电场，板长L=0．2m，板间距离d=0．1m，在金属板右侧有一边界为MN的匀强磁场，MN与两板中线OO′ 垂直，磁感应强度 B=5×10－3T，方向垂直纸面向里。现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的比荷，重力忽略不计，在0-0．8×10－5s时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）。已知t = 0时刻进入两板间的带电粒子恰好在0．2×10－5s时刻经极板边缘射入磁场。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）。‎ ‎（1）求两板间的电压U0‎ ‎（2）0-0．2×10－5s时间内射入两板间的带电粒子都能够从磁场右边界射出，求磁场的最大宽度 ‎（3）若以MN与两板中线OO′ 垂直的交点为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立二维坐标系，请写出在0．3×10－5s时刻射入两板间的带电粒子进入磁场和离开磁场（此时，磁场只有左边界，没有右边界）时的位置坐标。‎ ‎（4）两板间电压为0，请设计一种方案：让向右连续发射的粒子流沿两板中线OO′射入，经过右边的待设计的磁场区域后，带电粒子又返回粒子源。‎ ‎【答案】（1）25 （V）（2）0．2 （m）（3）（ 0 ; 0．3875）（m）（4）如图；‎ ‎（2）在时间，时刻射入两板间的带电粒子进入磁场并能够从磁场右边界射出,则其他粒子也都能从磁场的右边界射出。粒子进入磁场作匀速圆周运动，则：‎ ‎ 则 由第一问可知：‎ ‎,‎ 磁场的最大宽度为: ‎ ‎（3）时刻进入的粒子先做匀速直线运动,再做类平抛运动．类平抛运动时间应为 ‎ ．‎ 若向上偏转,根据平抛运动公式得:‎ ‎ ‎ 进入坐标为 （ 0 ; 0．0125 ）m 进入磁场作匀速圆周运动, ‎ 离开磁场时的坐标: ‎ y2=0．0125+2×105/5×10-3×108=0．4125 （m）‎ 离开磁场左边界坐标为 （ 0 ; 0．4125 ）（m）‎ ‎（4）‎ 典例3：在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制．如图(a)所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t作周期性变化的图象如图(b)所示．x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向．在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和＋q.不计重力．在t＝时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动．‎ ‎(1)求P在磁场中运动时速度的大小v0；‎ ‎(2)求B0应满足的关系；‎ ‎(3)在t0时刻释放P，求P速度为零时的坐标．‎ ‎【答案】　(1)　(2)B0＝，(n＝1,2,3…)‎ ‎(3)横坐标x＝0，纵坐标y＝，(k＝1,2,3…)‎ ‎【解析】(1)～τ做匀加速直线运动，τ～2τ做匀速圆周运动，电场力F＝qE0，加速度a＝，速度v0＝aτ，且t＝，解得v0＝.‎ ‎(2)只有当t＝2τ时，P在磁场中做圆周运动结束并开始沿x轴负方向运动，才能沿一定轨道做往复运动，如图所示．设P在磁场中做圆周运动的周期为T.则T＝τ(n＝1,2,3，…)，匀速圆周运动qvB0＝m，T＝ 解得B0＝，(n＝1,2,3…)．‎ 解得y＝，(k＝1,2,3…)．‎ 三 总结提升 解决带电粒子在交变电磁场中的运动问题首先要注意交变电场和交变磁场的特点,弄清在各个过程中受到哪些力的作用,带电粒子在周期性变化的电场和磁场中各处于何种状态、做什么运动,确定带电粒子的运动过程,然后选择物理原理和规律按运动过程列式求解.解题步骤图如下:‎ 四 提升专练 ‎1. 在竖直平面内建立一平面直角坐标系xOy,x轴沿水平方向,如图甲所示.第二象限内有一水平向右的匀强电场,场强为E1.坐标系的第一、四象限内有一正交的匀强电场和匀强交变磁场,电场方向竖直向上,场强E2=E1,匀强磁场方向垂直纸面.处在第三象限的发射装置(图中未画出)竖直向上射出一个比荷=102 C/kg的带正电的粒子(可视为质点),该粒子以v0=4 m/s的速度从-x上的A点进入第二象限,并以v1=8 m/s速度从+y上的C点沿水平方向进入第一象限.取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻,磁感应强度按图乙所示规律变化,(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向)取g=10 m/s2.‎ ‎ ‎ 甲 乙 ‎(1) 求带电粒子运动到C点的纵坐标值h及电场强度E1.‎ ‎(2) +x轴上有一点D,OD=OC,若带电粒子在通过C点后的运动过程中不再越过y轴,要使其恰能沿x轴正方向通过D点,求磁感应强度B0及其磁场的变化周期T0.‎ ‎(3) 要使带电粒子通过C点后的运动过程中不再越过y轴,求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积应满足的关系.‎ ‎【答案】 (1) 0.8 m　0.2 N/C　(2) 0.2n(T)(n=1,2,3,…)　(s)(n=1,2,3,…)　(3) B0T0≤(kg/C)【解析】 (1) t==0.4 s,‎ h=t=0.8 m,‎ ax==2g,qE1=2mg, E1=0.2 N/C.‎ ‎(3)当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过y轴时可作如图运动情形:‎ 由图可知θ=,‎ T0≤T=‎ B0T0≤(kg/C)‎ ‎2.如图所示,在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场,变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正).在t=0时刻由原点O发射初速度大小为v0,方向沿y轴正方向的带负电粒子.已知v0、t0、B0,粒子的比荷为,不计粒子的重力.‎ ‎(1) t=t0时,求粒子的位置坐标.