2021版高考物理一轮复习专题突破十电磁感应中的导轨+杆模型学案 4页

1 专题突破(十)　电磁感应中的导轨＋杆模型 “导轨＋杆”是电磁感应中一类常见的模型，它可以把力和电、磁融于一体，考查受 力分析、牛顿定律、功能关系，能量守恒、动量定理、动量守恒定律、安培力、恒定电流等 知识点，综合性较强． 导轨＋杆模型具有以下特点： 1．可分为单杆型和双杆型，放置的方式可分为水平、竖直和倾斜． 2．除了杆切割磁感线产生感应电动势之外，模型中可以有电源，也可以没有电源． 3．安培力是变力，杆一般做变加速运动，速度稳定时满足受力平衡． 4．杆除了受到安培力之外，可以受其他外力，也可以不受外力作用． 在这一模型中，由于感应电流与杆切割磁感线运动的加速度有相互制约的关系，故导体 一般不是做匀变速运动，而是经历一个动态变化过程再趋向于一个稳定状态，分析这一动态 过程进而确定最终状态是解决这类问题的关键．再利用动力学观点分析安培力、合力的变化 对运动状态的影响，利用功能关系、能量守恒分析各种形式的能量之间的相互转化及总能量 的守恒，利用动量定理或动量守恒分析安培力的冲量及杆的动量变化，此类问题就能迎刃而 解了． 例 1　(多选)如图所示，光滑平行金属导轨水平放置在匀强磁场中，磁场方向与 导轨平面垂直．质量为 m，电阻为 R 的金属棒静止在导轨上．导轨的一端经开关与带有等量 异号电荷(电量均为 Q)的平行导体板连接．开始时开关 S 处于断开状态，当闭合开关时，发 现导体棒开始运动．已知两导体板之间的电势差与导体板所带电量成正比．下列说法中正确 的是(　　) A．导体板上的电荷逐渐减少，最后变为零 B．导体棒中的电流逐渐减小，最后变为零 C．导体棒的速度先增大，后减小，最后变为零 D．导体棒的速度达到最大时，导体板上的电荷不为零 [解析] 开始，电容器放电，导体棒中有向下的电流，导体会受安培力作用而运动，进 而产生感应电动势，阻碍电流增加，故电容器电量不会变为零；金属棒中电流开始最大，逐 渐减小，最后为零，故选项 A 错误，B 正确；只要棒中有电流，导体棒速度就会增加，当电 流为零时，棒的速度最大，之后匀速运动，棒的速度达到最大时，电容器两板间有一定电压 且大小恒定，极板上的电荷不为零，故选项 C 错误，D 正确． [答案] BD 例 2　如图所示，有一光滑、不计电阻且足够长的平行金属导轨，间距 L＝0.5 m，导轨所在的平面倾角为 37°，导轨空间内存在垂直导轨平面的匀强磁场．现将一质量 m＝ 0.2 kg、电阻 R＝2 Ω的金属杆垂直放在导轨上，与导轨接触良好．(g＝10 m/s2，sin 37°＝ 0.6，cos 37°＝0.8) 2 (1)若磁感应强度随时间变化满足 B＝4＋0.5t(T)，金属杆由距导轨顶部 1 m 处释放，求 至少经过多长时间释放，会获得沿斜面向上的加速度； (2)若磁感应强度随时间变化满足 B＝ 2 0.1＋0.1t2 (T)，t＝0 时刻金属杆从离导轨顶端 s0 ＝1 m 处静止释放，同时对金属杆施加一个外力，使金属杆沿导轨下滑且没有感应电流产生， 求金属杆下滑 5 m 所用的时间； (3)若匀强磁场大小为定值，对金属杆施加一个平行于导轨向下的外力 F，其大小为 F＝ (v＋0.8) N，其中 v 为金属杆运动的速度，使金属杆以恒定的加速度 a＝10 m/s2 沿导轨向下 做匀加速运动，求匀强磁场磁感应强度 B 的大小． [解析] (1)设金属杆长为 L，距离导轨顶部为 x，经过时间 t 后，金属杆有沿着导轨向 上的加速度，此时安培力等于重力沿导轨的分力，则 FA＝mgsin θ，FA＝BIL＝B E RL， 其中 E＝ ΔBLx Δt ＝0.25 V， 所以(4＋0.5t) E RL＝mgsin θ， 解得 t＝30.4 s. (2)由金属杆与导轨组成的闭合电路中，磁通量保持不变，经过时间 t 的位移为 s，则 B1Ls0＝B2L(s＋s0)，得 s＝t2， 金属杆做初速度为零的匀加速直线运动，s＝5 m， 代入数据解得 t＝ 5 s (3)对金属杆由牛顿第二定律 mgsin θ＋F－FA＝ma， 其中 FA＝BIL＝ B2L2v R 解得 mgsin θ＋F－ B2L2v R ＝ma， 代入数据得 2＋(1－ B2 8 )v＝2， 所以 1－ B2 8 ＝0， 解得 B＝2 2 T. 1．