【物理】2018届二轮复习万有引力与航天学案（全国通用）(1) 18页

万有引力与航天 核心考点 考纲要求 万有引力定律及其应用 环绕速度 第二宇宙速度和第三宇宙速度 经典时空观和相对论时空观 Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅰ 1 2 2 11 2 26.67 10 N m / kg m mF G r G G − = = × ⋅                   地心说认为地球是宇宙的中心 地心说与日心说 日心说认为太阳是宇宙的中心 人类对行星运动 第一定律（轨道定律）规律的认识 开普勒行星运动规律 第二定律（面积定律） 第三定律（周期定律） 万有引力定律得内容 万有引力定律 公式： 大小：引力常量的测定 卡文迪许扭秤实验测得万 有 引 力 万有引力定律的伟 与 航 天 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 4π 4π 2π 7.9 km / s 11.2 km / s km / s gRM G rM GT rmr T T GM Mm v GMG m v r r r GMmr r ω ω = = ⇒ = = ⇒ = ⇒ =                          称量地球的质量： 大成就 计算天体的质量： 发现未知天体：海王星和冥王星 人造地球卫星 宇宙航行 第一宇宙速度 三个宇宙速度 第二宇宙速度 第三宇宙速度16. 7 经典力学的局限性：只适                                         用于低速运动，宏观物体，弱相互作用 考点 1 万有引力与重力 1．在地球表面上的物体 地球在不停地自转、地球上的物体随地球自转而做圆周运动，自转圆周运动需要一个向心力，是重力 不直接等于万有引力而近似等于万有引力的原因，如图所示，万有引力为 F，重力为 G，向心力为 Fn。当 然，真实情况不会有这么大偏差。 （1）物体在一般位置时 Fn=mrω2，Fn、F、G 不在一条直线上。 （2）当物体在赤道上时，Fn 达到最大值 Fnmax，Fnmax=mRω2，重力达到最小值： ，重力加速度达到最小值， 。 （3）当物体在两极时 Fn=0，G=F，重力达到最大值 ，重力加速度达到最大值， 。 可见只有在两极时重力才等于万有引力，重力加速度达到最大值；其他位置时重力要略小于万有引力， 在赤道处的重力加速度最小，两极处的重力加速度比赤道处大；但是由于自转的角速度很小，需要的向心 力很小。计算题中，如果未提及地球的自转，一般认为重力近似等于万有引力。即 或者写成 GM=gR2，称为“黄金代换”。 2．离开地球表面的物体 卫星在做圆周运动时，只受到地球的万有引力作用，我们认为卫星所受到的引力就是卫星在该处所受 到的重力， ，该处的重力加速度 。这个值也是卫星绕地球做圆周运动的向心 加速度的值；卫星及内部物体处于完全失重状态。（为什么？） 2 min 2nG F F G RMm R m ω= − = − 2n min 2 F Fg G Rm M R ω−= = − 2maxG G Mm R = max 2g G M R = 2mg G Mm R = 2G G Mm R =重力 2( ) M R hg G′ = + 若在某行星和地球上相对各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平 方向运动的距离之比为 2: 。已知该行星的质量约为地球的 7 倍，地球的半径为 R。由此可知，该行星的 半径约为 A． B． C．2R D． 【参考答案】C 【试题解析】对于任意一个行星，设其表面的重力加速度为 g。根据平抛运动的规律 h= gt2 得， ，则水平射程 x=v0t=v0 ，可得该行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为 。根据 ，得 则 ，解得行星的半径 ，故选 C。 1．宇航员王亚平在“天宫 1 号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。 若飞船的质量为 ，距地面的高度为 ，地球的质量为 ，半径为 ，引力常量为 ，则飞船所在处 的重力加速度的大小为 A．0 B． C． D． 【答案】B 2．如图所示，O 为地球的球心，A 为地球表面上的点，B 为 O、A 连线间的点，AB=d，将地球视为质量分 布均匀的球体，半径为 R。设想挖掉以 B 为圆心、以 为半径的球。若忽略地球的自转，则挖出球体后 A 点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为 7 1 2 R 7 2 R 7 2 R 1 2 2ht g = 2h g 2 2 7 4 g x g x = =行 地 地 行 2 MmG mgr = 2 GMg r = 2 2 g M R g M R = ⋅行 行 地 地 地 行 4 7 27 MgR R R Rg M = ⋅ = × ⋅ =行地 行 地 行 地 m h M R G 2( ) GM R h+ 2( ) GMm R h+ 2 GM h 2 d A． B． C． D． 【答案】B 3．地球赤道上的重力加速度为 g=9.8 m/s2，物体在赤道上的向心加速度约为 an=3.39 cm/s2，若使赤道上的 物体处于完全失重状态，则地球的转速应为原来的 A．17 倍　　 B．49 倍　　 C．98 倍　　 　D．289 倍 【答案】A 【解析】地球赤道上的物体受到的万有引力为 ，可得 ，角速度 ，设赤道上的物体完全失重状态下的角速度为 ， ，角速度 ，后来的角速度与原来的角速度之比 倍，所以 A 正确， BCD 项错误。 4．假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体 的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 A． B． C． D． 【答案】A 考点 2 人造卫星及宇宙航行 一、卫星的动力学规律 由万有引力提供向心力， 。 二、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 1 4 d R − 1 8 d R − 1 d R − d R d− 2 2 MmG mg m RR ω= + 2 2 MG g RR ω= + na R ω = ω′ 2 2 MmG m R R ω′= n 2 3 g ag RGM R RR ωω ++′ = = = n 17g a g ω ω ′ += ≈ R d−1 R d+1 2)( R dR − 2)( dR R − 2 2 2 n2 2 4πMm v rG ma m m r mr r T ω= = = = 1．线速度 v：由 得 ，可见，r 越大，v 越小；r 越小，v 越大。 2．角速度 ω：由 得 ，可见，r 越大，ω 越小；r 越小，ω 越大。 