高中物理带电粒子在磁场中的运动模拟试题及解析(20200912144647) 26页

高中物理带电粒子在磁场中的运动模拟试题及解析 一、带电粒子在磁场中的运动专项训练 1．如图所示，在一直角坐标系 xoy 平面内有圆形区域，圆心在 x 轴负半轴上， P、Q 是圆 上的两点，坐标分别为 P（-8L，0）， Q（-3L，0）。 y 轴的左侧空间，在圆形区域外，有 一匀强磁场，磁场方向垂直于 xoy 平面向外，磁感应强度的大小为 B，y 轴的右侧空间有一 磁感应强度大小为 2B 的匀强磁场，方向垂直于 xoy 平面向外。现从 P 点沿与 x 轴正方向成 37°角射出一质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，带电粒子沿水平方向进入第一象限，不 计粒子的重力。求： （1）带电粒子的初速度； （2）粒子从 P 点射出到再次回到 P 点所用的时间。 【答案】 (1) 8qBLv m ； (2) 41(1 ) 45 mt qB 【解析】 【详解】 (1)带电粒子以初速度 v 沿与 x 轴正向成 37o 角方向射出，经过圆周 C点进入磁场，做匀速 圆周运动，经过 y 轴左侧磁场后，从 y 轴上 D 点垂直于 y 轴射入右侧磁场，如图所示，由 几何关系得： 5 sin37 oQC L 1 5 sin37 O OQO Q L 在 y 轴左侧磁场中做匀速圆周运动，半径为 1R ， 1 1R O Q QC 2 1 vqvB m R 解得： 8qBLv m ； (2)由公式 2 2 vqvB m R 得： 2 mvR qB ，解得： 2 4R L 由 2 4R L 可知带电粒子经过 y 轴右侧磁场后从图中 1O 占垂直于 y 轴射放左侧磁场，由对 称性，在 y 圆周点左侧磁场中做匀速圆周运动，经过圆周上的 E 点，沿直线打到 P 点，设 带电粒子从 P 点运动到 C点的时间为 1t 5 cos37oPC L 1 PCt v 带电粒子从 C 点到 D 点做匀速圆周运动，周期为 1T ，时间为 2t 1 2 mT qB 2 1 37 360 o ot T 带电粒子从 D 做匀速圆周运动到 1O 点的周期为 2T ，所用时间为 3t 2 2 ·2 m mT q B qB 3 2 1 2 t T 从 P 点到再次回到 P 点所用的时间为 t 1 2 22 2t t t t 联立解得： 411 45 mt qB 。 2．在如图所示的平面直角坐标系中，存在一个半径 R＝0.2m 的圆形匀强磁场区域，磁感 应强度 B＝1.0T，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与 y 坐标轴相切于原点 O 点。 y 轴右侧存在一个匀强电场，方向沿 y 轴正方向，电场区域宽度 l ＝0.1m。现从坐标为（﹣ 0.2m，﹣ 0.2m）的 P 点发射出质量 m＝2.0× 10﹣9kg、带电荷量 q＝ 5.0×10﹣5C 的带正电粒 子，沿 y 轴正方向射入匀强磁场，速度大小 v0＝5.0×103m/s（粒子重力不计）。 （1）带电粒子从坐标为（ 0.1m，0.05m ）的点射出电场，求该电场强度； （2）为了使该带电粒子能从坐标为（ 0.1m，﹣ 0.05m）的点回到电场，可在紧邻电场的右 侧区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和方向。 