专题05 万有引力定律-2018年高考物理备考中等生百日捷进提升系列 21页

第一部分 特点描述 万有引力定律是高考的必考内容，也是高考命题的一个热点内容。考生要熟练掌握该定律的内容，还要知道其主 要应用，要求能够结合该定律与牛顿第二定律估算天体质量、密度、计算天体间的距离（卫星高度）、以及分析 卫星运动轨道等相关问题。由于高考计算题量减少，故本节命题应当会以选择题为主，难度较以前会有所降低。 本章核心内容突出，主要考察人造卫星、宇宙速度以及万有引力定律的综合应用，与实际生活、新科技等结合的 应用性题型考查较多。牢牢地抓住基本公式，建立天体运动的两个模型是解决万有引力问题的关键。复习万有引 力定律的应用时分两条主线展开，一是万有引力等于向心力，二是重力近似等于万有引力。 第二部分 知识背一背 一、万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量 m1 和 m2 的 乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比。 2.公式：F= 퐺 푚1푚2 푟 2 ，其中 G 为引力常量，G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定. 3.适用条件：两个质点之间的相互作用. (1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中 r 为两球心间的距离。 (2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中 r 为_质点到球心间的距离。 二、三种宇宙速度 三、经典时空观和相对论时空观 1.经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量不随运动状态而改变； (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的. 2.相对论时空观 (1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为 m= 푚0 1－ 푣 2 푐 2 . (2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。 第三部分 技能+方法 一、万有引力定律在天体运动中的应用 1.利用万有引力定律解决天体运动的一般思路 （1）一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． （2）两组公式 G 푀푚 푟 2 ＝m 푣 2 푟 ＝mω2r＝m 4휋 2 푇 2 ·r＝ma mg＝ 퐺 푀푚 푅 2 (g 为星体表面处的重力加速度)． 2.天体质量和密度的计算 （1）估算中心天体的质量 ①从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期 T 和轨道半径 r，就可以求出中心天体的质量 M ②从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度 g 和半径 R，就可以求出中心天体的质量 M （2）设天体表面的重力加速度为 g，天体半径为 R，则 mg＝G 푀푚 푅 2，即 g＝ 퐺 푀 푅 2(或 GM＝gR2)若物体距星体表面 高度为 h，则重力 mg′＝G 푀푚 푅 ＋ℎ2，即 g′＝ 퐺 푀 푅 ＋ℎ2＝ 푅 2 푅 ＋ℎ2g. 【例 1】2010 年 10 月 1 日，我国成功发射“嫦娥”二号探月卫星，不久的将来我国将建立月球基地，并在绕月轨 道上建造空间站。如图所示，已关闭发动机的 A 处航天飞机在月球引力作用下正沿椭圆轨道向月球靠近，并将与 空间站在 B 处对接。已知空间站绕月轨道（设为圆）离月球表面高度 h、周期为 T，月球质量为 M，万有引力常 量为 G，下列说法正确的是 （ ） A．图中航天飞机由 A 到 B 的过程速度越来越小 B．航天飞机在 B 处由椭圆轨道进入空间站圆轨道时必须点火加速 C．根据题中条件可以算出月球半径 D．根据题中条件可以算出空间站质量 【答案】 C 【例 2】“嫦娥三号”探月卫星于 2013 年 12 月 2 日 1 点 30 分在西昌卫星发射中心发射，并成功实现了“落月”。 若已知引力常量为 G，月球绕地球做圆周运动的半径为 r1、周期为 T1，“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动 的环月轨道半径为 r2、周期为 T2，不计其他天体的影响，则根据题目条件可以 （ ） A．求出地球的密度 B．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量 C．求出地球与月球之间的万有引力 D．