2020版高中物理 第一章 机械振动 3 简谐运动的图像和公式学案 教科版选修3-4 16页

‎3　简谐运动的图像和公式 ‎[学习目标]　1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息.‎ 一、简谐运动的图像 ‎1.图像的建立 以横轴表示做简谐运动的物体的运动时间t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x.‎ ‎2.图像的特点：简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线.‎ ‎3.由简谐运动的图像，可找出物体振动的周期和振幅.‎ 二、简谐运动的表达式及相位 简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ).‎ ‎(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间.‎ ‎(2)A表示振幅.‎ ‎(3)ω称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf.‎ 所以表达式也可写成：‎ x＝Asin或x＝Asin (2πft＋φ).‎ ‎(4)2πft＋φ代表简谐运动的相位；其中φ是t＝0时的相位，称为初相位或初相.‎ ‎[即学即用]‎ ‎1.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图1所示，根据图像，判断下列说法的正误.‎ 16‎ 图1‎ ‎(1)质点振动的频率是4Hz.(　　)‎ ‎(2)质点振动的振幅是‎2cm.(　　)‎ ‎(3)在t＝3s时，质点的速度最大.(　　)‎ ‎(4)在t＝4s时，质点所受的合外力为零.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.有一弹簧振子，振幅为‎0.8cm，周期为0.5s，初始时(t＝0)具有正的最大位移，则它的振动方程是x＝m.‎ 答案　0.008sin (4πt＋)‎ 一、简谐运动的图像 ‎[导学探究]‎ ‎1.甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图像：‎ 如图2所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸.‎ 图2‎ ‎(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？‎ ‎(2)乙同学匀速向右慢慢拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？‎ ‎(3)分析白纸慢慢拖动时画出的曲线，沿OO′与垂直OO′方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么物理意义？‎ 答案　(1)是一条垂直于OO′的直线.‎ ‎(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线.‎ 16‎ ‎(3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以平衡位置为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿OO′方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以平衡位置为出发点)或位置.‎ ‎2.绘制简谐运动的x－t图像 图3‎ 如图3所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线.若以漏斗的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立x轴，垂直于振动方向建立t轴，则这些曲线就是漏斗的位移—时间图像.为什么这些曲线能描述漏斗的位移随时间变化的规律？‎ 答案　当单摆(漏斗)摆动时，薄板从左向右匀速运动，所以薄板运动的距离与时间成正比，因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻摆球(漏斗)离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律.‎ ‎[知识深化]‎ ‎1.对x－t图像的理解 x－t图像上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子位移随时间变化的规律，不是振子的运动轨迹.‎ ‎2.图像的应用 ‎(1)确定振动物体在任一时刻的位移.如图4所示，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝‎7cm，x2＝－‎5cm.‎ 图4‎ ‎(2)确定振动的振幅.由图可知，振动的振幅是‎10cm.‎ ‎(3)确定振动的周期和频率.由图可知，T＝0.2s，频率f＝＝5Hz.‎ ‎(4)确定各质点的振动方向.例如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在t3‎ 16‎ 时刻，质点正向着平衡位置运动.‎ ‎(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|.‎ 例1　如图5所示为某一弹簧振子做简谐运动的图像，则(　　)‎ 图5‎ A.振动的振幅为‎6m B.振动的周期为6s C.t＝1.5s时和t＝2.5s时，振子的速度相同 D.t＝2.5s时，振子的加速度正在减小，沿x轴的负方向 答案　C 解析　由题图知，振子运动的周期为T＝4s；振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由题图知，振幅A＝‎3cm，故A、B错误；在t＝1.5s时和t＝2.5s时，据题图可知，振子关于平衡位置对称，所以两时刻速度大小相等，方向相同，沿x轴的负方向，故C正确；t＝2.5s时，振子正远离平衡位置，位移增大，其加速度增大，故D错误.‎ 针对训练　如图6甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动(以向右为正方向)，其振动图像如图乙所示.由振动图像可以得知(　　)‎ 图6‎ A.振子的振动周期等于t1‎ B.在t＝0时刻，振子的位置在a点 C.在t＝t1时刻，振子的速度为零 D.