- 6.78 MB
- 2021-05-28 发布
- 1、本文档由用户上传，淘文库整理发布，可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方，所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议，请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传，本站不保证质量和数量令人满意，可能有诸多瑕疵，付费之前，请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ：403074932
静电场
一、库仑定律和电场强度
【例1】如图所示，带电量分别为4q和－q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d。若杆上套一带电小环C，带电体A、B和C均可视为点电荷。
（1）求小环C的平衡位置。
（2）若小环C带电量为q，将小环拉离平衡位置一小位移x(∣x∣<0）.在折成直角的直线平面内有P1、P2两点，它们与两半直线的垂直距离为a，如图，求P1、P2处的场强。
【例3】三块厚度均匀，长、宽和厚相等的金属板，顺着厚度方向依次排列，金属板的长、宽线度远大于板间间距，如图所示。已知金属板带电量分别为Q1、Q2、Q3，在不考虑边缘效应的条件下，求各金属板两侧的带电量q1、q2、q3、q4、q5、q6。
【例4】如图所示，在半径为R、体电荷密度为的均匀带电球体内部挖去半径为的一个小球，小球球心与大球球心O相距为a，试求的电场强度，并证明空腔内电场均匀。
分析： 把挖去空腔的带电球看作由带电大球与带异号电的小球构成。由公式求出它们各自在的电场强度，再叠加即得。这是利用不具有对称性的带电体的特点，把它凑成由若干具有对称性的带电体组成，使问题得以简化。
在小球内任取一点P，用同样的方法求出，比较和，即可证明空腔内电场是均匀的。采用矢量表述，可使证明简单明确。
解： 由公式可得均匀带电大球（无空腔）在点的电场强度，
，方向为O指向。
同理，均匀带异号电荷的小球 在球心点的电场强度
所以 ，
如图1-1-1（b）所示，在小球内任取一点P，设从O点到点的矢量为，为，（b）
OP为。则P点的电场强度为
可见：
因P点任取，故球形空腔内的电场是均匀的。
二、电通量
穿过电场中某一截面∆S的电通量∆Φe被定义为：，可以理解为，穿过某一截面的电场线的根数
三、高斯定理
真空中静电场的高斯定理表述如下：静电场中通过任意闭合曲面（称高斯面）S的电通量等于该闭合曲面内全部电荷的代数和除以ε0
，与外面的电荷无关。高斯定理的数学表达式为：，其中，
由于高中缺少高等数学知识，因此选取的高斯面即闭合曲面，往往和电场线垂直或平图1-1-2（a） 图1-1-2（b）
行，这样便于电通量的计算。尽管高中教学对高斯定律不作要求，但笔者认为简单了解高斯定律的内容，并利用高斯定律推导几种特殊电场，这对掌握几种特殊电场的分布是很有帮助的。
利用高斯定理求几种常见带电体的场强
①无限长均匀带电直线的电场
一无限长直线均匀带电，电荷线密度为，如图1-1-2（a）所示。考察点P到直线的距离为r。由于带电直线无限长且均匀带电，因此直线周围的电场在竖直方向分量为零，即径向分布，且关于直线对称。取以长直线为主轴，半径为r，长为l的圆柱面为高斯面，如图1-1-2（b），上下表面与电场平行，侧面与电场垂直，因此电通量
图1-1-3
②无限大均匀带电平面的电场
根据无限大均匀带电平面的对称性，可以判定整个带电平面上的电荷产生的电场的场强与带电平面垂直并指向两侧，在离平面等距离的各点场强应相等。因此可作一柱形高斯面，使其侧面与带电平面垂直，两底分别与带电平面平行，并位于离带电平面等距离的两侧如图1-1-3由高斯定律：
式中为电荷的面密度，由公式可知，无限大均匀带电平面两侧是匀强电场。
平行板电容器可认为由两块无限带电均匀导体板构成，其间场强为，则由场强叠加原理可知
③均匀带电球壳的场强
有一半径为R，电量为Q的均匀带电球壳，如图1-1-4。由于电荷分布的对称性，故不难理解球壳内外电场的分布应具有球对称性，因此可在球壳内外取同心球面为高斯面。对高斯面1而言：
图1-1-4
；
对高斯面2：
。
④球对称分布的带电球体的场强
推导方法同上，如图1-1-4，
对高斯面1，
；
对高斯面2，
。
【例5】如图所示，在-d≤x≤d的空间区域内（y，z方向无限延伸）均匀分布着密度为ρ的正电荷，此外均为真空
（1）试求≤d处的场强分布；
（2）若将一质量为m，电量为-q的带点质点，从x=d处由静止释放，试问该带电质点经过过多长时间第一次到达x=0处。
图1-1-8
解： 根据给定区域电荷分布均匀且对称，在y、z方向无限伸展的特点，我们想象存在这样一个圆柱体，底面积为S，高为2x，左、右底面在x轴上的坐标分别是-x和x，如图1-1-8所示。可以判断圆柱体左、右底面处的场强必定相等，且方向分别是逆x轴方向和顺x轴方向。再根据高斯定理，便可求出坐标为x处的电场强度。
（1）根据高斯定律。坐标为x处的场强：
（≤d），x＞0时，场强与x轴同向，x＜0时，场强与x轴反向。
（2）若将一质量为m、电量为的带电质点置于此电场中，质点所受的电场力为：（≤d）