得出 【答案】 C 【解析】 A 中根据月球绕地球做圆周运动的半径为 r1、周期为 T1 可知： ，可求得地球的质量 M 地= ，但地球的半径未知，不能求出地球的密度，故 A 错误； B 中“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动，由万有引力提供向心力得： ，由此可知卫星的质量 m 在等式两边约去了，只能得到月球的质量 M 月= ，故 B 错误； C 中由上求出月球和地球的质量，又月球绕地球做圆周运动的半径为 r1，根据万有引力定律可求得地球与月球之 间的引力，故 C 正确； D 中由 A、B 两项结果可得： ， ，故 ≠ ，D 是不对的。 3 3 1 2 2 2 1 2 r r T T = 12 1 2 2 1 4 r T M r MGM ××= π月月地 2 1 3 1 24 GT rπ 22 2 2 2 2 4 r T m r mGM ××= π月 2 2 3 2 24 GT rπ 22 1 3 1 4π 地GM T r = 22 2 3 2 4π 月GM T r = 2 1 3 1 T r 2 2 3 2 T r 二、双星模型 1．模型概述：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期 相同的匀速圆周运动的行星称为双星． 2．模型特点： (1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故 F1＝F2，且方向相反，分别作用在 m1、m2 两颗行星上． (2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期及角速度相等． (3)由于圆心在两颗行星的连线上，所以 r1＋r2＝L. 【例 3】宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统。在浩瀚 的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统 A、B 绕其连线上的 O 点做匀速圆周运动，如图所示．若 AO>OB，则： （ ） A. 星球 A 的质量一定小于星球 B 的质量； B. 星球 A 的线速度一定小于星球 B 的线速度； C. 双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大； D. 双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大。 【答案】 AD 【例 4】双星系统中两个星球 A、B 的质量都是 m，A、B 相距 L，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运 动。实际观测该系统的周期 T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值 ，且 ，于是有人猜测这 可能是受到了一颗未发现的星球 C 的影响，并认为 C 位于双星 A.B 的连线正中间，相对 A、B 静止，求： （1）两个星球 A、B 组成的双星系统周期理论值 ； （2）星球 C 的质量。 【答案】 （1） （2） 0T )1( 0 <= kkT T 0T Gm L L Gm T 22 2 22 3 3 0 0 ππ ω π === mk kM )4 1( 2 2−= （2）由于星体 C 的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则： ， 可求得： 所以 三、卫星的在轨运行和变轨问题 (1)圆轨道上的稳定运行 G 푀푚 푟 2 ＝m 푣 2 푟 ＝mrω2＝mr(2휋 푇 )2 (2)变轨运行分析 当卫星由于某种原因速度 v 突然改变时，受到的万有引力 G 푀푚 푟 2 和需要的向心力 m 푣 2 푟 不再相等，卫星将偏离原 轨道运动．当 G 푀푚 푟 2 ＞m 푣 2 푟 时，卫星做近心运动，其轨道半径 r 变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大； 反之，当 G 푀푚 푟 2 ＜m 푣 2 푟 时，卫星做离心运动，其轨道半径 r 变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小． 3.地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合. (2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T＝24 h＝86 400 s. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同. (4)高度一定，卫星离地面高度 h＝r－R≈6R(为恒量). (5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致. 2 2 2 2 2 1 )2 1( ω⋅⋅=+ Lm L mMGL mG 3 )4(2 L MmG +=ω )4(222 3 MmG LT +== πω π kMm m Gm L MmG L T T =+=+= 4 22 )4(22 3 3 0 π π mk kM )4 1( 2 2−= 4.