从t1到t2，振子正从O点向b点运动 16‎ 答案　D 解析　振子的振动周期是振子完成一个周期性变化所用的时间，由题图乙直接读出其周期T＝2t1，故A错误；由题图乙知在t＝0时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，所以振子的位置在O点，故B错误；在t＝t1时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，速度最大，故C错误；从t1到t2，振子的位移从0变化到正向最大，说明振子正从O点向b点运动，故D正确.‎ 二、简谐运动的表达式及相位差 ‎[导学探究]‎ ‎1.将两个相同的单摆向同一方向拉开相同的角度，然后同时静止释放.两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？‎ 答案　它们同时到达同侧的最大位移处，也同时到达平衡位置，它们总是“步调一致”，相位相同，相位差为0.‎ ‎2.将两个摆长相同的单摆向相反方向拉开相同的角度，然后同时静止释放，观察两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？‎ 答案　它们各时刻的位移总是相反，相位差为π.‎ ‎3.图7是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，它是一条正弦曲线，请根据数学知识写出此图像的函数表达式，并说明各量的物理意义.‎ 图7‎ 答案　表达式x＝Asin (t＋φ)，式中A表示振幅，T表示周期，φ表示初相位.φ＝0，x＝Asint.‎ ‎[知识深化]‎ ‎1.简谐运动的表达式的理解 ‎2.从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会简谐运动的周期性.当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)‎ 16‎ ‎＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动.‎ ‎3.从表达式x＝Asin (ωt＋φ)体会特殊点的值.当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝1，即x＝A；当(ωt＋φ)等于2nπ＋时，sin (ωt＋φ)＝－1，即x＝－A；当(ωt＋φ)等于nπ时，sin (ωt＋φ)＝0，即x＝0.‎ 例2　(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则(　　)‎ A.弹簧振子的振幅为‎0.2m B.弹簧振子的周期为1.25s C.在t＝0.2s时，振子的运动速度为零 D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin，则A滞后B 答案　CD 解析　由振动方程x＝0.1sin2.5πt，可读出振幅为‎0.1m，圆频率ω＝2.5πrad/s，故周期T＝＝s＝0.8s，故A、B错误；在t＝0.2s时，振子的位移最大，速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝，即B超前A，或者说A滞后B，D正确.‎ 应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅A、周期T、频率f的对应关系，其中T＝，f＝，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系.‎ 例3　如图8所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN＝‎8cm.从小球经过图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.2s，‎ 则小球的振动周期为s，振动方程为x＝cm.‎ 图8‎ 答案　0.8　4cost 解析　从N点到O点刚好为，则有＝0.2s，‎ 16‎ 故T＝0.8s；‎ 由于ω＝＝rad/s，而振幅为‎4cm，‎ 从最大位移处开始振动，所以振动方程为x＝4costcm.‎ ‎1.(简谐运动的图像)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图9所示，由图可知(　　)‎ 图9‎ A.质点振动的频率是4Hz，振幅是‎2cm B.质点经过1s通过的路程总是‎2cm C.0～3s内，质点通过的路程为‎6cm D.t＝2s时，质点的振幅为零 答案　C 解析　由题图可以直接看出振幅为‎2cm，周期为4s，所以频率为0.25Hz，所以A错误；质点在1s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以B错误；因为t＝0时质点在平衡位置处，0～3s为T，质点通过的路程为‎3A＝‎6cm，所以C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t＝2s时，质点的位移为零，但振幅仍为‎2cm，所以D错误.‎ ‎2.(简谐运动的图像)(多选)甲、乙两弹簧振子的振动图像如图10所示，则可知(　　)‎ 图10‎ A.两弹簧振子完全相同 B.振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2‎ 16‎ C.振子甲速度为零时，振子乙速度最大 D.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1‎ 答案　BC 解析　由振动图像读出两弹簧振子的振幅和周期不同，则两弹簧振子一定不完全相同，故A错误；‎ 两弹簧振子振动周期之比T甲∶T乙＝2∶1，频率之比是f甲∶f乙＝1∶2，故B正确；‎ 由题图看出，甲在最大位移处时，乙在平衡位置，即振子甲速度为零时，振子乙速度最大，故C正确；‎ 由振动图像读出两振子位移最大值之比x甲∶x乙＝2∶1，根据简谐运动的特征F＝－kx，由于弹簧的劲度系数k可能不等，回复力最大值之比F甲∶F乙不一定等于2∶1，故D错误.‎ ‎3.(简谐运动的表达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin (8πt＋π) cm的规律振动.‎ ‎(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；‎ ‎(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin (8πt＋π) cm，求它们的相位差.‎ 答案　(1)s　4Hz　‎5cm　　(2)π 解析　(1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝得T＝ s，‎ f＝＝4 Hz.