‎ ‎(2) 若t=5t0时粒子回到原点,求0~5t0时间内粒子距x轴的最大距离.‎ ‎(3) 若粒子能够回到原点,求满足条件的所有E0值.‎ ‎【答案】 (1) 　(2) v0t0　(3) E0=(n=1,2,3,…)‎ ‎(2) 粒子t=5t0时回到原点,轨迹如图所示,‎ r2=2r1,‎ r1=, r2=,‎ 得v2=2v0,‎ 又=,r2=.‎ 粒子在t02t0时间内做匀加速直线运动, 2t03t0时间内做匀速圆周运动,则在5t0时间内粒子距x轴的最大距离 hm=t0+r2=v0t0.‎ ‎3.如图甲所示,xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中,电场强度E和磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示,周期均为2t0,y轴正方向为E的正方向,垂直纸面向里为B的正方向.t=0时刻,一质量为m、电荷量为+q的粒子从坐标原点O开始运动,此时速度大小为v0,方向为+x轴方向.已知电场强度大小为E0,磁感应强度大小B0=,不计粒子所受重力.求:‎ ‎(1) t0时刻粒子的速度大小v1,及对应的位置坐标(x1,y1).‎ ‎(2) 为使粒子第一次运动到y轴时速度沿-x方向,B0与E0应满足的关系.‎ ‎(3) t=4nt0(n为正整数)时刻粒子所在位置的横坐标x.‎ ‎【答案】 (1) 　　(2) =v0　(3) -(n=1,2,…)‎ ‎ ‎ ‎(2) 设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T,则 qv1B0=r1,‎ 解得T=2t0.‎ 甲 则粒子第一次运动到y轴前的情形如图甲所示 粒子在磁场中做圆周运动时有 qv1B0=,‎ 圆心在y轴上,由几何关系得 r1sin θ=v0t0,‎ 且v1sin θ=v0,‎ 解得=v0.‎ 乙粒子在磁场中做圆周运动的周期为2t0,即在t02t0时间内粒子转了半圈,在x方向向左移动Δx,2t0时刻速度大小仍为v1,方向与t0时刻速度方向相反,2t03t0时间内粒子做匀变速曲线运动,根据对称性可知,粒子运动轨迹与0t0时间内相同,3t0时刻速度大小为v0,方向沿x轴负方向,在3t04t0时间内粒子转了半圈,4t0时刻速度大小为v0,方向沿x正方向,如图乙所示.则04t0时间内粒子在x方向向左移动的距离为Δx,‎ Δx=2r1sin θ=,‎ 则粒子的横坐标x=-nΔx=-(n=1,2,…).‎ ‎4.如图甲所示，在以O为坐标原点的xOy平面内，存在着范围足够大的电场和磁场．一个质量m＝2×10－2kg，带电荷量q＝＋5×10－3C的小球在0时刻以v0＝40 m/s的速度从O点沿＋x方向(水平向右)射入该空间，在该空间同时加上如图乙所示的电场和磁场，其中电场沿－y方向(竖直向上)，场强大小E0＝40 V/m.磁场垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小B0＝4π T．取当地的重力加速度g＝10 m/s2，计算结果中可以保留根式或π.‎ ‎(1)求12 s末小球速度的大小．‎ ‎(2)在给定的xOy坐标系中，大致画出小球在24 s内的运动轨迹示意图．‎ ‎(3)求26 s末小球的位置坐标．‎ ‎【答案】(1)20 m/s　(2)见解析　(3)x2＝m　y2＝m ‎【解析】(1)当不存在电场和磁场时，小球只受重力作用，做平抛运动，当同时加上电场和磁场时，电场力方向向上：F1＝qE0＝0.2 N，重力方向向下：G＝mg＝0.2 N 重力和电场力恰好平衡，此时小球受洛伦兹力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：qv0B0＝m 运动周期T＝，联立解得T＝2 s 正好是电场、磁场同时存在时间的，即在这10 s内，小球恰好做了5个完整的匀速圆周运动．所以小球在t1＝12 s末的速度相当于小球做平抛运动t＝2 s时的末速度．‎ vy＝gt＝20 m/s vx＝v0＝40 m/s，v1＝＝20 m/s.‎ ‎(2)小球在24 s内的运动轨迹示意图如图所示(半径越来越大)．‎ ‎5如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S1、S2，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U0，周期为T0。在t＝0时刻将一个质量为m、电量为－q(q＞0)的粒子由S1静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在t＝时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区。(不计粒子重力，不考虑极板外的电场)‎ ‎　　　　　 甲　　　　　　　　　　　　　　　乙 ‎(1)求粒子到达S2时的速度大小v和极板间距d；‎ ‎(2)为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件；‎ ‎(3)若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t＝3T0时刻再次到达S2，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小。‎ ‎【答案】(1) 　 　(2)B＜ (3)　 ‎【解析】(1)粒子由S1至S2的过程，根据动能定理得 qU0＝mv2　①‎ 由①式得 v＝ 　②‎ ‎ ‎ ‎(2)设磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得 qvB＝m　⑥‎ 要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞，须满足 ‎2R＞　⑦‎ 联立②⑥⑦式得 B＜ 。　⑧‎ ‎(3)设粒子在两边界之间无场区向左匀速运动的过程用时为t1，有 d＝vt1　⑨‎ 联立②⑤⑨式得 t1＝　⑩‎ 若粒子再次到达S2时速度恰好为零，粒子回到极板间应做匀减速运动，设匀减速运动的时间为t2，根据运动学公式得 d＝t2　⑪ ‎ 联立⑨⑩⑪式得 t2＝　⑫‎ 设粒子在磁场中运动的时间为t t＝3T0－－t1－t2　⑬‎ 联立⑩⑫⑬式得 t＝　⑭‎