【答案】（ 1）1.0×104N/C（2） 4T，方向垂直纸面向外 【解析】 【详解】 解：（ 1）带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有： 2 0 0 vqv B m r 可得： r=0.20m =R 根据几何关系可以知道，带电粒子恰从 O 点沿 x 轴进入电场，带电粒子做类平抛运动，设 粒子到达电场边缘时，竖直方向的位移为 y 根据类平抛规律可得： 2 0 1 2 l v t y at， 根据牛顿第二定律可得： Eq ma 联立可得： 41.0 10E N/C （2）粒子飞离电场时，沿电场方向速度： 3 0 5.0 10y qE lv at m v m/s= 0v 粒子射出电场时速度： 02v v 根据几何关系可知，粒子在 B 区域磁场中做圆周运动半径： 2r y 根据洛伦兹力提供向心力可得： 2vqvB m r 联立可得所加匀强磁场的磁感应强度大小： 4mvB qr T 根据左手定则可知所加磁场方向垂直纸面向外。 3．如图甲所示，在直角坐标系中的 0≤x≤L区域内有沿 y 轴正方向的匀强电场，右侧有以点 （2L，0）为圆心、半径为 L的圆形区域，与 x 轴的交点分别为 M、N，在 xOy 平面内，从 电离室产生的质量为 m、带电荷量为 e 的电子以几乎为零的初速度从 P 点飘入电势差为 U 的加速电场中，加速后经过右侧极板上的小孔 Q 点沿 x 轴正方向进入匀强电场，已知 O、 Q 两点之间的距离为 2 L ，飞出电场后从 M 点进入圆形区域，不考虑电子所受的重力。 （1）求 0≤x≤L区域内电场强度 E 的大小和电子从 M 点进入圆形区域时的速度 vM； （2）若圆形区域内加一个垂直于纸面向外的匀强磁场，使电子穿出圆形区域时速度方向垂 直于 x 轴，求所加磁场磁感应强度 B 的大小和电子在圆形区域内运动的时间 t ； （3）若在电子从 M 点进入磁场区域时，取 t＝0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场 （以垂直于纸面向外为正方向），最后电子从 N 点飞出，速度方向与进入圆形磁场时方向 相同，请写出磁场变化周期 T 满足的关系表达式。 【答案】（ 1） 2UE L ， 2M eUv m ，设 vM 的方向与 x 轴的夹角为 θ， θ＝45°；（ 2） 2Mmv mvB eR L e ， 3 34 8M R L mt v eU ；（ 3）T 的表达式为 2 2 mLT n emU （ n＝ 1，2，3，⋯） 【解析】 【详解】 （1）在加速电场中，从 P 点到 Q 点由动能定理得： 2 0 1 2 eU mv 可得 0 2eUv m 电子从 Q 点到 M 点，做类平抛运动， x 轴方向做匀速直线运动， 0 2 L mt L v eU y 轴方向做匀加速直线运动， 21 2 2 L eE t m 由以上各式可得： 2UE L 电子运动至 M 点时： 2 2 0 ( )M Eev v t m 即： 2M eUv m 设 vM 的方向与 x 轴的夹角为 θ， 0 2cos 2M v v 解得： θ＝45°。 （2）如图甲所示，电子从 M 点到 A 点，做匀速圆周运动，因 O2M ＝O2A，O1M ＝ O1A ， 且 O2A∥MO 1，所以四边形 MO 1AO 2 为菱形，即 R＝L 由洛伦兹力提供向心力可得： 2 M M vev B m R 即 2Mmv mvB eR L e 3 34 8M R L mt v eU 。 （3）电子在磁场中运动最简单的情景如图乙所示，在磁场变化的半个周期内，粒子的偏转 角为 90°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，电子在 x 轴方向上的位移恰好等于 轨道半径 2R ，即 2 2 2R L 因电子在磁场中的运动具有周期性，如图丙所示，电子到达 N 点且速度符合要求的空间条 件为： 2 ( 2 ) 2n R L （n＝1，2，3，⋯） 电子在磁场中做圆周运动的轨道半径 0 MmvR eB 解得： 0 2 2n emUB eL （n＝1，2，3， ⋯） 电子在磁场变化的半个周期内恰好转过 1 4 圆周，同时在 MN 间的运动时间是磁场变化周期 的整数倍时，可使粒子到达 N 点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是 0 1 4 2 TT 又 0 0 2 mT eB 则 T 的表达式为 2 2 mLT n emU （n＝1，2，3，⋯）。 