显然质点所受的电场力总是与位移x成正比，且与位移方向相反，符合准弹性力的特点。质点在电场力的运动是简谐振动，振动的周期为
当质点从x=d处静止释放，第一次达到x=0处所用的时间为
四、电势差、电势、等势面、电势能
几种常见带电体的电势分布
（1）点电荷周围的电势
如图1-2-1所示，场源电荷电量为Q，在离Q为r的P点处有一带电量为q的检验电荷，图1-2-1
现将该检验电荷由P点移至无穷远处（取无穷远处为零电势），由于此过程中，所受电场力为变力，故将q移动的整个过程理解为由P移至很近的（离Q距离为）点，再由移至很近的（离Q距离为）点……直至无穷远处。在每一段很小的过程中，电场力可视作恒力，因此这一过程中，电场力做功可表示为：
……
……
……
所以点电荷周围任一点的电势可表示为：
式中Q为场源电荷的电量，r为该点到场源电荷的距离。
电势叠加原理
电势和场强一样，也可以叠加。因为电势是标量，因此在点电荷组形成的电场中，任一点的电势等于每个电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和，这就是电势叠加原理。
（2）均匀带电球壳，实心导体球周围及内部的电势。
由于实心导体球处于静电平衡时，其净电荷只分布在导体球的外表面，因此其内部及周围电场、电势的分布与均匀带电球壳完全相同。由于均匀带电球壳外部电场的分布与点电荷周围电场的分布完全相同，因此用上面类似方法不难证明均匀带电球壳周围的电势为。
r＞R
式中Q为均匀带电球壳的电量，R为球壳的半径，r为该点到球壳球心的距离。
在球壳上任取一个微元，设其电量为，该微元在球心O处产生的电势。由电势叠加原理，可知O点处电势等于球壳表面各微元产生电势的代数和，。
因为均匀带电球壳及实心导体球均为等势体，因而它们内部及表面的电势均为。
【例6】如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点， = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP 。
【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL ，它在P点形成的电势
ΔU = k
环共有段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。
【答案】UP =
〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q ，则UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？
〖答〗UP = ；结论不会改变。
【例7】半径为R的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为的电荷，求该球开口处圆面上任一点的电势。
图1-2-3
解： 设想填补面电荷密度亦为的另半个球面如图1-2-3所示，则球内任一点的场强均为0，对原半球面开口处圆面上的任一点P而言，也有，而是上、下两个半球在P点产生场强、的合成。另据对称性易知，、的大小必定相等，
而、的合场强为零，说明、均垂直于半球开口平面，故在半球面带均匀电荷的情况下，它的开口圆面应为等势点，即圆面上任一点的电势都等于开口圆面圆心点处的电势。故
说明 虽然场强与电势是描述电场不同方面特性的两个物理量，它们之间没有必然的对应关系，但电势相等的各点构成的等势面应与该处的场强方向垂直，利用这个关系可为求取场强或电势提供一条有用的解题路径。
【例8】如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2 ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。
【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。
根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q ，外壁的电荷量为+Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以…
【答案】Uo = k － k + k 。
【例9】如图1-2-2所示，两个同心导体球，内球半径为，外球是个球壳，内半径为，外半径。在下列各种情况下求内外球壳的电势，以及壳内空腔和壳外空间的电势分布规律。
图1-2-2
（1）内球带，外球壳带。
（2）内球带，外球壳不带电。
（3）内球带，外球壳不带电且接地。
（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带。
解: 如图1-2-2所示，根据叠原理：
（1）处有均匀的，必有均匀的，处当然有电荷，因此：
内球
外球
电势差
腔内 （＜r＜）
壳外 （r＞）
（2）处有，处有，处有，因此：
内球
外球
电势差
腔内 （＜r＜）
壳外 （r＞）
（3）处有，处有，外球壳接地，外球壳，处无电荷。
内球
电势差
腔内 （＜r＜）
壳外 （r＞）
（4）内球接地电势为零，内球带，处有，处有，先求，因为
解得
内球
外球
腔内
（＜r＜）
壳外