由x1＝5sin (8πt＋π) cm知A＝‎5 cm，‎ φ1＝ ‎(2)由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1‎ 得Δφ＝π－＝π.‎ 16‎ ‎4.(简谐运动的表达式)如图11所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图像.请根据图像回答：‎ 图11‎ ‎(1)A的振幅是cm，周期是s；B的振幅是cm，周期是s.‎ ‎(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；‎ ‎(3)在t＝0.05s时两质点的位移分别是多少？‎ 答案　(1)0.5　0.4　0.2　0.8‎ ‎(2)xA＝0.5sin (5πt＋π) cm，xB＝0.2sincm ‎(3)xA′＝－cm，xB′＝0.2sinπcm 解析　(1)由题图知：A的振幅是‎0.5cm，周期是0.4s；B的振幅是‎0.2cm，周期是0.8s.‎ ‎(2)t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4s，得ωA＝＝5πrad/s.则A简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π) cm.t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8s得ωB＝＝2.5πrad/s，则B简谐运动的表达式为xB＝0.2sincm.‎ ‎(3)将t＝0.05s分别代入两个表达式中得：xA′＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5×cm＝－cm，xB′＝0.2sincm＝0.2sinπcm.‎ 一、选择题 考点一　简谐运动的图像 ‎1.如图1所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法中正确的是(　　)‎ 16‎ 图1‎ A.因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子实际运动的轨迹 B.振动图像反映的是振子的位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹 C.振子在B位置的位移就是曲线BC的长度 D.振子运动到B点时的速度方向即为该点的切线方向 答案　B ‎2.(多选)如图2表示某质点简谐运动的图像，以下说法正确的是(　　)‎ 图2‎ A.t1、t2时刻的速度相同 B.从t1到t2这段时间内，速度与位移同向 C.从t2到t3这段时间内，速度变大，位移变小 D.t1、t3时刻的回复力方向相反 答案　BC 解析　t1时刻质点速度最大，t2时刻质点速度为零，故A错误；t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度方向、位移方向均背离平衡位置，所以二者方向相同，则B正确；在t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，故C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，回复力为零，故D错误.‎ ‎3.(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图3所示，由图可知(　　)‎ 图3‎ A.质点振动的频率是4Hz B.质点振动的振幅是‎2cm 16‎ C.t＝3s时，质点的速度最大 D.t＝3s时，质点振动的振幅为零 E.t＝3s时，质点的动能最大 答案　BCE 解析　由题图可以直接看出质点振动的振幅为‎2cm，周期为4s，所以频率为0.25Hz，所以选项A错误，B正确.t＝3s时，质点经过平衡位置，速度最大，动能最大，所以选项C、E正确.振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移的大小，与质点的位移有着本质的区别，t＝3s时，质点的位移为零，但振幅仍为‎2cm，所以选项D错误.‎ ‎4.如图4所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水面，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动.若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像中可能正确的是(　　)‎ 图4‎ 答案　D 解析　试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始计时时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选D.‎ ‎5.(多选)一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图5甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是(　　)‎ 16‎ 图5‎ A.OB＝‎‎5cm B.第0.2s末质点的速度方向是A→O C.第0.4s末质点的加速度方向是A→O D.第0.7s末质点的位置在O点与A点之间 E.在4s内完成5次全振动 答案　ACE 解析　由题图乙可知振幅为‎5cm，则OB＝OA＝‎5cm，A项正确；由题图可知0～0.2s内质点从B向O运动，第0.2s末质点的速度方向是B→O，B项错误；由题图可知第0.4s末质点运动到A点处，则此时质点的加速度方向是A→O，C项正确；由题图可知第0.7s末质点位置在O点与B点之间，D项错误；由题图乙可知周期T＝0.8s，则在4s内完成全振动的次数为＝5，E项正确.‎ ‎6.(多选)如图6所示为甲、乙两单摆的振动图像，则(　　)‎ 图6‎ A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝2∶1‎ B.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1‎ C.若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝4∶1‎ D.若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4‎ 答案　BD 解析　由题图可知T甲∶T乙＝2∶1，由公式T＝2π可知：若两单摆在同一地点，则两单摆摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1，故A错误，B正确；若两单摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4，故C错误，D正确.