极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖. (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径， 其运行线速度约为 7.9 km/s. (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心. 【例 5】2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分，搭载月球车和着陆器的嫦娥三号月球探测器从西昌卫星发射中心升空， 飞行约 18min 后，嫦娥三号进入如图所示的地月转移轨道 AB，A 为入口点，B 为出口点，嫦娥三号在 B 点经过 近月制动，进入距离月面 h=100 公里的环月圆轨道，其运行的周期为 T，然后择机在月球虹湾地区实行软着陆， 展开月面巡视勘察。若以 R 表示月球半径，忽略月球自转及地球对它的影响。下列说法正确的是 （ ） A．携带月球车的着陆器在月球上着陆过程中一直处于失重状态 B．物体在月球表面自由下落的加速度大小为 C．月球的第一宇宙速度为 D．由于月球表面重力加速度较小，故月球车在月球上执行巡视探测任务时处于失重状态 【答案】 B 重力加速度为 ，故 B 正确；月球的第一宇宙速度就是近月卫星的运行速度，根据重力提供向心 力 ，得 ，故 C 错误；月球表面重力加速度较小，说明在月 22 32 )(4 TR hR +π T hRR 3)(2 +π ( )32 2 2 4g R h R T π += 2vmg m R ＝ ( ) ( )3 32 2 4 2R h R hv gR RT T R π π+ + ＝ ＝ ＝ 球表面受到的重力小于地面上，而超重失重是指弹力和重力大小关系，故 D 错误。 【例 6】“神舟”六号载人飞船顺利发射升空后，经过 115 小时 32 分的太空飞行，在离地面 343 km 的圆轨道上运 行了 77 圈，运动中需要多次“轨道维持”．所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小 和方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定飞行，如果不进行“轨道维持”，由于飞船受到轨道上稀薄空气的影响， 轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能的变化情况是 （ ） A.动能、重力势能和机械能逐渐减少 B.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变 C.重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变 D.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小 【答案】 D 【解析】 飞船受到轨道上稀薄空气的影响，轨道高度会逐渐降低，高度降低，则重力势能减小，合力做正功，动能增大， 由于空气阻力的影响，有内能产生，所以机械能减小，减小的机械能转变为内能。故 D 正确，A、B、C 错误。 故选 D。 第四部分 基础练+测 一、选择题 1．在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为引力常量 G 在缓慢地减小。假 设月球绕地球做匀速圆周运动，且它们的质量始终保持不变，根据这种学说当前月球绕地球做匀速圆周运动的情 况与很久很久以前相比 （ ） A．周期变大 B．角速度变大 C．轨道半径减小 D．速度变大 【答案】 A 2．设地球是一质量分布均匀的球体，O 为地心．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．在下列四个 图中，能正确描述 x 轴上各点的重力加速度 g 的分布情况的是． （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 点睛：抓住在地球表面重力和万有引力相等，在矿井底部，地球的重力和万有引力相等，要注意在地球内部所谓 的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为 r 的球体的质量． 3．2012 年 4 月 30 日，我国用一枚 “长征 3 号乙”火箭成功发射两颗北斗导航卫星。若该卫星绕地球做匀速圆周 运动的半径为 r，地球质量为 M，半径为 R，万有引力常量为 G，下列表述正确的是 （ ） A．卫星的线速度大小为 B．卫星的向心加速度大小为 C．若某一卫星加速，则该卫星将做向心运动 D．卫星处于完全失重的状态，不受地球的引力作用 【答案】 A 【解析】 万有引力提供向心力，有 ，解得速度 ，选项 A 正确。根据牛顿第二定律有 ，则加速度 ，选项 B 错误。若某一卫星加速，有 ，卫星做离心运动，选项 C 错误。