【例10】（2013清华大学保送生考试）图中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心，点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和UB 。试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少？
【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。若用元段分割→叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法。
每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U1）；②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U2）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U1）。
所以，取走ab前 3U1 = UA
2U2 + U1 = UB
取走ab后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以
UA′= 2U1
UB′= U1 + U2
【答案】UA′= UA ；UB′= UA + UB 。
〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为U1 、U2 、U3和U4 ，则盒子中心点O的电势U等于多少？
〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同，因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法——
我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U1 + U2 + U3 + U4），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为
U′= U1 + U2 + U3 + U4
最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U = U′
〖答〗U = （U1 + U2 + U3 + U4）。
〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图7-12所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP ，试求Q点的电势UQ 。
〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7-12所示。
从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变。
而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面。
考查P点，UP = k + U半球面
其中 U半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即 U半球面= －UQ
以上的两个关系已经足以解题了。
〖答〗UQ = k － UP 。
【例11】在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q1和q2 ，质量分别为m1和m2 ，被固定在相距L的两点。试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？
【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。）
【答】（1）k；（2）Ek1 = k ，Ek2 = k；（3）k 。
〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q1 、q2和q3 ，两两相距为r12 、r23和r31 ，则这个点电荷系统的静电势能是多少？
〖解〗略。〖答〗k（++）。
【例12】
如图所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。
〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v ，1球和3球的速度为v′，则
动量关系 mv + 2m v′= 0
能量关系 3k = 2 k + k + mv2 + 2m
解以上两式即可的v值。
〖答〗v = q 。
五、电像法
电像法的实质在于将一给定的静电场变换为另一易于计算的等效静电场，多用于求解在边界面（例如接地或保持电势不变的导体）前面有一个或一个以上点电荷的问题，在某些情况下，从边界面和电荷的几何位置能够推断：在所考察的区域外，适当放几个量值合适的电 图1-3-5
荷，就能够模拟所需要的边界条件。这些电荷称为像电荷，而这种用一个带有像电荷的、无界的扩大区域，来代替有界区域的实际问题的方法，就称为电像法。例如：