(多选)如图所示，两根平行光滑金属导轨固定在同一水平面内，其左端接有定值电 阻 R，建立 Ox 轴平行于金属导轨，在0≤x≤4 m 的空间区域内存在着垂直导轨平面向下的磁 场，磁感应强度 B 随坐标 x(以 m 为单位)的分布规律为 B＝(0.8－0.2x) T，金属棒 ab 在外 力作用下从 x＝0 处沿导轨向右运动，ab 始终与导轨垂直并接触良好，不计导轨和金属棒的 电阻．设在金属棒从 x1＝1 m 处，经 x2＝2 m 到 x3＝3 m 的过程中，电阻 R 的电功率始终保持 不变，则(　　) A．金属棒做匀速直线运动 B．金属棒运动过程中产生的电动势始终不变 3 C．金属棒在 x1 与 x2 处受到磁场 B 的作用力大小之比为 3∶2 D．金属棒从 x1 到 x2 与从 x2 到 x3 的过程中通过 R 的电量之比为 5∶3 [解析] 由功率的计算式：P＝I2R＝ E2 R ，知道由于金属棒从 x1＝1 m 经 x2＝2 m 到 x3＝3 m 的过程电功率保持不变，所以 E 应不变，选项 B 正确；由动生电动势 E＝Blv 可知，B 随着 距离均匀减小，则 v 一直增大，故棒做加速直线运动，故 A 错误；由安培力公式 F＝BIL 及 P＝EI 知， F1 F2＝ B1I1 B2I2＝ B1 B2＝ 0.8－0.2 × 1 0.8－0.2 × 2＝ 3 2，故 C 正确；由于金属棒从 x1＝1 m 经 x2＝2 m 到 x3＝3 m 的过程中，R 的电功率保持不变，由 P＝I2R 知道 R 中的电流相等，再由安培力公 式 F＝BIL，所以 F－x 图象如图所示： 显然图象与坐标轴围成的面积就是克服安培力做的功，即 R 产生的热量，所以 Q1 Q2＝ 0.6＋0.4 0.4＋0.2＝ 5 3，由热量 Q＝I2Rt，热量之比为 5∶3，电流相同说明时间之比为 5∶3，因此电 量 q1 q2＝ It1 It2＝ t1 t2＝ 5 3，故 D 正确． [答案] BCD 2．如图所示为某研究小组设计的电磁炮供弹和发射装置．装置由倾角 θ＝37°的倾斜 导轨和水平导轨在 AB 处平滑连接而成，电磁炮发射位置 CD 与 AB 相距 x＝0.4 m．倾斜导轨 处有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度为 B1，ABCD 区域无磁场，CD 处及右侧有竖 直向上的匀强磁场，磁感应强度为 B2.倾斜导轨顶端的单刀双掷开关可连接阻值 R＝1.0 Ω 的电阻和电容 C＝0.5 F 的电容器．质量 m＝2.0 kg、长度 L＝1.0 m、电阻 r＝1.0 Ω的金属 杆 ab 代替电磁炮弹，金属杆与倾斜导轨和 ABCD 区域导轨之间的动摩擦因数均为 μ＝0.5， CD 右侧导轨光滑且足够长．供弹过程：开关打到 S1 处，金属杆从倾斜导轨某个位置及以上 任意位置由静止释放，金属杆最终都恰好精确停在 CD 处；发射过程：开关打到 S2 处，连接 电压 U＝100 V 电容器，金属杆从 CD 位置开始向右加速发射．已知导轨间距为 L＝1.0 m，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力． (1)求金属杆到达 AB 处时速度 v 的大小； (2)为精确供弹，求磁感应强度 B1 的大小； (3)当 B2 多大时，金属杆的最终速度最大？最大速度为多少？ [解析] (1)金属杆从 AB 到 CD 的过程，根据动能定理得－μmgx＝0－ 1 2mv2 4 可得 v＝2 m/s. (2)为精确供弹，金属杆只要在倾斜导轨上最终达到匀速运动，则有 mgsin θ＝μmgcos θ＋F 安， 又 F 安＝ BL2v R＋r 解得 B1＝2.0 T (3)稳定时金属杆速度最大，设金属杆的最终速度是 v1，此时电容器为电压为 U1，则有 U1＝B2Lv1 金属杆受到的安培力的冲量，由动量定理得 ∑B2iLΔt＝mv1－0 即为 B2Lq＝mv1 其中 q＝C(U－U1) 联立得 v1＝ LCU m B2＋B2L2C 当 m B2＝B2L2C 时 v1 最大 即得 B2＝2.0 T 最大速度为 v1＝25 m/s.