3．周期 T：由 得 ，可见，r 越大，T 越大；r 越小，T 越小。 4．向心加速度 an：由 得 ，可见，r 越大，an 越小；r 越小，an 越大。 以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。 2 2 Mm vG mr r = GMv r = 2 2 MmG m rr ω= 3 GM r ω = 2 2 2π( )MmG m rr T = 3 2π rT GM = n2 MmG mar = n 2 GMa r = 三、卫星运行参量的比较与运算 卫星名称 离地面距离 运转周期 运转速率 近地卫星 0 84 分钟（最小周期） 7.9 km/s（最大环绕速度） 神舟号飞船 350 km 90 分钟 7.7 km/s 通讯同步卫星 36 000 km （ 约 6R） 24 小时 3.1 km/s 月球 3.8×105 km 27 天 1.02 km/s 四、三种宇宙速度 宇宙速度 数值（km/s） 意义 第一宇宙速度 7.9 卫星的最小发射速度，若 7.9 km/s≤v<11.2，物体绕地球运行 第二宇宙速度 11.2 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。若 11.2 km/s≤v<16.7 km/s 物体绕太阳运行 第三宇宙速度 16.7 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若 v≥16.7 km/s，物体将脱 离太阳系在宇宙空间运行 注意： （1）第一宇宙速度的推导有两种方法：①由 得 ；②由 得 。 （2）第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是 M、R0、g 必须与之相对应，不 能套用地球的参数。 五、卫星变轨问题 人造地球卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论： 1．变轨原理及过程 （1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。 （2）卫星在 A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力， 卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 （3）在 B 点（远地点）再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。 2 1 2 0 0 Mm vG mR R = 1 0 GMv R = 2 1 0 vmg m R = 1 0v gR= 2．一些物理量的定性分析 （1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为 v1、v3，在轨道Ⅱ上过 A 点和 B 点时速率分 别为 vA、vB。在 A 点加速，则 vA>vB，在 B 点加速，v3>vB，又因 v1>v3，故有 vA>v1>v3>vB。 （2）加速度：因为在 A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过 A 点，卫星 的加速度都相同，同理，经过 B 点加速度也相同。 （3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为 T1、T2、T3，轨道半径分别为 r1、r2（半长 轴）、r3，由开普勒第三定律 可知 T1a1；对空间站和 地球的同步卫星而言，因同步卫星周期小于空间站的周期则，同步卫星的轨道半径较小，根据 可知 a3>a2，故选项 D 正确。 3．在星球表面发射探测器，当发射速度为 v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到 v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球，已知地球、火星两星球的质量比约为 10:1，半径比约为 2:1，下 列说法正确的有 GMv R = = gRω 2π RT g = 2 GMa R = 1a 2a 3a 地球 月球 1L 2 3 1a a a> > 2 1 3a a a> > 3 1 2a a a> > 3 2 1a a a> > 2 2 4πa rT = 2 GMa r = ′ 2 A．探测器的质量越大，脱离星球所需的发射速度越大 B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等 D．探测器脱离星球的过程中势能逐渐变大 【答案】BD 4．2012 年 6 月 18 日，神州九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面 343 km 的近圆轨道上成功进行了我国 首次载人空间交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是 A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加 C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低 D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 【答案】BC 考点 3 特殊卫星及天体分析 一、极地卫星和近地卫星 1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地 球的半径，其运行的线速度约为 7.9 km/s。 二、同步卫星 同步卫星是指相对地球“静止不动”的卫星。 同步卫星的六个“一定”： 轨道平面一定 轨道平面与赤道平面重合 高度一定 距离地心的距离一定，h=4.225×104 km；距离地面的高度为 3.6×104 km 环绕速度一定 v=3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同 角速度一定 周期一定 与地球自转周期相同，常取 T=24 h 向心加速度一定 a=0.23 m/s2 三、赤道上的物体与同步卫星以及近地卫星的运动规律 1．地球赤道上的物体，静止在地面上与地球相对静止，随地球的自转绕地轴做匀速圆周运动。地球赤 道上的物体受到的地球的万有引力，其中的一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，产生向心 57.3 10 rad/sω −= × 加速度 a，另一个分力为重力，有 G －mg=ma（其中 R 为地球半径）。 2．近地卫星的轨道高度约等于地球的半径，其所受万有引力完全提供卫星做圆周运动的向心力，即 G =ma。 3．同步卫星与赤道上的物体具有与地球自转相同的运转周期和运转角速度，始终与地球保持相对静止 状态，共同绕地轴做匀速圆周运动。 