高中物理奥赛模拟试题与答案 7页

高中物理奥赛模拟试题 1. (10 分 )1961 年有人从高度 H=22 .5m 的大楼上向地面发射频率为 υ 0 的光子，并在地面上测量接收到的频率为 υ ，测得 υ 与 υ 0 不同，与 理论预计一致，试从理论上求出 0 0 的值。 解：光子的重力势能转化为光子的能量而使其频率变大，有 mgH=h( υ － υ 0) 而根据爱因斯坦的光子说和质能方程，对光子有 hυ 0=mc 2 解以上两式得： 15 282 0 0 105.2 )103( 5.2210 c gH 2. (15 分 )底边为 a，高度为 b 的匀质长方体物块置于斜面上，斜面和 物块之间的静摩擦因数为 μ ，斜面的倾角为 θ ，当 θ 较小时，物块静 止于斜面上 (图 1) ，如果逐渐增大 θ ，当 θ 达到某个临界值 θ 0 时，物 块将开始滑动或翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的 θ ，并说明在 什么条件下出现的是滑动情况，在什么条件下出现的是翻倒情况。 解：刚开始发生滑动时， mgsin θ 0=μ mgcos θ 0 tanθ 0=μ ，即 θ 0=arctan μ 刚开始发生翻倒时，如答图 1 所示，有 θ 1=φ ， tanφ = b a ， φ =arctan b a 即 θ 1≥ arctan b a 时，发生翻倒。 综上所述，可知： 当 μ ＞ b a 时， θ 增大至 arctan b a 开始翻倒； 当 μ ＜ b a 时， θ 增大至 arctan μ 开始滑动。 图 1 a b θ 答图 1 θ b a φ E R1 答图 2 × R2 R0 3. (15 分 )一个灯泡的电阻 R0=2 Ω ，正常工作电压 U 0=4.5V ，由电动势 U=6V 、内阻可忽略的电池供电。 利用一滑线变阻器将灯泡与电池相连， 使系统的效率不低于 η =0.6 。试计算滑线变阻器的阻值及它应承受的 最大电流。求出效率最大的条件并计算最大效率。 解：如答图 2 所示， 流过灯泡的电流为 I0=U0/R 0=2.25A ，其功率为 P 0= U 0I 0=U0 2 /R 0=10.125W 。用 R 1 和 R2 表示变阻器两个 部分的电阻值。系统的总电流为 I 1，消耗的总功率 为 P1= U I 1， 效率为 10 2 0 1 0 IUR U P P ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯① 因 U 0、 U 和 R 0 的数值已给定，所以不难看出，效率与电流 I 1 成 反比。若效率为 0.6，则有 A UR UI 81.2 0 2 0 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯② 变阻器的上面部分应承受这一电流。利用欧姆定律，有 53.0 1 0 2 I UUR ⋯⋯⋯⋯⋯⋯③ 变阻器下面部分的阻值为 8 01 0 1 II UR ⋯⋯⋯⋯⋯⋯④ 变阻器的总电阻为 8.53 Ω 。 式①表明，本题中效率仅决定于电流 I 1。当 I 1 最小，即 I 1=0 时效 率最大， 此时 R1=∞ (变阻器下面部分与电路断开连接 )，在此情形 下，我们得到串联电阻为 67.0 0 0 2 I UUR ， 效率为 75.00 0 2 0 00 2 0 U U UU U IUR U 4. (20 分 )如图 2，用手握着一绳端在水平桌面上做半径为 r 的匀速圆 周运动，圆心为 O，角速度为 ω 。绳长为 l，方向与圆相切，质量可以 忽略。 绳的另一端系着一个质量为 m 的小球， 恰好也沿着一个以 O 点 为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间有摩擦，试求： 图 2 O v ·m rω l f ω 答图 3 r R T φ ω v L 图 3 A B CR h· ⑴ 手对细绳做功的功率 P； ⑵ 小球与桌面之间的动摩擦因数 μ 。 解：⑴ 设大圆为 R。