卫星处于完全失重的状态，仍然要受到万有引力的作用，重力几乎消失，选项 D 错误。 4．2012 年 2 月 6 日国防科工局发布了由“嫦娥二号”月球探测器获得的 7 米分辨率全月球影像图，这是我国探月 工程取得的重大科技成果。设地球、月球的质量分别为 m1、m2，半径分别为 R1、R2，地球的某近地卫星速度为 v， 环绕周期为 T，则环绕月球表面飞行的探测器速度和周期为 （ ） A． B． C． D． 【答案】 A GM r 2 GM R r vmr MmG 2 2 = r GMv = mar MmG =2 2r MGa = r vmr MmG 2 2 < TRm RmvRm Rm 3 12 3 21 21 12 , TRm RmvRm Rm 3 21 3 12 12 21 , TRm RmvRm Rm 3 21 3 12 21 12 , TRm RmvRm Rm 3 12 3 21 12 21 , 5．2013 年 4 月 26 日 12 时 13 分 04 秒，酒泉卫星发射中心成功发射了“高分一号”卫星，这也是我国今年首次 发射卫星。“高分一号”卫星是高分辨率对地观测系统的首发星，也是我国第一颗设计、考核寿命要求大于 5 年的 低轨遥感卫星。关于“高分一号”卫星，下列说法正确的是 （ ） A．卫星的发射速度一定小于 7.9km/s B．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 C．绕地球运行的向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度小 D．卫星在预定轨道上没有加速度 【答案】 B 【解析】 7.9km/s 是卫星的最小发射速度，所以 A 错；由 知， 卫星离地较近，角速 度大，向心加速度大，B 对 C 错；卫星具有向心加速度，D 错误。 6．如图所示，a 为地球赤道上的物体，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球同步卫星．关 于 a、b、c 做匀速圆周运动的说法中正确的是 （ ） 2 2 mrwr MmG = 32 , r GMwr GMan == A．角速度的大小关系为 ωa=ωc＞ωb B．向心加速度的大小关系为 aa＞ab＞ac C．线速度的大小关系为 va＞vb＞vc D．周期关系为 Ta=Tc＞Tb 【答案】 D 考点：人造卫星的加速度、周期和轨道的关系；万有引力定律及其应用 点评：本题涉及到两种物理模型，即 AC 转动的周期相等，BC 同为卫星，其动力学原理相同，要两两分开比较， 最后再统一比较 7．某星球的半径为 R，在其表面上方高度为 a 的位置，以初速度 v0 水平抛出一个金属小球，水平射程为 b，a、b 均为数值极小的常数，则这个星球的第一宇宙速度为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】设该星球表面重力加速度为 g，小球落地时间为 t，抛出的金属小球做平抛运动，根据平抛运动规 0 2a vb 0 b va 0 a vb 02 a vb 8．位于地球赤道上的某观察者在天黑 4 小时后，观察者在其正上方仍然可观察到一颗绕地球做匀速圆周运动的 人造地球卫星。设地球半径为 R，下表列出卫星在不同轨道上飞行速度 v 大小： 轨道半径 r R 1.5R 2R 2.5R 3R v(km/s) 7.9 6.5 5.6 5.1 4.6 则这颗卫星飞行速度大小 v 一定是 （ ） A．5.6km/s≤v<7.9km/s B．5.1km/s≤v<6.5km/s C．v=5.1km/s D．v<5.6km/s 【答案】 D 【解析】 站 在 赤 道 上 的 人 要 看 到 卫 星 ， 需 要 满 足 太 阳 光 经 卫 星 反 射 后 能 到 达 人 所 在 的 位 置 ， 如 下 图 所 示 ， 地 球 自 西 向 东 转 ， 天 黑 4 小 时 人 应 处 在 图 中 位 置 ， 设 此 时 太 阳 光 经 过 卫 星 反 射 后 恰 好 射 到 人 所 在 的 位 置 ，由 几 何 关 系 得 卫 星 距 地 心 的 距 离 为 2R，这 是 卫 星 距 离 地 心 的 最 小 距 离 ，即 卫 星 的 轨 道 半 径 r≥ 2R， 查 表 得 该 卫 星 的 速 度 υ ≤ 5.6Km/s． 故 D 正 确 ， A、 B、 C 错 误 ， D 正 确 。 9．（多选）某行星周围存在着环状物质，为了测定环状物质是行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某天 文学家对其做了精确的观测，发现环状物质绕行星中心的运行速度 与到行星中心的距离 r 的关系如图所示。已 知行星除环状物外的半径为 R，环状物质的宽度为 d,引力常量为 G。则以下说法正确的是 （ ） A. 环状物质是该行星的组成部分 B. 行星表面的重力加速度 C. 该行星除去环状物质部分后的质量 D. 该行星的自转周期 【答案】 AD 10．（多选）冥王星和其附近的星体卡戎的质量分别为 M、m（m