湖北省光谷第二高级中学高三物理 难点7 实战平抛与圆周两大曲线运动（通用） 9页

难点7 实战平抛与圆周两大曲线运动 ‎ 平抛运动与圆周运动是高中两大曲线运动，应用范围很广，在高考中属于必考题型。平抛运动具有数学函数的抛物线的数学理论支撑，有物理中运动的合成与分解的典型物理思想和物理思维。匀速圆周运动有独立的向心力公式及曲线运动的相关物理量关联，竖直面内的圆周运动具有最高点和最低点的临界问题，且有绳子、杆或轨道衔接的三种不同情景。两大曲线运动在实际问题的处理中相当灵活多变，需要在实战中掌握更多的规律，从而获得能力的提升。‎ 抛体运动规律及推论的灵活应用 调研1】 图(a)‎ O B 如图a所示，在倾角为θ的斜面上，将一小球以初速度v0沿水平方向从斜面顶端抛出，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面距离最大？最大值为多少？（设斜面足够长）‎ 解法一（常规分解法）：（1）根据运动的独立性将小球的运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，当轨迹的切线与斜面平行时，小球离斜面的距离最大。将合速度分解，则有水平方向的速度，竖直方向的速度和，解以上三式得：‎ 图(b)‎ E OF K P B x ‎（2）如图图b所示，设小球离斜面最远点为P点，同理将位移分解。水平位移，竖直位移。由几何关系得小球离斜面的最大距离为：‎ 将代入上式解得：‎ 图(c)‎ g 解法二（非常规分解法）：‎ 采用运动的合成与分解，如图c所示，将小球的初速度和重力加速度沿平行于斜面的方向进行正交分解，则小球在垂直斜面的方向上是匀变速运动；在沿斜面的方向上也是匀变速运动，当小球在垂直斜面的方向上的速度为零时，小球与斜面间的距离最大，设经历的时间为t，‎ 则，解得：‎ 此时由运动学公式得物体距斜面的最远距离为：‎ 解法三（中点位移法）：平抛运动末速度的反向延长线交于平抛运动水平位移的中点。‎ 图(d)‎ N M V O V0‎ K P 当小球距斜面最远时，此时末速度方向与初速方向夹角为θ角。如图d所示，图中M为末速度的反向延长线与水平位移的交点，最远距离PK与MN相等，故MN即为所求的最远距离。‎ 根据平抛运动规律有：，和 由平抛运动的重要结论（中点位移）可知：‎ 根据图4中的几何关系得：‎ 由以上各式联立解得：和 即小球距离斜面的最远距离为：‎ E O 图(e)‎ V0‎ K P 解法四（二次函数法）：设经过时间t小球到达离斜面距离最远处P点，如图e所示，此时有水平方向，竖直方向 P点到斜面的距离为：‎ 此式是关于t的一元二次方程，当时，即时，小球离斜面最远。将t的值代入上式解得最远距离为：‎ 图(f)‎ V0‎ O K P B x 解法五（轨迹方程法）：如图f所示，建立平面坐标系，则小球的平抛运动轨迹方程为：‎ 设某时刻小球的位置坐标P（，）为该运动曲线上的一点，‎ 因为直线OB的斜率：，所以直线OB的方程为：，即：‎ 点P（，）到直线OB的距离为：‎ 从上式可以看出：有最大值的条件是其分子有最大值，由二次函数的性质知：当时，有最大值，即小球此时离斜面最远，最远距离为：‎ ‎【规律总结】从以上的几种解法可以看出：有关平抛运动的答题技巧可运用的解答方法较多。但这些解答方法常常涉及数学建模能力（即把物理问题转化为数学问题的能力）和知识迁移能力（即运用数学知识求解和讨论物理问题的能力），尤其 是这道很常见的经典习题的多种解法可以培养一题多解的能力，开阔了视野。当然记住一些规律和推论，解题时将快人一步。‎ 实战匀速圆周运动 F ‎ r ‎ O ‎ ‎【调研2】如图所示，一个被绳子牵引的小球在光滑水平板上以速度=‎1.0m/s做匀速圆周运动。运动半径r=‎30cm。现迅速松手使绳子放长‎20cm后立即拽紧绳子，使小球在更大半径的新轨道上做匀速圆周运动。求：(1)实现这一过渡所需要的时间。‎ ‎(2)小球在新轨道上做匀速圆周运动时，绳子对小球的牵引力 F2是原来绳子对小球的牵引力F1的多少倍?‎ ‎【解析】⑴松手后小球沿速度方向做匀速直线运动，如图所示 B ‎ ‎ ‎ v2‎ v1‎ v r ‎ O ‎ A ‎ ‎ ‎ ‎⑵绳子被拉紧瞬间，绳子的拉力对小球产生冲量，使小球沿绳子方向的速度立即减小到零，速度变为，且 ‎，解得　‎ ‎【方法点拔】本题从一个轨道到另一个轨道的时间，思路上要明确了曲线运动的速度方向是切线方向，问题的突破口即可找到。