由答图 3 分析可知 R= 22 lr 设绳中张力为 T，则 Tcosφ =m R ω 2， cosφ = R l 故 T= l Rm 22 ， P=T ·V= l lrrmr l Rm )( 22322 ⑵ f =μ mg=Tsin φ T= l lrm l Rm )( 22222 sinφ = 22 lr r R r 所以， μ = gl lrr 222 5. (20 分 )如图 3 所示，长为 L 的光滑平台固定在地面上，平台中间放 有小物体 A 和 B，两者彼此接触。 A 的上表面是半径为 R 的半圆形轨 道，轨道顶端距台面的高度为 h 处，有一个小物体 C，A 、 B、C 的质 量均为 m。在系统静止时释放 C，已知在运动过程中， A 、C 始终接触， 试求： ⑴ 物体 A 和 B 刚分离时， B 的速度； ⑵ 物体 A 和 B 分离后， C 所能达到的距台面 的最大高度； ⑶ 试判断 A 从平台的哪边落地，并估算 A 从与 B 分离到落地所经历 的时间。 解：⑴ 当 C 运动到半圆形轨道的最低点时， A、 B 将开始分开。在此 以前的过程中，由 A 、 B、 C 三个物体组成的系统水平方向的动 量守恒和机械能守恒，可得： mV A＋ mV B ＋ mV C ＝ 0 mgR= 2 1 mV A 2＋ 2 1 mV B 2＋ 2 1 mV C 2 而 V A =V B 可解得： V B= gR3 3 1 ⑵ A、 B 分开后， A 、C 两物体水平方向的动量和机械能都守恒。 C 到最高点时， A 、C 速度都是 V ，C 能到达的距台面的最大高度 为 l ，则 mV B＝ 2mV mg(l ＋ R－ h)＋ 2 1 (2m)V 2= 2 1 mV A 2＋ 2 1 mV C 2 可解得： l=h－ 4 R ⑶ 很明显， A 、 C 从平台左边落地。 因为 L>>R ，所以可将 A 、 C 看成一个质点，速度为 2 1 V B ，落下 平台的时间 L gR t BV L 3 2 2 6. (20 分 )如图 4 所示， PR 是一块长 L 的绝缘平板， 整个空间有一平行 于 PR 的匀强电场 E，在板的右半部分有一个垂直于纸面向外的匀强 磁场 B。一个质量为 m、带电量为 q 的物体，从板的 P 端由静止开始 在电场力和摩擦力的作用下向右做匀加速运动，进入磁场后恰能做匀 速运动。当物体碰到板 R 端挡板后被弹回，若在碰撞瞬间撤去电场， 物体返回时在磁场中仍做匀速运动，离开磁场后做匀减速运动停在 C 点， PC= 4 L ，物体与平板间的动摩擦因数为 μ 。求： ⑴ 物体与挡板碰撞前后的速度 V 1 和 V 2； ⑵ 磁感强度 B 的大小； ⑶ 电场强度 E 的大小和方向。 E B R 图 4 C P 解：物体碰挡板后在磁场中做匀速运动，可判断物体带的是正电荷， 电场方向向右。 ⑴ 物体进入磁场前，在水平方向上受到电场力和摩擦力的作用， 由静止匀加速至 V 1。 2 12 1 2 )( mVLmgqE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯① 物体进入磁场后，做匀速直线运动，电场力与摩擦力相等 qEBqVmg )( 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯② 在碰撞的瞬间，电场撤去，此后物体仍做匀速直线运动，速度为 V 2，不再受摩擦力，在竖直方向上磁场力与重力平衡。 mgBqV2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③ 离开磁场后，物体在摩擦力的作用下做匀减速直线运动 2 2 2 10 4 1 mVLmg ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯④ 由④式可得： 2 2 2 gLV 代入③式可得： Lg mqB /2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑤ 解以上各方程可得： gLV 21 ⑵ 由③式得： Lq gLm qV mgB 2 2 ⑶ 由②式可得： q mg Lq gLmgL q mgBV q mgE 3221 7. (20 分 )一只蚂蚁从蚂蚁洞沿直线爬出，已知爬出速度 v 的大小与距 蚂蚁洞中心的距离 L 成反比，当蚂蚁到达距蚂蚁洞中心的距离 L 1=1m 的 A 点时，速度大小为 v1=20cm/s ，问当蚂蚁到达距蚂蚁洞中心的距 离 L 2=2m 的 B 点时， 其速度大小为 v2=? 