4．区别： （1）同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期。 （2 近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球的半径，而不等于同步卫星运动的半径。 （3）三者的线速度各不相同。 四、求解此类试题的关键 1．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运 用公式 a=ω2r 而不能运用公式 a= 。 2．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度的比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运 用公式 v=ωr 而不能运用公式 v= 。 3．在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要 运用公式v= ，而不能运用公式v=ωr或v= 。 五、双星及多星系统 1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相 同的匀速圆周运动的行星称为双星。 2．双星系统的条件： （1）两颗星彼此相距较近； （2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动； （3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。 3．双星系统的特点： （1）两星的角速度、周期相等； （2）两星的向心力大小相等； （3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即 r1+r2=L，轨道半径与行星的质量成反比。 4．双星问题的处理方法： 双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 ，由此得出： 2 Mm R 2 Mm R 2 GM r GM r GM r gr 2 21 2 1 1 2 22 m mG m r m rL ω ω= = （1）m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比； （2）由于 ω= ，r1+r2=L，所以两恒星的质量之和 。 由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的影响，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的 万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做角速 度相同的圆周运动（图示为 A、B、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）若 A 星体的质量为 2m，B、C 两 星体的质量均为 m，三角形的边长为 a，求： （1）A 星体所受合力的大小 FA； （2）B 星体所受合力的大小 FB； （3）C 星体的轨道半径 RC； （4）三星体做圆周运动的周期 T。 【参考答案】（1） （2） （3） （4） 【试题解析】（1）由万有引力定律，A 星受到 B、C 的引力的大小 方向如图所示，则合力的大小为 FA=2FBA·cos 30°= （2）同上，B 星受到的引力分别为 ， 方向如图所示 7 4 a 2π T 2 3 1 2 2 4π Lm m GT + = 2 22 3 Gm a 2 2 7Gm a 3 π aT Gm = 2 2 2 2A C BA CA Gm m GmF F a a = = = 2 22 3 Gm a 2 2 2 AB G mF a ⋅= 2 2 2 B C CB Gm m GmF a a = = 沿 x 方向 FBx=FAB·cos 60°+FCB= 沿 y 方向 FBy=FAB·sin 60°= 可得 （3）通过对于 B 进行受力分析可知，由于 ， 合力的方向经过 BC 的中垂线 AD 的中点，所以圆心 O 一定在 BC 的中垂线 AD 的中点处，所以 （4）由题可知 C 的受力大小与 B 的受力相同，对 C 星有 整理得 1．有 a、b、c、d 四颗地球卫星，a 在地球赤道上未发射，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同 步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有 A．a 的向心加速度等于重力加速度 g 2 22 Gm a 2 23 Gm a 2 2 2 2 7 B Bx By GmF F F a = − = 2 2 2 AB GmF a = 2 2 2 B C CB Gm m GmF a a = = 2 21 3 7= ( ) ( )2 4 4C BR R a a a= + = 2 2 2 2π7 ( )C B C GmF F m Ra T = = = 3 π aT Gm = B．c 在 4 h 内转过的圆心角是 π/6 C．b 在相同时间内转过的弧长最长 D．d 的运动周期有可能是 20 h 【答案】C 2．关于环绕地球运行的卫星的运动，下列说法正确的是 A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 【答案】B 【解析】分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，故 A 错误；沿椭圆轨道运行 的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，故 B 正确；根据万有引力提供向心力，列出等式： ，其中 R 为地球半径，h 为同步卫星离地面的高度。由于同步卫星的周期必 须与地球自转的周期相同，所以 T 为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度 h 也为一定值。 故 C 错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重合，但圆心都在地心，故 D 错误。 3．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速 圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系 统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离 变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为 A． 　　　　 B． C． D． 【答案】B 4．宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四 星系统的引力作用。已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边 长为 a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为 T1；另一种 形式是有三颗星位于边长为 a 的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其 2 2 2 4π ( )( ) MmG m R hR h T = ++ 3 2 n Tk 3n Tk 2n Tk nTk 运动周期为 T2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动。试求两种形式下，星体运动的周期之比 。 【答案】 【解析】对于第一种形式：星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形的对角线的交点做匀速圆 周运动，其轨道半径 由万有引力定律和向心力公式得 解得 ① 对于第二种形式：其轨道半径为 由万有引力定律和向心力公式得 解得 ② 由①②解得 1．（2016·北京卷）如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道 1 绕地球 E 运行，在 P 点变轨后进入轨道 2 做匀速圆周运动。下列说法正确的是 A．不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的速度都相同 1 2 T T 1 2 6 6 3 4 2 T T += + 1 2 2r a= 2 2 2 12 2 2 1 4π2 cos 452 Gm Gm mra a T + ° = 1 ( 22π 4 2) aT a Gm = + 2 3 3r a= 2 2 2 2 2 22 2 2 4π2 cos 30Gm Gm mra Tr + ° = 2 2π 3 1 3( ) aT a Gm = + 1 2 6 6 3 4 2 T T += + B．不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的加速度都相同 C．卫星在轨道 1 的任何位置都具有相同加速度 D．卫星在轨道 2 的任何位置都具有相同动量 【答案】B 2．（2016·四川卷）国务院批复，自 2016 年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日”。1970 年 4 月 24 日我国首 次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为 440 km，远地 点高度约为 2 060 km；1984 年 4 月 8 日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空 35 786 km 的地球同 步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为 a1，东方红二号的加速度为 a2，固定在地球赤道上的物体 随地球自转的加速度为 a3，则 a1、a2、a3 的大小关系为 A．a2>a1>a3 B．a3>a2>a1 C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3 【答案】D 【解析】东方红二号和固定在地球赤道上的物体转动的角速度相同，根据 a=ω2r 可知，a2>a3；根据 可知 a1>a2；故选 D。 3．（2016·天津卷）我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发生“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。 假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列 措施可行的是 A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实 现对接 D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实 现对接 2 MmG mar = 【答案】C 4．（2016·全国新课标Ⅰ卷）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电 通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径为地球半径的 6.6 倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗 同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为 A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h 【答案】B 5．（2016·海南卷）通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动， 除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是 A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径 【答案】AD 【解析】根据线速度和角速度可以求出半径 ，根据万有引力提供向心力则有 ，整理 可得 ，故选项 A 正确；由于卫星的质量 m 可约掉，故选项 BC 错误；若知道卫星的运行周期 和轨道半径，则 ，整理得 ，故选项 D 正确。 6．（2016·上海卷）两颗卫星绕地球运行的周期之比为27:1，则它们的角速度之比为__________，轨道半径 之比为___________。 【答案】1:27 9:1 【解析】根据题意，卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星的运行角速度与周期关系为： ，即角速 度与周期成反比，则 ；两颗卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有： ，即 ，所以有： 。 7．（2014·全国大纲卷）已知地球的自转周期和半径分别为T 和 R，地球同步卫星 A 的圆轨道半径为 h。卫 vr ω= 2 2 GMm vmr r = 3vM Gω= 2 2 2π( )GMm m rr T = 2 3 2 4π rM GT = 2π T ω = 1 2 2 1 1 27 T T ω ω = = 2 2 MmG mrr ω= 3 2 GMr ω= 2 1 23 2 2 1 9 1 r r ω ω= = 星 B 沿半径为 r（r