①一无限大接地导体板A前面有一点电荷Q，如图1-3-5所示，则导体板A有（图中左半平面）的空间电场，可看作是在没有导体板A存在情况下，由点电荷Q与其像电荷-Q所共同激发产生。像电荷—Q的位置就是把导体板A当作平面镜时，由电荷Q在此镜中的像点位置。于是左半空间任一点的P的电势为
式中和分别是点电荷Q和像电荷-Q到点P的距离，并且
图1-3-6
o
，此处d是点电荷Q到导体板A的距离。
电像法的正确性可用静电场的唯一性定理来论证，定性分析可从电场线等效的角度去说明。
②一半径为r的接地导体球置于电荷q的电场中，
点电荷到球心的距离为h，球上感应电荷同点电荷q之间的相互作用也可以用一像电荷替代，显然由对称性易知像电荷在导体球的球心O与点电荷q的连线上，设其电量为，离球心O的距离为，如图1-3-6所示，则对球面上任一点P，其电势
整理化简得
要使此式对任意成立，则必须满足
解得
③对（2）中情况，如将q移到无限远处，同时增大q，使在球心处的电场保持有限（相当于匀强电场的场强），这时，像电荷对应的无限趋近球心，但保持有限，因而像电荷和在球心形成一个电偶极子，其电偶极矩。
图1-3-7
无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场可看作是均匀的，因此一个绝缘的金属球在匀强电场中受感应后，它的感应电荷在球外空间的作用相当于一个处在球心，电偶极矩为的电偶极子。
【例13】在距离一个接地的很大的导体板为d的A处放一个带电量为的点电荷（图1-3-7）。
（1）求板上感应电荷在导体内P点（）产生的电场强度。
（2）求板上感应电荷在导体外点产生的电场强度，已知点与P点以导体板右表面对称。
（3）求证导体板表面化的电场强度矢量总与导体板表面垂直。
（4）求导体板上感应电荷对电荷的作用力，
（5）若切断导体板跟地的连接线，再把电荷置于导体板上，试说明这部分电荷在导体板上应如何分布才可以达到静电平衡（略去边缘效应）。
分析： 由于导体板很大且接地，因此只有右边表面才分布有正的感图1-3-8乙
图1-3-8丙
应电荷，而左边接地那一表面是没有感电荷的。静电平衡的条件是导体内场强为零，故P点处的场强为零，而P点处的零场强是导体外及表面电荷产生场强叠加的结果。
解： （1）因为静电平衡后导体内部合场强为零，所以感应电荷在P点的场强和在P点的场强大小相等，方向相反，即
图1-3-8丁 图1-3-8 戍
方向如图1-3-8乙，是到P点的距离。
（2）由于导体板接地，因此感应电荷分布在导体的右边。根据对称原理，可知感应电荷在导体外任意一点处场生的场强一定和感应电荷在对称点
处产生的场强镜像对称（如图1-3-8丙），即，而，式中为到的距离，因此，方向如图1-3-8丙所示。
（3）根据（2）的讨论将取在导体的外表面，此处的场强由和叠加而成（如图1-3-8丁所示），不难看出，这两个场强的合场强是垂直于导体表面的。
（4）在导体板内取一点和所在点A对称的点，的场强由和叠加而为零。由对称可知，A处的和应是大小相等，方向相反的（如图1-3-8戍），所以所受的电场力大小为
方向垂直板面向左。
（5）因为和在导体内处处平衡，所以+Q只有均匀分布在导体两侧，才能保持导体内部场强处处为零。
从以上（2）、（3）、（4）的分析中可看出：导体外部的电场分布与等量异种电荷的电场分布完全相似，即感应电荷的作用和在与A点对称的位置上放一个的作用完全等效，这就是所谓的“电像法”。
六、电容器
几种常用电容器的电容
（1）平行板电容器 若两金属板平行放置，距离d很小，两板的正对面积为S、两极板间充满相对介电常数为的电介质，即构成平行板电容器。
设平行板电容器带电量为Q、则两极板间电势差
故电容
（2）真空中半径为R的孤立导体球的电容
由公式可知，导体球的电势为：
因此孤立导体球的电容为
地球半径很大，电容很大，容纳电荷的本领极强。
（3）同轴圆柱形电容器
高H、半径的导体圆柱外，同轴地放置高也为H、内半径为
＞的导体筒，当H时，便构成一个同轴圆柱形电容器。如果-，则可将它近似处理为平行板电容器，由公式可得其电容为
（4）同心球形电容器
半径为的导体球（或球壳）和由半径为的导体球壳同心放置，便构成了同心球形电容器。
若同心球形电容器内、外球壳之间也充以介电常数为的电介质，内球壳带电量为Q，外球壳带 -Q电荷，则内、外球壳之间的电势差为
故电容
当时，同心球形电容器便成为孤立导体（孤立导分是指在该导体周围没有其他导体或带电体，或者这些物体都接地）球形电容器，设，则其电容为
若孤立导体外无电介质，则，即。
【例14】如图2-4-1所示，两个竖直放置 的同轴导体薄圆筒，内筒半径为R，两筒间距图1-4-1
为d，筒高为L，内筒通过一个未知电容的电容器与电动势U足够大的直流电源的
正极连接，外筒与该电源的负极相连。在两筒之间有相距为h的A、B两点，其连线AB与竖直的筒中央轴平行。在A点有一质量为m、电量为-Q的带电粒子，它以的初速率运动，且方向垂直于由A点和筒中央轴构成的平面。为了使此带电粒子能够经过B点，试求所有可供选择的和值。
分析： 带电粒子从A点射出后，受到重力和筒间电场力的作用。重力竖直向下，使带电粒子在竖直方向作自由落体运动；电场力的方向在垂直筒中央轴的平面内，沿径向指向中央轴。为了使带电粒子能通过B点，要求它在垂直中央轴的平面内以R为半径作匀速圆周运动，这就要求电场力能提供适当的向心力，即对有一定要求。为了使带电粒子经过B点，还要求它从A点沿AB到达B点的时间刚好等于带电粒子作圆周运动所需时间的整数倍，亦即对圆周运动的速度有一定的要求。
