专题04 曲线运动-聚焦2019年高考物理超重点十四讲 38页

超重点1：运动的合成和分解 ‎1．合运动和分运动的关系 等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等 独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响 等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果 ‎2.运动的合成与分解的运算法则 运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则．‎ ‎3．合运动的性质判断 加速度(或合外力) 加速度(或合外力)与速度方向 ‎【典例分析】‎ ‎1．(2018·湖南永州模拟)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目．当跳伞运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中若受到水平风力的影响，下列说法正确的是(　　)‎ A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的空中表演动作 B．风力越大，运动员下落时间越短，有可能对运动员造成伤害 C．运动员下落时间与风力大小无关 D．运动员着地速度与风力大小无关 ‎【答案】C ‎2．(多选)(2018·山东实验中学高三段考)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)．关于物体的运动，下列说法正确的是(　　)‎ A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动 B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动 C．物体运动的轨迹是一条直线 D．物体运动的轨迹是一条曲线 ‎【答案】BC ‎【解析】对应位移时间公式x＝v0t＋at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度：v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s；加速度：ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2.物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度数值和方向也是相同的，合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误．‎ ‎3．(2015·高考全国卷Ⅱ)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示．发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为(　　)‎ A．西偏北方向，1.9×103 m/s B．东偏南方向，1.9×103 m/s C．西偏北方向，2.7×103 m/s D．东偏南方向，2.7×103 m/s ‎【答案】B 超重点2：小船过河问题 ‎ ‎1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．‎ ‎2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合．‎ ‎3．三种情景 情况 图示 说明 渡河时 间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位 移最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 ‎【典例1】　小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s.‎ ‎(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？‎ ‎(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？‎ ‎(3)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？‎ ‎【答案】　‎ ‎（1）船将在正对岸下游100 m处靠岸．‎ ‎（2）船头的指向与上游河岸成60°角，渡河时间 t＝ s.‎ ‎（3）故船头与上游河岸的夹角θ＝53°‎ 最短距离267 m.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动．因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即 t＝＝ s＝50 s 小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50 m＝100 m 即船将在正对岸下游100 m处靠岸．‎ ‎【易错警示】‎ 求解小船渡河问题的3点注意 ‎(1)船的航行方向是船头指向，是分运动；船的运动方向是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致．‎ ‎(2)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关．‎ ‎(3)船渡河位移最小值与v船和v水大小关系有关，v船＞v水时，河宽即为最小位移；v船＜v水时，应利用图解法求极值的方法处理．‎ 训练1．(多选)(2018·湖北武汉调研)小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度(即在静水中的速度)大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则(　　)‎ A．越接近河岸水流速度越小 B．越接近河岸水流速度越大 C．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短 D．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响 ‎【答案】AC ‎【解析】由船的运动轨迹可知，切线方向即为船的合速度方向，将合速度分解，由于静水速度不变，可知越接近河岸水流速度越小，选项A正确，B错误；小船渡河的时候，当船身方向垂直河岸时渡河时间是最短的，而且时间是不受水流速度影响的，选项C正确，D错误．‎ 训练 ‎2．一小船渡河，已知河水的流速与距某一河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，则(　　)‎ A．船渡河的最短时间为75 s B．要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线 C．要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直 D．