蚂蚁从 A 点到达 B 点所用的 时间 t=? 30° 30° d c a b B v 图 5 解：由已知可得：蚂蚁在距离洞中心上处的速度 v 为 v=k L 1 ，代入已 知 得 ： k=vL= 0.2 × 1m 2/s=0.2 m 2/s ， 所 以 当 L 2= 2m 时 ， 其 速 度 v2=0.1m/s 由速度的定义得：蚂蚁从 L 到 L+ Δ L 所需时间 Δ t 为 LL kv Lt 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯① 类比初速度为零的匀加速直线运动的两个基本公式 atv tvs 在 t 到 t+ Δ t 时刻所经位移 Δ s 为 ttas ⋯⋯⋯⋯⋯⋯② 比较①、②两式可以看出两式的表述形式相同。 据此可得蚂蚁问题中的参量 t 和 L 分别类比为初速度为零的匀加 速直线运动中的 s 和 t，而 k 1 相当于加速度 a。 于是，类比 s= 2 1 a t 2 可得：在此蚂蚁问题中 21 2 1 L k t 令 t 1 对应 L 1， t2 对应 L 2，则所求时间为 2 22 2 11 2 1 2 1 L k t L k t 代入已知可得从 A 到 B 所用时间为： Δ t=t2－ t 1= sLL k )12( 2.02 1)( 2 1 222 1 2 2 =7.5s 8. (20 分 )在倾角为 30°的斜面上，固定两条足够长的光滑平行导轨， 一个匀强磁场垂直于斜面向上，磁感强度 B=0.4T ，导轨间距 L=0.5m ， 两 根 金 属 棒 ab 、 cd 水 平 地 放 在 导 轨 上 ， 金 属 棒 质 量 mab =0.1kg ， mcd= 0.2kg ，两根金属棒总电阻 r=0.2 Ω ，导轨电阻不计 (如图 5) 。现使 金属棒 ab 以 v=2.5m/s 的速度沿斜面向上匀速运动。 求： ⑴ 金属棒 cd 的最大速度； ⑵ 在 cd 有最大速度时， 作用在 ab 上的外力做功 的功率。 解：开始时， cd 棒速度为零， ab 棒有感应电动势，此时可计算出回路 中的电流，进而求出 cd 棒所受到的安培力 F(可判断出安培力方 向沿斜面向上 )。 如果 F＞ mcdgsin30 °， cd 将加速上升，产生一个跟电流方向相反 的电动势，回路中的电流将减小， cd 棒所受到的安培力 F 随之减 小，直到 F=mcd gsin30 °。 如果 F＜ mcdgsin30 °， cd 将加速下滑，产生一个跟电流方向相同 的电动势，回路中的电流将增大， cd 棒所受到的安培力 F 随之增 大，直到 F=mcd gsin30 °。 ⑴ 开始时， cd 棒速度为零，回路中的电流 AA r BlvI 5.2 2.0 5.25.04.0 这时 cd 棒受到平行斜面向上的安培力 F=I lB =2.5 × 0.5× 0.4N=0.5N 而 mcdgsin30 ° =0.2 ×10× 0.5N=1N 故 cd 将加速下滑。当 cd 的下滑速度增大到 vm 时，需要有安培力 F=mcdgsin30 ° 此时回路中的电流 r vvBl r BlvBlvI mm m )( cd 受到的安培力 F=I mlB =mcdgsin30 ° 所以 smsmv lB rgmv cd m /5.2/)5.2 5.04.0 2.01(30sin 2222 即金属棒 cd 的最大速度为 2.5m/s 。 ⑵ 当 cd 棒速度达到最大值 vm 时。回路中的电流 AA r vvBlI m m 5 2.0 )5.25.2(5.04.0)( 作用在 ab 棒上的外力 F=I mlB ＋ mab gsin30 °=(5 × 0.5× 0.4＋ 0.1×10 ×0.5)N=1.5N 外力做功的功率 P F=Fv= 1.5× 2.5W=3.75W