‎ 考点二　简谐运动的表达式 ‎7.(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点(　　)‎ 16‎ A.第1s末与第3s末的位移相同 B.第1s末与第3s末的速度相同 C.第3s末与第5s末的位移方向相同 D.第3s末与第5s末的速度方向相同 答案　AD 解析　根据x＝Asint可求得该质点振动周期为T＝8s，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1s末和第3s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3s末和第5s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确.‎ ‎8.(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sinm，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sinm.比较A、B的运动(　　)‎ A.振幅是矢量，A的振幅是‎6m，B的振幅是‎10m B.周期是标量，A、B周期相等，都为100s C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB D.A的相位始终超前B的相位 答案　CD 解析　振幅是标量，A、B的振动范围分别是‎6m、‎10m，但振幅分别为‎3m、‎5m，A错；A、B的周期均为T＝＝s＝6.28×10－2s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝，为定值，D对.‎ ‎9.(多选)一个质点做简谐运动的图像如图7所示，下列叙述中正确的是(　　)‎ 图7‎ A.质点的振动频率为4Hz 16‎ B.在10s内质点经过的路程为‎20cm C.在5s末，质点做简谐运动的相位为π D.t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的位移大小相等，都是cm 答案　BD 解析　由题图可直接得到周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，故选项A错误；做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是‎4A＝‎8 cm.10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为‎20 cm，选项B正确；由题图可知位移与时间的关系为x＝0.02sin (t) m.当t＝5 s时，其相位为×5＝π，故C错误；在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，x′＝2sin (×1.5) cm＝ cm，故D正确.‎ ‎10.(多选)如图8所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin (2.5πt) m.t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6s时，小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的大小g＝‎10m/s2.以下判断正确的是(　　)‎ 图8‎ A.h＝‎‎1.7m B.简谐运动的周期是0.8s C.0.6s内物块运动的路程是‎0.2m D.t＝0.4s时，物块与小球运动方向相反 答案　AB 解析　t＝0.6s时，物块的位移为x＝0.1sin (2.5π×0.6) m＝－‎0.1m，则对小球h＋|x|＝gt2，解得h＝‎1.7m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝＝s＝0.8s，选项B正确；0.6s内物块运动的路程是‎3A＝‎0.3m，选项C错误；t＝0.4s＝，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误.‎ 二、非选择题 16‎ ‎11.(简谐运动的图像)某单摆及其振动图像如图9所示，取g＝‎9.8m/s2，π2＝9.8，根据图给信息可计算得摆长约为；t＝5s时间内摆球运动的路程为；若在悬点正下方O′处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且＝，则摆球从F点释放到第一次返回F点所需时间为s.‎ 图9‎ 答案　‎1m　‎30cm　1.5‎ 解析　从题图可知完成一个全振动的时间即周期为T＝2s，根据T＝2π，解得摆长为：L＝＝‎1m，由题图可知振幅为‎3cm，摆球一个周期内的路程是振幅的4倍，所以t＝5s时间内摆球运动的路程为‎30cm；碰钉后改变了摆长，因此单摆周期应分为钉左侧的半个周期和钉右侧的半个周期，前面求出摆长为‎1m，根据周期公式可得：T左＝π＝1s，T右＝π＝0.5s，所以周期为T′＝T左＋T右＝1.5s.‎ ‎12.(简谐运动的表达式)某个质点的简谐运动图像如图10所示.‎ 图10‎ ‎(1)求振动的振幅和周期；‎ ‎(2)写出简谐运动的表达式.‎ 答案　(1)‎10cm　8s　(2)x＝10sin (t) cm 解析　(1)由题图读出振幅A＝‎‎10cm 简谐运动方程x＝Asin 代入数据得－10＝10sin 得T＝8s.‎ ‎(2)x＝Asin (t)＝10sin (t) cm.‎ ‎13.(简谐运动的表达式)一物体沿x轴做简谐运动，振幅为‎8cm，频率为0.5Hz，在t＝0‎ 16‎ 时，位移是‎4cm，且向x轴负方向运动.‎ ‎(1)试写出用正弦函数表示的振动方程.‎ ‎(2)10s内通过的路程是多少？‎ 答案　(1)x＝0.08sin (πt＋π) m　(2)‎‎1.6m 解析　(1)简谐运动振动方程的一般表达式为x＝Asin (ωt＋φ).根据题给条件有：A＝‎0.08m，ω＝2πf＝πrad/s.所以x＝0.08sin (πt＋φ) m.将t＝0，x＝‎0.04m代入得0.04＝0.08sinφ，‎ 解得初相位φ＝或φ＝π，‎ 因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，‎ 所以取φ＝π.‎ 故所求的振动方程为x＝0.08sin (πt＋π) m.‎ ‎(2)周期T＝＝2s，所以10s＝5T，因一个周期内通过的路程是‎4A，则10s内通过的路程s＝5×‎4A＝20×‎8cm＝‎160cm＝‎1.6m.‎ 16‎