要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5 m/s ‎【答案】A 训练3．如图所示，一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求：‎ ‎(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小．‎ ‎(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．‎ ‎【答案】(1)5 m/s　(2)2.4 m/s ‎【解析】(1)发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，如图所示．‎ 故此时轮船相对于静水的速度v2的大小 v2＝＝ m/s＝5 m/s，设v与v2的夹角为θ，则cos θ＝＝0.8.‎ ‎(2)熄火前，船的牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2与v1的矢量和与v2垂直时，轮船的合速度最小，α＝θ则vmin＝v1cos α＝3×0.8 m/s＝2.4 m/s.‎ 超重点3：“关联速度”模型 ‎1．模型特点 合速度→物体的实际运动速度v 分速度→ ‎2．解题的思路 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示．‎ ‎【典例2】(2018·陕西宝鸡模拟)如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P.设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小．现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动下列说法正确的是(　　)‎ A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是∶2‎ B．当θ＝90°时，Q的速度最大 C．当θ＝90°时，Q的速度为零 D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 思路点拨： (1)P、Q两物体用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度相等．‎ ‎(2)将Q的速度沿绳子和垂直绳子的方向分解，利用数学关系求解．‎ 详解：P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，分解vQ如图所示．则当θ＝60°时，Q的速度vQcos 60°＝vP，解得＝，故A错误；P的机械能最小时，即为Q到达O点正下方时，此时Q 的速度最大，即当θ＝90°时，Q的速度最大，故B正确，C错误；当θ向90°增大的过程中Q的合力逐渐减小．当θ＝90°时，Q的速度最大，加速度为零，合力为零，故D错误．‎ ‎【规律总结】‎ ‎“绳(杆)”关联速度问题分析思路 ‎(1)先确定合速度的方向(物体实际运动方向)．‎ ‎(2)分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动．‎ ‎(3)确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，沿绳或杆方向的分速度大小相同．‎ 训练1.(2018·湖北龙泉中学、宜昌一中联考)某人用绳子通过定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，人以速度v0匀速向下拉绳，当物体A到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度是(　　)‎ A.　　　　　　 B. C．v0cos θ D．v0sin θ ‎【答案】A 训练2.一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角θ＝30°，B球的速度大小为v2，则(　　)‎ A．v2＝v1 B．v2＝2v1‎ C．v2＝v1 D．v2＝v1‎ ‎【答案】C ‎【解析】球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，对其分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得 v2＝v1，C项正确．‎ 训练3．(2018·河南中原名校联考)如图所示，细绳一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为(　　)‎ A．vsin θ　　　　　　 B．vcos θ C．vtan θ D. ‎【答案】A 超重点4：平抛运动的基本规律 ‎1．飞行时间：由t＝知，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．‎ ‎2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定．‎ ‎3．落地速度：v＝＝，落地时速度与水平方向夹角为θ，有tan θ＝＝.故落地速度只与初速度v0和下落高度h有关．‎ ‎4.速度改变量：做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．‎ ‎5．两个重要推论 ‎(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定能过此时水平位移的中点，如图甲所示，B是OC的中点．‎ ‎(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α.‎ ‎【典例分析】‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是(　　)‎ A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 ‎【答案】C ‎【解析】发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h＝gt2，可知两球下落相同距离h所用的时间是相同的，选项A错误；由v＝2gh可知，两球下落相同距离h时在竖直方向上的速度vy相同，选项B错误；由平抛运动规律，水平方向上，x＝vt，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，选项C正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D错误．‎ ‎2.(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)‎ A．小球水平抛出时的初速度大小为 B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D．若小球初速度增大，则θ减小 ‎【答案】AD ‎3.(多选)如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R.