而进入到第二个轨道的瞬间，拉力作用下导致速度发生突变，故要明确速度必须分解才能作为第二个轨道的速度。‎ R m O ‎【调研3】如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，问：‎ ‎（1）要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？‎ ‎（2）若盒子以第（1）问中周期的一半，做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O点位于同一水平面位置时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？‎ ‎【解析】设此时盒子的运动周期为T0，因为在最高点时盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用．根据牛顿运动定律得：，且，解得：‎ ‎（2）设此时盒子的运动周期为T，则此时小球的向心加速度为：‎ 由第一问知：，且，解得：‎ 设小球受盒子右侧面的作用力为F，受上侧面的作用力为N，根据牛顿运动定律知：‎ 在水平方向上： ，即：‎ 在竖直方向上：，即：‎ 因为F为正值、N为负值，所以小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，分别为4 mg和mg ‎【学法指导】本题看似竖直面上的非匀速圆周运动的模式，实际上是匀速圆周运动模型。由于盒子对小球的作用力的方向不确定，导致受力分析难度加大。在运用向心力公式时必须用径向方向的牛顿第二定律求解。‎ 两大曲线运动的综合应用 v0‎ O1‎ O θ R ‎【调研4】一质量为m的质点，系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假定绳是柔软不可伸长的．今把质点从O点的正上方离O点的距离为R的O1点以水平的速度v0＝ 抛出，如图所示。试求；‎ ‎（1）轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角θ为多少？‎ ‎（2）当质点到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？‎ v0‎ O1‎ O θ R R ‎【解析】（1）第一过程：质点做平抛运动。设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为θ，如图所示。‎ 则水平方向v0t＝Rsinθ，竖直方向gt2＝R－Rcosθ，其中v0＝ 联立解得：t＝，θ＝ ‎（2）第二过程：绳绷直过程。绳棚直时，绳刚好水平，如图所示。由于绳不可伸长，故绳绷直时，v0损失，质点仅有速度v⊥，且v⊥＝gt＝ v v⊥‎ v′‎ v 0‎ O 第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动。设质点到达O点正下方时，速度为v′，根据机械能守恒守律有：mv′2＝mv⊥2＋mgR 设此时绳对质点的拉力为T，则T－mg＝m 联立解得：T＝mg ‎【学法指导】本题若不认真思考容易错认为小球做圆周运动，实际上分为平抛运动和圆周运动。考查平抛运动、机械能守恒定律、牛顿第二定律和圆周运动的向心力等知识点，侧重对物理过程分析的考查，由于绳子不可伸长，当绳绷直时，沿绳子方向的速度由于受到绳子拉力立即减小为零是分析的难点。特别注意此类问题往往在转折点有机械能损失，如绳子绷直瞬间、非弹性碰撞瞬间等。‎ ‎【调研5】如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点，求：‎ ‎（1）推力对小球做了多少功? (用题中所给的量表示)‎ ‎（2）x取何值时，完成上述运动所做的功最少?最小功为多少?‎ ‎（3）x取何值时，完成上述运动所用的力最小?最小力为多少?