4．某控制带电粒子运动的仪器原理如图所示，区域 PP′M′M内有竖直向下的匀强电场，电 场场强 E＝1.0 ×103V/m ，宽度 d＝0.05m ，长度 L＝0.40m ；区域 MM′ N′N内有垂直纸面向里 的匀强磁场，磁感应强度 B＝2.5 ×10－2T，宽度 D＝0.05m，比荷 q m ＝1.0 ×108C/kg 的带正电 的粒子以水平初速度 v0 从 P 点射入电场．边界 MM′不影响粒子的运动，不计粒子重力． (1) 若 v0＝8.0 × 105m/s，求粒子从区域 PP′ N′N射出的位置； (2) 若粒子第一次进入磁场后就从 M′ N′间垂直边界射出，求 v0 的大小； (3) 若粒子从 M′点射出，求 v0满足的条件． 【答案】 (1)0.0125m (2) 3.6 ×105m/s. (3) 第一种情况： v0＝ 54.0 0.8( ) 10 / 2 1 n m s n (其中 n＝ 0、1、2、3、4)第二种情况： v0＝ 53.2 0.8( ) 10 / 2 1 n m s n (其中 n＝0、1、2、3)． 【解析】 【详解】 (1) 粒子以水平初速度从 P 点射入电场后，在电场中做类平抛运动，假设粒子能够进入磁 场，则 竖直方向 21 · · 2 Eqd t m ＝ 得 2mdt qE 代入数据解得 t＝1.0 ×10－6s 水平位移 x＝v0t 代入数据解得 x＝0.80m 因为 x 大于 L，所以粒子不能进入磁场，而是从 P′M′间射出， 则运动时间 t 0＝ 0 L v ＝0.5 ×10－6s， 竖直位移 2 0 1· · 2 Eqy t m ＝ ＝0.0125m 所以粒子从 P′点下方 0.0125m 处射出． (2) 由第一问可以求得粒子在电场中做类平抛运动的水平位移 x＝v0 2md qE 粒子进入磁场时，垂直边界的速度 v1＝ qE m ·t＝ 2qEd m 设粒子与磁场边界之间的夹角为 α，则粒子进入磁场时的速度为 v＝ 1v sin 在磁场中由 qvB＝m 2v R 得 R＝ mv qB 粒子第一次进入磁场后，垂直边界 M′N′射出磁场，必须满足 x＋Rsinα＝L 把 x＝v0 2md qE 、R＝ mv qB 、 v＝ 1v sin 、 1 2qEdv m ＝ 代入解得 v0＝L· 2 Eq md － E B v0＝3.6 × 105m/s. (3) 由第二问解答的图可知粒子离 MM ′的最远距离 Δy＝R－Rcosα＝R(1－cos α) 把 R＝ mv qB 、v＝ 1v sin 、 1 2qEdv m ＝ 代入解得 1 2 (1 cos ) 1 2 tan sin 2 mEd mEdy B q B q 可以看出当 α＝90°时， Δy有最大值， ( α＝90°即粒子从 P 点射入电场的速度为零，直接在 电场中加速后以 v1 的速度垂直 MM′进入磁场运动半个圆周回到电场 ) 1 max 2 1 2mv m qEd mEdy qB qB m B q Δymax＝0.04m ，Δymax 小于磁场宽度 D，所以不管粒子的水平射入速度是多少，粒子都不会 从边界 NN′射出磁场． 