专题19 圆周运动（精讲）-2019年高考物理双基突破（一） 14页

专题十九 圆周运动（精讲）‎ 一、匀速圆周运动 ‎1．定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。‎ ‎2．性质：一种变加速的变速运动。‎ 在匀速圆周运动中，线速度的大小（速率）不变、方向时刻改变，不是恒矢量，所以匀速圆周运动是一种变速运动。向心加速度大小不变、方向始终指向圆心，时刻改变，是变加速（非匀变速）曲线运动（加速度是变化的）。角速度、周期、转速都恒定不变。向心力大小恒不变，但方向时刻改变，是变力。匀速圆周运动中的“匀速”是“匀速率”的意思。‎ ‎3．周期性 由于圆具有中心对称的特点，故物体每转一周，该物体又回到原处，所以物体在某处出现所需的时间应为周期的整数倍，解题时，应注意圆周运动的多解问题。‎ ‎4．匀速圆周运动的条件：当物体所受的合外力大小恒定、方向始终与速度方向垂直且指向圆心（是变力）时，物体做匀速圆周运动，此时向心力由物体所受合外力提供。当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力。‎ 二、描述圆周运动的物理量 ‎1．线速度v—瞬时速度 ‎（1）意义：描述质点沿圆弧运动的快慢，线速度越大，质点沿圆弧运动越快。‎ ‎（2）定义：线速度的大小等于质点通过的弧长s与所用时间t的比值。‎ ‎（3）计算式： 单位：m/s。‎ ‎（4）矢量：方向在圆周各点的切线方向上。‎ 线速度v＝中的s是弧长、不是位移．线速度只不过为区分角速度而在速度前冠以“线”字罢了，因其方向总是沿弧的切线方向而称之为线速度。‎ ‎2．角速度ω ‎（1）定义：连接质点和圆心的半径（动半径）转过的角度跟所用时间的比值，叫做匀速圆周运动的角速度。‎ ‎（2）单位：rad/s（弧度每秒）。‎ ‎（3）计算式：。‎ ‎（4）意义：描述质点转过圆心角的快慢。 ‎ ‎3．周期T ‎（1）定义：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。‎ ‎（2）单位：s（秒）。‎ ‎（3）标量：只有大小。‎ ‎（4）计算式：‎ ‎（5）意义：定量描述匀速圆周运动快慢。周期长说明运动得慢，周期短说明运动得快。‎ ‎4．频率f ‎（1）定义：周期的倒数（每秒内完成周期性运动的次数）叫频率。‎ ‎（2）单位：Hz（赫）。‎ ‎（3）标量：只有大小。‎ ‎（4）意义：定量描述匀速圆周运动的快慢，频率高说明运动得快，频率低说明运动得慢。‎ ‎5．转速n ‎（1）定义：做匀速圆周运动的质点每秒转过的圈数。‎ ‎（2）单位：在国际单位制中为r/s（转每秒）；常用单位为r/min（转每分）。1 r/s=60 r/min。‎ ‎（3）标量：只有大小。‎ ‎（4）意义：实际中定量描述匀速圆周运动的快慢，转速高说明运动得快，转速低说明运动得慢。‎ ‎（5）相互关系：。‎ ‎6．向心加速度 ‎（1）意义：描述物体速度方向变化快慢。‎ ‎（2）定义：由于匀速圆周运动的速度方向时刻改变，因此做匀速圆周运动的质点一定具有加速度。这种加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，方向始终指向圆心，因此叫做向心加速度。‎ ‎（3）方向：总是沿半径指向圆心，始终与线速度方向垂直，时刻变化，是变量。‎ ‎（4）大小：‎ ‎（5）匀速圆周运动是加速度变化的变加速曲线运动（非匀变速曲线运动）。因为对某一确定的匀速圆周运动来说，m、r、v、ω、T的大小都是不变的，所以向心力和向心加速度的大小不变，但方向却时刻改变。‎ ‎（6）对于变速率圆周运动，可以用公式求质点在圆周上某点的向心加速度瞬时值，其中ω或v应取该点的线速度和角速度的瞬时值。‎ ‎（7）向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。对于匀速圆周运动，向心加速度就是其实际加速度。对于非匀速圆周运动，其实际加速度不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个沿半径方向上的分加速度。‎ ‎【题1】关于向心加速度的说法，正确的是 A．速度变化的越快，向心加速度越大 B．速度大小变化得越快．向心加速度越大 C．速度方向变化得越快．向心加速度越大 D．物体做变速圆周运动时．向心加速度也有可能不指向圆心 ‎【答案】C ‎7．v、ω、r、a中三者关系的讨论 讨论v、ω、r、a中三者关系时，先确保一个量不变，再确定另外两个量间的正、反比关系。‎ ‎（1）对公式v＝ωr的理解：当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。‎ ‎（2）对a＝＝ω2r＝ωv的理解：在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比。‎ 三、常见的四种传动方式及特点 四种传动 ‎1．皮带传动：如图甲、乙，皮带与两轮之间无相对滑动时，‎ ‎（1）运动特点：两轮的转动方向与皮带的绕行方式有关，可同向转动，也可反向转动；‎ ‎（2）定量关系：由于A、B两点相当于皮带上的不同位置的点，所以它们的线速度必然相同，即vA＝vB。二者角速度与其半径成反比，周期与其半径成正比。‎ ‎2．摩擦传动、齿轮传动：如图，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。（类似皮带传动）‎ ‎3．同轴传动：如图甲、乙，绕同一转轴转动的物体。‎ ‎（1）运动特点：转动方向相同； ‎ ‎（2）定量关系：A点和B点转动的周期相同，角速度相同ωA＝ωB，由v＝ωr知A点和B点的线速度与其半径成正比。‎ ‎【题2】某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如图所示，链轮和飞轮的齿数如表所示，前、后轮直径约为660 mm，人骑该种自行车行进速度为4 m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值约为 名称 链轮 飞轮 齿数N/个 ‎48‎ ‎38‎ ‎28‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ ‎28‎ A．1.9 rad/s　　　　 B．3.8 rad/s C．6.5 rad/s D．7.1 rad/s ‎【答案】B 自行车行驶速度与前、后轮边缘的线速度相等，后轮边缘的线速度为4 m/s，故后轮的角速度 ω＝＝ rad/s≈12 rad/s 飞轮与后轮为同轴装置，故飞轮的角速度ω1＝ω＝12 rad/s 飞轮与链轮是用链条连接的，故链轮与飞轮线速度相同，所以ω1r1＝ω2r2，r1、r2分别为飞轮和链轮的半径，因周长L＝NΔL＝2πr，N为齿数，ΔL为两邻齿间的弧长，故r∝N，所以ω1N1＝ω2N2.