‎ ‎【解析】（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动后又回到A点，设在C点的速度为VC，质点从C点运动到A点所用的时间为t，‎ 在水平方向：x = VCt，在竖直方向：2R = gt2/2‎ 解得：VC = ‎ 对质点从A点到C点由动能定理有：WF －ｍg·2R ＝ｍVC2/2‎ 解得：WF＝mg（16R2＋x2）/ 8R ‎（2）要使力F做功最少，确定x的取值，由WF = ｍg·2R + ｍVC2/2可知，只要质点在C点的速度最小，则WF就最小，若质点恰好能通过C点，其在C点的最小速度为v，由牛顿第二定律有：mg = mv2/R 即v=， 而=‎ 解得：x＝2R时，WF最小，其最小值为WF＝5mgR/2‎ ‎（3）由于WF＝mg（16R2＋x2）/ 8R ， 而WF＝Fx 所以 由此可知：当 即x ＝4R时，力F最小，其最小值为mg。‎ ‎【学法指导】本题将平抛运动与竖直面的圆周运动结合起来，通过推力做功影响抛体运动的落点。需要寻找做功的量与抛体运动水平位移的关系，并用数学函数寻找极值，表达式要灵活选用。‎ ‎【拓展训练】‎ ‎1、如图所示，从倾角为θ的斜面上的M点水平抛出一个小球，小球的初速度为，最后小球落在斜面上的N点,已知重力加速度为g，下列判断中正确的是 A．可求出M、N之间的距离 v0‎ θ N M B．可求出小球运动的时间 C．不可以求出小球什么时刻与斜面间的距离最大 D．可求出小球落到N点时的速度大小和方向 O ‎ R ‎ v0　‎ ‎1、ABD【解析】可建 立平行于斜面向下的x轴和垂直斜面向上的y轴，将加速度g和初速度分解到这两个方向上，则小球沿x方向的分运动是初速度为cosθ，加速度为gsinθ的匀变速直线运动，沿y方向的分运动是初速度为sinθ，加速度为-gcosθ的匀变速直线运动，根据匀变速直线运动的规律即可求出M、N之间的距离、小球运动的时间、小球什么时刻与斜面间的距离最大、小球落到N点时的速度大小和方向，所以ABD正确。‎ ‎2、如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆轨道半径为R，轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲量使其在瞬间得到一个水平初速，若大小不同，则小球能够上升到的最大高度（距离底部）也不同．下列说法中正确的是 A．如果，则小球能够上升的最大高度等于R/2‎ B．如果，则小球能够上升的最大高度小于3R/2‎ C．如果，则小球能够上升的最大高度等于2R O ‎ R ‎ v0　‎ A ‎ B ‎ C ‎ D．如果，则小球能够上升的最大高度等于2R ‎2、ABD【解析】在竖直平面内圆环轨道内侧运动的小球，只可能在与圆心等高的B点上方离开轨道，在B点下方运动，无论速度多大，都不会离开轨道，因此B点下方速度可以为零，恰能上升到B点，则，A项小球不通上升到B点，因此满足，得，A正确；当小球能通过轨道最高点时，速度应满足，而，得，C错D对；当时，小球在BC之间离开轨道做斜上抛运动，在轨迹最高点时速度大于零，不满足，即上升的最大高度比小，B正确。‎ ‎3、做平抛运动的物体在它着地前的最后1s内，其速度方向由跟水平方向成45°角变为跟水平方向成60°角，求物体的初速度。‎ ‎3、【解析】设物体的初速度为v0‎ ‎，下落高度为h，下落时间为1s，则(t－1) s末物体的水平分速度和竖直分速度都是v0, ts末物体的水平分速度和竖直分速度分别为v0、v0＋g。利用推论3作出物体的速度矢量直角三角形如图所示，由图可知tan 60°＝解得v0=13. 4 m/s。‎ A v0‎ B C R ‎2R ‎4、在水平地面A处以初速度v0抛出一小球，恰好水平经过光滑的半圆轨道的最低点B，已知半圆轨道半径R＝‎0.2m，B点离地面的高度也为R，A点到B点的水平距离为2R，重力加速度g＝‎10m/s2 ，求 ‎（1）小球从A运动到B的时间；‎ ‎（2）小球能否到达半圆轨道的最高点C.‎ ‎4、【解析】（1）小球从A到B运动过程中，竖直方向作竖直上抛运动，则：‎ R＝gt2，解得t＝0.2s ‎（2）水平方向匀速运动，2R＝vxt 竖直方向：vy＝gt 由：v0＝‎ 从A到C运动过程中，设到达C点速度为v，‎ 由机械能守恒定律：3mgR＝mv02－mv2‎ 联立以上式子解得v＜0，故无法通过最高点C。‎