若粒子速度较小，周期性运动的轨迹如下图所示： 粒子要从 M′点射出边界有两种情况， 第一种情况： L＝n(2v0t＋2Rsin α)＋v0t 把 2mdt qE 、R＝ mv qB 、v1＝vsin α、 1 2qEdv m ＝ 代入解得 0 2 2 1 2 2 1 L qE n Ev n md n B v0＝ 4.0 0.8 2 1 n n × 105m/s( 其中 n＝0、 1、2、3、4) 第二种情况： L＝n(2v0t＋2Rsin α)＋v0t＋2Rsin α 把 2mdt qE 、R＝ mv qB 、v1＝vsin α、 1 2qEdv m ＝ 代入解得 0 2( 1) 2 1 2 2 1 L qE n Ev n md n B v0＝ 3.2 0.8 2 1 n n × 105m/s( 其中 n＝0、 1、2、3)． 5．如图，圆心为 O、半径为 r 的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁 感应强度大小为 B。P 是圆外一点， OP=3r。一质量为 m、电荷量为 q(q>0)的粒子从 P 点在 纸面内垂直于 OP 射出。己知粒子运动轨迹经过圆心 O，不计重力。求 (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径； (2)粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间。 【答案】 (1) (2) 【解析】 【分析】 本题考查在匀强磁场中的匀速圆周运动及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知 识解决问题的的能力。 【详解】 （1）找圆心，画轨迹，求半径。 设粒子在磁场中运动半径为 R，由几何关系得： ① 易得： ② （2）设进入磁场时速度的大小为 v，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 ③ 进入圆形区域，带电粒子做匀速直线运动，则 ④ 联立②③④解得 6．在如图甲所示的直角坐标系中，两平行极板 MN 垂直于 y 轴， N 板在 x 轴上且其左端与 坐标原点 O 重合，极板长度 l=0.08m，板间距离 d=0.09m，两板间加上如图乙所示的周期性 变化电压，两板间电场可看作匀强电场．在 y 轴上 (0， d/2)处有一粒子源，垂直于 y 轴连续 不断向 x 轴正方向发射相同的带正电的粒子，粒子比荷为 q m =5× 107C／kg，速度为 v0=8× 105m/s．t=0 时刻射入板间的粒子恰好经 N 板右边缘打在 x 轴上 .不计粒子重力及粒子 间的相互作用，求 : (1)电压 U0 的大小； (2)若沿 x 轴水平放置一荧光屏，要使粒子全部打在荧光屏上，求荧光屏的最小长度； (3)若在第四象限加一个与 x 轴相切的圆形匀强磁场，半径为 r=0.03m，切点 A 的坐标为 (0.12m ，0)，磁场的磁感应强度大小 B= 2 3 T ，方向垂直于坐标平面向里．求粒子出磁场后 与 x 轴交点坐标的范围． 【答案】 (1) 4 0 2.16 10 VU (2) 0.04mx (3) 0.1425mx 【解析】 【分析】 【详解】 (1)对于 t=0 时刻射入极板间的粒子： 0l v T 71 10T s 2 1 1 ( ) 2 2 Ty a 2y Tv a 2 2y Ty v 1 22 d y y Eq ma 0UE d 解得： 4 0 2.16 10 VU (2) 2 Tt nT 时刻射出的粒子打在 x 轴上水平位移最大： 0 3 2A Tx v 所放荧光屏的最小长度 Ax x l 即： 0.04x m (3)不同时刻射出极板的粒子沿垂直于极板方向的速度均为 vy. 速度偏转角的正切值均为： 0 tan yv v 37 0cos37 v v 61 10 m/sv 即：所有的粒子射出极板时速度的大小和方向均相同 . 