解： 带电粒子重力作用下，从A点自由下落至B点所需的时间为
带电粒子在垂直于筒中央轴的平面内，作匀速圆周运动一圈所需的时间为
为了使带电粒子经过B点，要求
……
由以上三式，得
……
带电粒子作匀速圆周运动（速率，半径R）所需的向心力由电场力提供，电场力为
此电场力由内外筒之间的电场提供。因，近似认为内外筒构成平行板电容器，其间是大小相同的径向电场E，设内外筒电势差为，则带电粒子所受电场力应为
由以上两式，得
代入，得
……
因为内、外筒电容器与串联，故有
解得
由公式可知，同轴圆柱形电容器电容
代入，得
……
这就是全部可供选择的。
电容器的串并联
电容器的性能有两个指标；电容和耐压值。在实际应用时，当这两个指标不能满足要求时，就要将电容器串联或并联使用。
（1）串联
几个电容器，前一个的负极和后一个的正极相连，这种连接方式称为电容器的串联。充电后各电容器的电量相同，即…=；第一个电容器的正极与第n个电容器的负极之间的电U为各电容器电压之和，即，因此电容器串联可以增大耐压值。用一个电量为Q，电压为U的等效电容来代替上述n个串联的电容器，则电容为
（2）并联
把n个电容器的正极连在一起，负极连在一起，这种连接方式称为电容器的并联。充电后正极总电量Q等于各电容器正极电量之和，即；正极和负极之间的电压U等于各电容器的电压，即。
用一个电量为Q、电压为U的等效电容器代替上述几个并联的电容器，则电容为
【例15】如图所示，,电源A的电动势，电源B的电动势，开始时，电键K断开。求在闭合电键K后，通过电源A的总电荷量QA和通过电源B的总电荷量QB.(缺图，大黑书P411)
【例16】试讨论如图所示的混联电容器的耐压值问题，图中标出的数据是各个电容器的电容值及额定电压。
(缺图，大白书P474)
【例17】一空气电容器是由4片同样的金属片平行整齐排列而成，极板面积为S，相隔同样距离d；若金属片之间（1）按图（a）连接；（2）按图（b）连接，试问A,B间的电容是多少？.( 缺图，物理学奥赛教程P194)
【例18】三个完全相同的电容器连接如图所示，已知电容器1带电量为Q，上板带正电荷；电容器2，3原来不带电。（1）用导线将a、b相连，求电容器2的上、下板所带电量及其符号；（2）然后断开a、b，将a、c相连，再断开a、c，将a、b相连，求电容器2的上、下板所带的电量及其符号；（3）在（2）的情况下将a、d相连，再求电容器2上、下板所带电量及其符号(缺图，培优教程P266)
【例19】由许多个电容为C的电容器组成一个如图所示的多级网络，试问：
（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电容也为C′？
（2）不接C′，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少？
【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例。
第（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：令级数为1 ，于是
+ = 解C′即可。
第（2）问中，因为“无限”，所以“无限加一级后仍为无限”，不难得出方程
+ =
【答案】（1）C ；（2）C 。
对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“Δ→Y型变换”，参见图，根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式——
Δ→Y型：Ca =
Cb =
Cc =
Y→Δ型：C1 = ，C2 = ，C3 =
【例20】在图所示的电路中，已知C1 = C2 = C3 = C9 = 1μF ，C4 = C5 = C6 = C7 = 2μF ，C8 = C10 = 3μF ，试求A、B之间的等效电容。
有了这样的定式后，我们便可以进行如图7-20所示的四步电路简化（为了方便，电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）——
【答】约2.23μF 。
【例21】如图所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势ε1 = 3.0V ，ε2 = 4.5V，开关K1和K2接通前电容器均未带电，试求K1和K2接通后三个电容器的电压Uao 、Ubo和Uco各为多少。
【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要抓与o相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零。
电量关系：++= 0
电势关系：ε1 = Uao + Uob = Uao − Ubo
ε2 = Ubo + Uoc = Ubo − Uco
解以上三式即可。
【答】Uao = 3.5V ，Ubo = 0.5V ，Uco = −4.0V 。
【例22】如图7-22所示，由n个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为3C 。以a、b为网络的输入端，a′、b′为输出端，今在a、b间加一个恒定电压U ，而在a′b′间接一个电容为C的电容器，试求：（1）从第k单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？