将一个小球从a点以初速度v0沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．当小球的初速度v0＝时，落到环上时的竖直分速度最大 B．当小球的初速度v0<时，将撞击到环上的ac段圆弧 C．当v0取适当值时，小球可以垂直撞击圆环 D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击圆环 ‎【答案】BD ‎※与斜面有关的平抛常见模型及分析方法 方法 运动情景 定量关系 总结 分解速度 vx＝v0‎ vy＝gt tan θ＝＝ 速度方向与θ有关，分解速度，构建速度三角形 vx＝v0‎ vy＝gt tan θ＝＝ 分解位移 x＝v0t y＝gt2‎ tan θ＝＝ 位移方向与θ有关，分解位移，构建位移三角形 ‎【典例3】　(2018·湖南邵阳高三质检)如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力．(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g取10 m/s2)求：‎ ‎(1)A点与O点的距离L；‎ ‎(2)运动员离开O点时的速度大小；‎ ‎(3)运动员落到A点时的动能．‎ ‎【答案】(1)75 m　(2)20 m/s　(3)32 500 J ‎(2)设运动员离开O点时的速度大小为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即x＝Lcos 37°＝v0t 解得v0＝＝20 m/s ‎(3)方法一：合成法 运动员到达A点时，竖直方向的速度vy＝gt＝30m/s 运动员到达A点时的动能 Ek＝mv2＝m(v＋v)＝32 500 J 方法二：结论法 运动员到达A点时，位移的偏角θ＝37°，‎ 所以速度的偏角β满足tan β＝2tan θ＝ 即vy＝2v0tan θ＝30 m/s 运动员到达A点时的动能Ek＝m(v＋v)＝32 500 J ‎【方法技巧】与斜面有关的平抛运动模型的2点技巧 ‎(1)在解答该类问题时，首先运用平抛运动的位移和速度规律并将位移或速度分解．‎ ‎(2)充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决．‎ 训练1.一水平抛出的小球落到一倾角为θ 的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(　　)‎ A．tan θ　　　　　　　 B．2tan θ C. D. ‎【答案】D 方法二：结论法 由题意知，小球落到斜面上时，速度的偏角为β＝－θ，如图所示．设此时小球的位移偏角为α，则有2tan α＝tan(－θ)＝，得tan α＝，故＝，D正确．‎ 训练2．(2018·山西四校联考)如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0水平抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α.若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是(　　)‎ A．夹角α将变大 B．夹角α与初速度大小无关 C．小球在空中的运动时间不变 D．P、Q间距是原来间距的3倍 ‎【答案】B 超重点5：圆周运动 一、匀速圆周运动及其描述 ‎1．匀速圆周运动 ‎(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动．‎ ‎(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．‎ ‎(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．‎ ‎2．描述圆周运动的物理量及其关系 ‎(1)线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．‎ v＝＝.‎ ‎(2)角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．‎ ω＝＝.‎ ‎(3)周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．‎ T＝，T＝.‎ ‎(4)向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．‎ an＝rω2＝＝ωv＝r.‎ ‎(5)相互关系：①v＝ωr＝r＝2πrf.‎ ‎②an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.‎ 二、匀速圆周运动的向心力 ‎1．向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．‎ ‎2．向心力的确定 ‎(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．‎ ‎(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力．‎ ‎3．向心力的公式 Fn＝man＝m＝mω2r＝mr.‎ 三、离心现象 ‎1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．‎ ‎2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线飞出去的趋势．‎ ‎3.受力特点 ‎(1)当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；‎ ‎(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；‎ ‎(3)当F＜mω2r时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力，如图所示．‎ 四．常见的三种传动方式及特点 ‎(1)皮带传送：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.‎ ‎(2)摩擦或齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.‎ ‎(3)同轴传动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．‎ ‎【典例分析】‎ ‎1.(多选)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度．如图所示是某一变速自行车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则(　　)‎ A．该自行车可变换两种不同挡位 B．该自行车可变换四种不同挡位 C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4‎ D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1‎ ‎【答案】BC ‎【解析】该自行车可变换四种不同挡位，分别为A与C、A与D、B与C、B与D，A错误，B正确；当A轮与D轮组合时，由两轮齿数可知，当A轮转动一周时，D轮要转四周，故ωA∶ωD＝1∶4，C正确，D错误．