2vqvB m R 0.03mR r 由分析得，如图所示，所有粒子在磁场中运动后发生磁聚焦由磁场中的一点 B 离开磁场 . 由几何关系，恰好经 N 板右边缘的粒子经 x 轴后沿磁场圆半径方向射入磁场，一定沿磁场 圆半径方向射出磁场；从 x 轴射出点的横坐标： tan53C A Rx x 0.1425mCx . 由几何关系，过 A 点的粒子经 x 轴后进入磁场由 B 点沿 x 轴正向运动 . 综上所述，粒子经过磁场后第二次打在 x 轴上的范围为： 0.1425mx 7．正、负电子从静止开始分别经过同一回旋加速器加速后，从回旋加速器 D 型盒的边缘 引出后注入到正负电子对撞机中．正、负电子对撞机置于真空中．在对撞机中正、负电子 对撞后湮灭成为两个同频率的光子．回旋加速器 D 型盒中的匀强磁场的磁感应强度为 0B ， 回旋加速器的半径为 R，加速电压为 U； D 型盒缝隙间的距离很小，带电粒子穿过的时间 可以忽略不计．电子的质量为 m、电量为 e，重力不计．真空中的光速为 c，普朗克常量为 h． （1）求正、负电子进入对撞机时分别具有的能量 E 及正、负电子对撞湮灭后产生的光子频 率 v （2）求从开始经回旋加速器加速到获得最大能量的过程中， D 型盒间的电场对电子做功的 平均功率 P （3）图甲为正负电子对撞机的最后部分的简化示意图．位于水平面的粗实线所示的圆环真 空管道是正、负电子做圆周运动的 “容器 ”，正、负电子沿管道向相反的方向运动，在管道 内控制它们转变的是一系列圆形电磁铁．即图中的 A1、A2、A4⋯⋯An 共有 n 个，均匀分布在 整个圆环上．每个电磁铁内的磁场都是匀强磁场，并且磁感应强度都相同，方向竖直向 下．磁场区域的直径为 d．改变电磁铁内电流大小，就可以改变磁场的磁感应强度，从而 改变电子偏转的角度．经过精确调整，首先实现电子在环形管道中沿图甲中粗虚线所示的 轨道运动，这时电子经过每个电磁铁时射入点和射出点都在电磁铁的同一直径的两端，如 图乙所示．这就为进一步实现正、负电子的对撞做好了准备．求电磁铁内匀强磁场的磁感 应强度 B 大小 【答案】 (1) 2 2 2 2 0 2e B R mcv mh h ， 2 2 2 0 2 e B RE m ；(2) 2 0e B U m ；(3) 02 sinB R n d 【解析】 【详解】 解： (1)正、负电子在回旋加速器中磁场里则有： 2 0 0 mvevB R 解得正、负电子离开回旋加速器时的速度为： 0 0 eB Rv m 正、负电子进入对撞机时分别具有的能量： 2 2 2 2 0 0 1 2 2 e B RE mv m 正、负电子对撞湮灭时动量守恒，能量守恒，则有： 22 2E mc hv 正、负电子对撞湮灭后产生的光子频率： 2 2 2 2 0 2e B R mcv mh h (2) 从开始经回旋加速器加速到获得最大能量的过程，设在电场中加速 n 次，则有： 2 0 1 2 neU mv 解得： 2 2 0 2 eB Rn mU 正、负电子在磁场中运动的周期为： 0 2 mT eB 正、负电子在磁场中运动的时间为： 2 0 2 2 B Rnt T U D 型盒间的电场对电子做功的平均功率： 2 0e B UW EP t t m (3)设电子在匀强磁场中做圆周运动的半径为 r ，由几何关系可得 sin 2 dr n 解得： 2sin dr n 根据洛伦磁力提供向心力可得： 2 0 0 mvev B r 电磁铁内匀强磁场的磁感应强度 B 大小： 02 sinB R nB d 8．如图所示，在直角坐标系 x0y 平面的一、四个象限内各有一个边长为 L 的正方向区域， 二三像限区域内各有一个高 L，宽 2L 的匀强磁场，其中在第二象限内有垂直坐标平面向外 的匀强磁场，第一、三、四象限内有垂直坐标平面向内的匀强磁场，各磁场的磁感应强度 大小均相等，第一象限的 x