突破18 天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题-2019高三物理一轮微专题系列之热点专题突破 9页

突破 18 天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算 一、天体表面上的重力加速度问题 重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力， 另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为 重力约等于万有引力，即 mg＝GMm R2 ，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高 考也多次在此命题。 计算重力加速度的方法 (1)在地球表面附近的重力加速度 g (不考虑地球自转)： mg＝G mMR2 ，得 g＝ GMR2 (2)在地球上空距离地心 r＝R＋h 处的重力加速度为 g′， mg′＝ GmM(R＋h)2，得，g′＝ GM(R＋h)2 所以 gg′＝ (R＋h)2R2 (3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析． 【典例 1】宇航员王亚平在“天宫 1 号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完 全失重状态下的物理现象。若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为 M，半径为 R， 引力常量为 G，则飞船所在处的重力加速度大小为( ) A．0 B. GM(R＋h)2 C. GMm(R＋h)2 D. GMh2 【解析】 飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即 G Mm(R＋h)2＝mg，得 g＝ GM(R＋h)2，选项 B 正确。 【答案】 B 【典例 2】假设有一火星探测器升空后，先在地球表面附近以线速度 v 环绕地球飞行， 再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度 v′在火星表面附近环绕火星飞行。若认为地球 和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为 1∶2，密度之比为 5∶7。 设火星与地球表面的重力加速度分别为 g′和 g。下列结论正确的是( ) A．g′∶g＝1∶4 B．g′∶g＝7∶10 C．v′∶v＝ 528 D．v′∶v＝ 514 【答案】C 【典例 3】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速 率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2∶。已知该行星质量约为地球的 7 倍， 地球的半径为 R。由此可知，该行星的半径约为( ) A. 12R B. 72R C．2R D. 72R 【答案】 C 【解析】 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，即 x＝v0t，在竖直方向上 做自由落体运动，即 h ＝ 12gt2，所以 x＝v0 2hg ，两种情况下，物体抛出的速度相同，高度 相同，所以 g 行 g 地＝ 74，根据公式 G MmR2 ＝mg 可得 g＝ GMR2 ，故 g 行 g 地＝ M 地 R 地 2＝ 74，解得 R 行＝ 2R，故 C 正确。 【跟踪短训】 1．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原地。若他 在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t 小球落回原地。已知该星 球的半径与地球半径之比为 R 星∶R 地＝1∶4，地球表面重力加速度为 g，设该星球表面附近 的重力加速度为 g′，空气阻力不计。则( ) A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝5∶2 C．M 星∶M 地＝1∶20 D．M 星∶M 地＝1∶80 【答案】D 【解析】 由速度变化的对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间 t＝ 2v0g ，5t＝ 2v0g′， 因此得 g′g＝ t5t＝ 15，A、B 错误；由 G MmR2 ＝mg 得 M＝ gR2G ，因而 M 星 M 地 ＝ g′R 星 2gR 地 2＝ 15× 142＝ 180， C 错误，D 正确。 2．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速 度的 4 倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)( ) A. 14 B．4 倍 C．16 倍 D．64 倍 【答案】D 【解析】 天体表面的重力加速度 g＝ GMR2 ，又知ρ＝ MV ＝ 3M4πR3，所以 M＝ 9g316π2ρ2G3， 故 M 星 M 地 ＝ g 星 g 地3＝64。D 正确。 3. 热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表中所示。根 据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为( ) 月球半径 R0 月球表面处的重力加速度 g0 地球和月球的半径之比 R R0＝4 地球表面和月球表面的重力加速度之比 g g0＝6 A.3∶2 B．2∶3 C．4∶1 D．6∶1 【答案】A 4．据报道，科学家们在距离地球 20 万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星 质量约为地球质量的 6.4 倍，半径约为地球半径的 2 倍。那么，一个在地球表面能举起 64 kg 物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面重力加速度 g＝10 m/s2)( ) A．40 kg B．50 kg C．60 kg D．30 kg 【答案】A 【解析】 在地球表面，万有引力近似等于重力 GMmR2 ＝mg，得 g＝ GMR2 ，因为行星质量 约为地球质量的 6.4 倍，其半径约为地球半径的 2 倍，则行星表面重力加速度是地球表面重 力加速度的 1.6 倍，而人的举力可认为是不变的，则人在行星表面所举起的物体的质量为： m＝ m01.6＝ 641.6 kg＝40 kg，故 A 正确。 