‎ ‎2．如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在转动过程中的(　　)‎ A．线速度大小之比为3∶2∶2‎ B．角速度之比为3∶3∶2‎ C．转速之比为2∶3∶2‎ D．向心加速度大小之比为9∶6∶4‎ ‎【答案】D ‎3.(多选)如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点(　　)‎ A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1‎ B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶ C．线速度之比vA∶vB＝∶1‎ D．线速度之比vA∶vB＝1∶ ‎【答案】AD ‎【解析】板上A、B两点的角速度相等，角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，选项A正确，B错误；线速度v＝ωr，线速度之比vA∶vB＝1∶，选项C错误，D正确．‎ ‎※圆周运动的动力学分析 ‎ ‎1．向心力的来源 ‎(1)向心力的方向沿半径指向圆心；‎ ‎(2)向心力来源：一个力或几个力的合力或某个力的分力．‎ ‎2．向心力的确定 ‎(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．‎ ‎(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．‎ ‎3．六种常见的向心力实例 运动 模型 ‎①飞机水平转弯 ‎②火车转弯 ‎③圆锥摆 向心 力的 来源 图示 运动 模型 ‎④飞车走壁 ‎⑤汽车在水 平路面转弯 ‎⑥光滑水 平转台 向心 力的 来源 图示 ‎【巩固训练】‎ ‎1.(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为 l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　)‎ A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg ‎【答案】AC ‎2．(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速度v有关．下列说法正确的是(　　)‎ A．速率v一定时，r越小，要求h越大 B．速率v一定时，r越大，要求h越大 C．半径r一定时，v越小，要求h越大 D．半径r一定时，v越大，要求h越大 ‎【答案】AD ‎3.(多选)如图所示，在固定的圆锥形漏斗的光滑内壁上，有两个小球A和B，质量分别为mA和mB ‎，它们分别紧贴漏斗的内壁在不同的水平面上做匀速圆周运动．则以下叙述正确的是(　　)‎ A．只有当mA＜mB时，小球A的角速度才会大于小球B的角速度 B．不论A、B的质量关系如何，小球A的线速度始终大于小球B的线速度 C．不论A、B的质量关系如何，小球A对漏斗内壁的压力始终大于小球B对漏斗内壁的压力 D．不论A、B质量关系如何，小球A的周期始终大于小球B的周期 ‎【答案】BD ‎【解析】对A、B两球中任意一球研究，进行受力分析，如图，小球只受重力和漏斗给的支持力FN.如图所示，设内壁与水平面的夹角为θ.根据牛顿第二定律有：mgtan θ＝mω2r＝m＝mr，则得ω＝，v＝，T＝2π.可知，小球的轨道半径越大角速度越小，线速度越大，周期越大，与两球质量大小无关．所以A的角速度小于B的角速度，A的线速度大于B的线速度，A的周期始终大于B的周期，故A错误，B、D正确；支持力FN＝，θ相同，知两球所受的支持力与质量成正比，故C错误．‎ ‎※竖直平面内的圆周运动模型 ‎ ‎1．轻绳模型和轻杆模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．‎ ‎2．两类模型对比 轻绳模型 轻杆模型 情景 图示 弹力 特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力 示意图 力学 方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界 特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg v＝ 的意义 物体能否过最高点的临界点 FN表现为拉力还是支持力的临界点 ‎【典例3】如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动．g取10 m/s2，求：‎ ‎(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？‎ ‎(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？‎ ‎(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？‎ ‎【答案】　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s ‎【解析】　‎ 思路点拨：解此题关键有两点：‎ ‎(1)小球在竖直平面内做完整圆周运动的条件．‎ ‎(2)最低点小球做圆周运动的向心力来源．‎ 详解：(1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得 mg＋F1＝①‎ 由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，‎ 亦即F1≥0②‎ 联立①②得v≥，‎ 代入数值得v≥2 m/s 所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s.‎ ‎(2)将v2＝4 m/s代入①得，‎ F2＝15 N.‎ ‎ 【规律总结】分析竖直平面内圆周运动问题的思路 训练1．(多选)(2018·北京东城区模拟)长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动．关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是(　　)‎ A．当v＝时，轻杆对小球的弹力为零 B．当v由逐渐增大时，轻杆对小球的拉力逐渐增大 C．当v由逐渐减小时，轻杆对小球的支持力逐渐减小 D．当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大 ‎【答案】ABD 训练2．(多选)如图甲所示，半径为R、内壁光滑的圆形细管竖直放置，一可看作质点的小球在圆管内做圆周运动，当其运动到最高点A时，小球受到的弹力F与其在A点速度平方(即v2‎ ‎)的关系如图乙所示．设细管内径可忽略不计，则下列说法中正确的是(　　)‎ A．当地的重力加速度大小为 B．该小球的质量为R C．当v2＝2b时，小球在圆管的最低点受到的弹力大小为7a D．当0≤v2