【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例。
（1）类似“物理情形1”的计算，可得 C总 = Ck = C
所以，从输入端算起，第k单元后的电压的经验公式为 Uk =
再算能量储存就不难了。
（2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图7-23中的左图所示。这时，C1的右板和C2的左板（或C2的下板和C3的右板）形成“孤岛”。此后，电容器的相互充电过程（C3类比为“电源”）满足——
电量关系：Q1′= Q3′
Q2′+ Q3′=
电势关系：+ =
从以上三式解得 Q1′= Q3′= ，Q2′= ，这样系统的储能就可以用得出了。
【答】（1）Ek = ；（2） 。
〖学员思考〗图7-23展示的过程中，始末状态的电容器储能是否一样？（答：不一样； 图1-5-1
在相互充电的过程中，导线消耗的焦耳热已不可忽略。）
七、静电场的能量
1．带电导体的能量
一带电体的电量为Q，电容为C，则其电势。我们不妨设想带电体上的电量Q
，是一些分散在无限远处的电荷，在外力作用下一点点搬到带电体上的，因此就搬运过程中，外力克服静电场力作的功，就是带电体的电能。该导体的电势与其所带电量之间的函数关系如图1-5-1所示，斜率为。设每次都搬运极少量的电荷，此过程可认为导体上的电势不变，设为，该过程中搬运电荷所做的功为，即图中一狭条矩形的面积（图中斜线所示）因此整个过程中，带电导体储存的能量为
其数值正好等于图线下的许多小狭条面积之和，若取得尽可能小，则数值就趋向于图线下三角形的面积。
上述带电导体的静电能公式也可推广到带电的电容器，因为电容器两板间的电势差与极板上所带电量的关系也是线性的。
2．电场的能量
由公式，似乎可以认为能量与带电体的电量有关，能量是集中在电荷上的。其实，前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能，并未涉及能量的分布问题。由于在静电场范围内，电荷与电场总是联系在一起的，因此电能究竟与电荷还是与电场联系在一起，尚无法确定。以后学习了麦克斯韦的电磁场理论可知，电场可以脱离电荷而单独存在，并以有限的速度在空间传播，形成电磁波，而电磁波携带能量早已被实践所证实。因此我们说，电场是电能的携带者，电能是电场的能量。下面以平行板电容器为例，用电场强度表示能量公式。
单位体积的电场能量称为电场的能量密度，用来表示
上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，该处的能量密度即可求出，而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得。
3．电容器的充电
如图1-5-2所示，一电动势为U的电源对一电容为C的电容器充电，充电完毕后，电容器所带电量
图1-5-2
电容器所带能量
而电源在对电容器充电过程中，所提供的能量为
也就是说，在充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能量，另一半能量在导线和电源内阻上转化为内能，以及以电磁波的形式发射出去。
【例23】平行板电容器C接在如图所示电路中，接通电源充电，当电压达到稳定值U0时，就下列两种情况回答，将电容C的两极板的距离从d拉到2d，电容器的能量变化为多少？外力做功各是多少？并说明做功的正负。
（1）断开电源开关。（2）闭合电源开关。
大白书P481页31
【例24】一个带总电荷Q的导体球被切成两相同的半球，若要保持两半球还在一起，至少需要多大力？大黑书例题P19例3
【例25】真空中电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，导出与这一电荷分布相联系的总电能表达式。大白书P481页32
【例26】两个相距很远的铜球，已知其半径和电势分别是：r1=6cm，U1=300V；r2=4cm，U2=300V。将这两个铜球用细铜丝连接达到静电平衡后，问此时电能损耗了多少
【例27】如图所示，a、d为一平行板电容器的两个极板，bc是一块长宽都与a板相同的厚导体板，平行地插在a、d之间，导体板的长度bc=ab=cd，极板a、d与内阻可忽略的电动势为E的蓄电池以及电阻R相连如图。已知在没有导体板bc时电容器a、d的电容器为C0，现将导体板bc抽走，设已知抽走导体板bc的过程中所做的功为A，求该过程中电阻R
上消耗的电能。
大白书P485页36
【例28】用N节电动势为的电池对某个电容器充电，头一次用N节电池串联后对电容器充电；第二次先用一节电池对电容器充电，再用两节串联再充一次，再用三节串联再充……直到用N节串联充电，哪一种方案消耗电能多？
解： 第一次电源提供的能量，电容器储能，
消耗的能量 。
第二次充电时，电容器上电量从0→Q1→Q2→Q3……而
电源每次提供能量为
…………
消耗的能量
显然，前一种方案消耗能量多，实际上，头一种方案电源搬运电量Q全部是在电势差条件下进行的。第二种方案中，只有最后一次搬运电量是在电势差下进行的，其余是在小于下进行的。
微信/支付宝扫码支付下载