5．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和 相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机 精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径 R 约为 45 km， 质量 M 和半径 R 的关系满足 MR ＝ c22G(其中 c＝3×108 m/s，G 为引力常量)，则该黑洞表面的重 力加速度约为( ) A．108 m/s2 B．1010 m/s2 C．1012 m/s2 D．1014 m/s2 【答案】C 【解析】 黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间 的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为 g，对黑洞表面的某一质量为 m 的物体，有 GMmR2 ＝mg，又有 MR ＝ c22G，联立解得 g＝ c22R，代入数据得重力加速度约为 1012 m/s2，故选项 C 正 确。 6. 假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 d，已知质量分布均匀 的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ) A．1－ dR B．1＋ dR C. R－dR 2 D. RR－d2 【答案】 A 【解析】 如图所示， 7. 月球是离地球最近的天体，已知月球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，若忽略 月球的自转，则关于在月球表面所做的实验，下列叙述正确的是( ) A．把质量为 m 的物体竖直悬挂在弹簧测力计下，静止时弹簧测力计的示数为 GMmR2 B．以初速度 v0 竖直上抛一个物体，则物体经时间 2π RGM落回原处 C．把羽毛和铁锤从同一高度同时释放，则铁锤先落地 D．用长为 l 的细绳拴一质量为 m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则小球的最小动能 为 GMml2R2 【答案】AD 二、中心天体质量和密度的估算 (1)“g、R 法”：已知天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R。 ①由 G Mm R2 ＝mg 得天体质量 M＝g R2 G 。 ②天体密度ρ＝M V＝ 4 πR3＝ 3g 4πGR。 (2)“T、r 法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T。 ①由 G Mm r2 ＝m 4π2r T2 得天体的质量 M＝4π2r3 GT2 。 ②若已知天体的半径 R，则天体的密度ρ＝M V＝ 4 πR3＝ 3πr3 GT2R3。 ③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度ρ＝ 3π GT2可 见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。 【典例 1】假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大 小为 g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期为 T，引力常量为 G。地球的密度为( ) A. 3πGT2g0－gg0 B. 3πGT2 g0g0－g C. 3πGT2 D. 3πGT2g0g 【答案】 B 【解析】 物体在地球的两极时，mg0＝G MmR2 ，物体在赤道上时，mg＋m 2πT 2R＝G MmR2 ， 以上两式联立解得地球的密度ρ＝ 3πg0GT2(g0－g)。故选项 B 正确，A、C、D 错误。 【典例 2】利用引力常量 G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( ) A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 【答案】D 【跟踪短训】 1. “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 200 km 的圆形轨道 上运行，运行周期为 127 分钟。已知引力常量 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为 1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为( ) A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg 【答案】 D 【解析】 对“嫦娥一号”探月卫星，由于万有引力提供其做圆周运动的向心力，则 G Mm(R＋h)2＝m 4π2T2 (R＋h)，整理得：M＝ 4π2GT2(R＋h)3，代入数据可得 M≈7.4×1022 kg，D 正确。 2. “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 200 km 的圆形轨道 上运行，运行周期为 127 分钟．已知引力常量 G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为 1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为( )． A．8.1×1010kg B．7.4×1013kg C．5.4×1019kg D．7.4×1022kg 【答案】 D 【解析】 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周 运动，由牛顿第二定律知： GMmr2 ＝ 4π2mrT2 ，得 M＝ 4π2r3GT2 ，其中 r＝R＋h，代入数据解得 M＝7.4×1022kg，选项 D 正确． 3．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v.假设宇航员在该行 星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为 N. 已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为( )． A. mv2GN B． mv4GN C． Nv2Gm D． Nv4Gm 【答案】 B