‎ 又踏板与链轮同轴，脚踩踏板的角速度ω3＝ω2，‎ 则ω3＝ω1，要使ω3最小，则N1＝15，N2＝48，‎ 故ω3＝ rad/s＝3.75 rad/s≈3.8 rad/s。‎ ‎【题3】如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑，在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：‎ ‎（1）A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；‎ ‎（2）A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；‎ ‎（3）A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC。‎ ‎【答案】（1）2∶2∶1　（2）1∶2∶1　（3）2∶4∶1‎ ‎（2）令ωA＝ω，由于共轴转动，所以ωC＝ω。因vA＝vB，由公式ω＝知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω，所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1。‎ ‎（3）令A点向心加速度为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB＝2a。又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比，故aC＝a。所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1。‎ 四、匀速圆周运动的向心力 ‎1．定义：由于匀速圆周运动具有向心加速度，根据牛顿第二定律，物体所受合外力不为零，且时刻与速度方向垂直，总是指向圆心。使物体产生向心加速度的力叫做向心力。‎ ‎2．作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。‎ ‎3．大小：F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。‎ ‎4．方向：方向时刻与运动（v）方向垂直，始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。‎ ‎5．变速圆周运动：当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。合外力不等于向心力，合外力一般产生两个效果。‎ ‎（1）跟圆周相切的分力Ft，只改变线速度的大小，Ft＝mat，产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢。‎ ‎（2）跟圆周切线垂直而指向圆心的分力Fn，只改变线速度方向，Fn＝man，产生向心加速度。此加速度描述线速度方向变化快慢。‎ ‎6．向心力的向心力是按力的作用效果命名的，不是某种性质的力，既可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是电场力、磁场力或其他性质的力。也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。如果物体作匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力。 ‎ ‎【题4】公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处 A．路面外侧高内侧低 B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动 C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小 ‎【答案】AC 力时，才有可能向内侧滑动，故B项错误；当速度为vc时，静摩擦力为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，速度高于vc时，摩擦力指向内侧，只要速度不超出重力、支持力和最大静摩擦力提供向心力所对应的速度，车辆不会侧滑，故C项正确；当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则vc的值不变。故D项错误。‎ ‎7．求解圆周运动的动力学问题做好“三分析”‎ 一是几何关系的分析，目的是确定圆周运动的圆心、半径等；‎ 二是运动分析，目的是表示出物体做圆周运动所需要的向心力公式（用运动学量来表示）；‎ 三是受力分析，目的是利用力的合成与分解知识，表示出外界所提供的向心力。‎ ‎8．应用向心力公式解题的思路 基本思想：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力。而物体所受外力的合力充当向心力。‎ ‎（1）明确研究对象，即做圆周运动的物体，确定圆周运动的轨道所在的平面，找到圆心的位置和半径。‎ ‎（2）分析研究对象在某个位置所处的状态，进行具体的受力分析，并作出受力图，分析哪些力提供了向心力，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。‎ ‎（3）列方程：沿径向，垂直于径向建轴，正交分解，沿径向列牛顿第二定律方程Fn＝mrω2＝m＝，垂直于径向列平衡方程。‎ ‎（4）解方程，对结果进行必要讨论。求解向心力问题的关键是找准向心力的来源。‎ ‎【题5】如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上。物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没有滑动。小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是 A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F C．物块上升的最大高度为 ‎ D．速度v不能超过 ‎【答案】D 夹子中没有滑动，可知夹子的两侧面与物块间的摩擦力Ff′≤F，所以绳中的张力FT＝2Ff′≤2F，故B错误；物块向上摆动的过程，由机械能守恒定律得，Mgh＝Mv2，解得h＝，即物块上升的最大高度为，故选项C错误；假设物块在开始摆动时，两侧面与夹子间刚好达到最大静摩擦力F，由牛顿第二定律得，2F－Mg ‎＝M，解得v＝ ，所以速度v不能超过 ，选项D正确。‎ ‎【题6】如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g。‎ ‎（1）若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；‎ ‎（2）若ω＝（1±k）ω0，且0