【物理】2018届二轮复习 万有引力与航天 学案（全国通用） 13页

基础课4　万有引力与航天 知识点一、万有引力定律及其应用 ‎1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比。‎ ‎2．表达式：F＝G G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。‎ ‎3．适用条件 ‎(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。‎ ‎(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。‎ 知识点二、环绕速度 ‎1．第一宇宙速度又叫环绕速度。‎ ‎2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。‎ ‎3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。‎ ‎4．第一宇宙速度的计算方法 ‎(1)由G＝m得v＝＝7.9 km/s ‎(2)由mg＝m得v＝＝7.9 km/s 知识点三、第二宇宙速度和第三宇宙速度 名称 大小 挣脱 第二宇宙速度 ‎(逃逸速度)‎ ‎11.2 km/s 地球的 引力束缚 第三宇宙速度 ‎16.7 km/s 太阳的 引力束缚 知识点四、经典时空观和相对论时空观 ‎1．经典时空观 ‎(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。‎ ‎(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。‎ ‎2．相对论时空观 ‎(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝ 。‎ ‎(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。‎ ‎3．狭义相对论的两条基本假设 ‎(1)相对性原理：所有物理规律在一切惯性参考系中都具有相同的形式。‎ ‎(2)光速不变原理：在一切惯性参考系中，测量到的真空中的光速c都一样(c＝3.0×108 m/s)。‎ ‎[思考判断]‎ ‎(1)两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。(　　)‎ ‎(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。(　　)‎ ‎(3)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小。(　　)‎ ‎(4)人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。(　　)‎ ‎(5)地球同步卫星根据需要可以定点在北方正上空。(　　)‎ ‎(6)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合。(　　)‎ ‎(7)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s。(　　)‎ ‎(8)牛顿运动定律可以解决自然界中的所有问题。(　　)‎ ‎(9)狭义相对论认为在不同惯性参考系中真空中的光速不变。(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×　(7)√　(8)×　(9)√‎ ‎　万有引力定律的理解及应用 ‎1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图1所示。‎ 图1‎ ‎(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。‎ ‎(2)在两极上：G＝mg2。‎ ‎(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。‎ 越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。‎ ‎2．星体表面上的重力加速度 ‎(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：‎ mg＝G，得g＝ ‎(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′‎ mg′＝，得g′＝ 所以＝ ‎1．[物理学史](多选)第谷、开普勒等人对行星运动的研究漫长而曲折，牛顿在他们研究的基础上，得出了科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律。下列有关万有引力定律的说法中正确的是(　　)‎ A．开普勒通过研究观测记录发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆 B．太阳与行星之间引力的规律并不适用于行星与它的卫星 C．库仑利用实验较为准确地测出了引力常量G的数值 D．牛顿在发现万有引力定律的过程中应用了牛顿第三定律的知识 解析　开普勒通过研究观测记录发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳与行星之间引力的规律既适用于其他行星，也适用于行星与它的卫星，选项A正确，B错误；引力常量G的数值是卡文迪许测出的，选项C错误；牛顿在发现万有引力定律的过程中应用了牛顿第三定律的知识，选项D正确。‎ 答案　AD ‎2．[万有引力定律的应用](多选)如图2所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是(　　)‎ 图2‎ A．地球对一颗卫星的引力大小为 B．一颗卫星对地球的引力大小为 C．两颗卫星之间的引力大小为 D．三颗卫星对地球引力的合力大小为 解析　地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误。‎ 答案　BC ‎3．[重力加速度的计算]宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)‎ A．0 B. C. D. 解析　对飞船由万有引力定律和牛顿第二定律得，＝mg′，解得飞船所在处的重力加速度为g′＝，B项正确。‎ 答案　B ‎　中心天体质量和密度的估算 中心天体质量和密度常用的估算方法 使用 方法 已知 量 利用 公式 表达式 备注 质量的计算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ ‎—‎ 密度的计算 利用运行天体 r、T、‎ R G＝mr M＝ρ·πR3‎ ρ＝当r＝R时ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3‎ ρ＝ ‎—‎ ‎1．[中心天体质量的计算](2016·海南单科，7)(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是(　　)‎ A．卫星的速度和角速度 ‎ B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 ‎ D．卫星的运行周期和轨道半径 解析　根据线速度和角速度可以求出半径r＝，根据万有引力提供向心力则：＝m，整理可以得到：M＝＝，故选项A正确；由于卫星的质量m约掉，故与卫星的质量无关，故选项B、C错误；若知道卫星的周期和半径，则＝m()2r，整理得到M＝，故选项D正确。‎ 答案　AD ‎2．[中心天体密度的估算]近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k是一个常数)(　　)‎ A．ρ＝ B．ρ＝kT C．ρ＝kT2 D．ρ＝ 解析　由万有引力定律知G＝mr，联立M＝ρ·πR3和r＝R，解得ρ＝，3π为一常数，设为k，故D正确。‎ 答案　D 估算天体质量和密度的“四点”注意 ‎(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。‎ ‎(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。‎ ‎(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。‎ ‎(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。‎ ‎　卫星的运动规律 ‎1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 万有引力提供向心力：即由G＝m＝mrω2＝mr＝man可推导出：‎ ⇒当r增大时 ‎2．卫星的轨道 ‎(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。‎ ‎(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。‎ ‎(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心。‎ ‎3．同步卫星的六个“一定”‎ ‎【典例】　2016年10月17日，我国利用长征二号FY11运载火箭成功将“神舟十一号”载人飞船送入离地面高度约为393 km的轨道。已知地球半径约为6 400 km。若将“神舟十一号”飞船的运行轨道视为圆轨道，则与地球同步卫星相比，“神舟十一号”飞船的(　　)‎ A．周期大 B．角速度小 C．线速度大 D．向心加速度小 解析　由G＝mr()2可得T＝2π，由于离地面高度约为393 km的轨道运行的“神舟十一号”飞船轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以“神舟十一号”飞船的周期小，选项A错误；由G＝mrω2，知ω＝，所以“神舟十一号”飞船的角速度大，选项B错误；由G＝m可得v＝，所以“神舟十一号”飞船的线速度大，选项C正确；由G＝ma解得a＝G，所以“神舟十一号”飞船的向心加速度大，选项D错误。‎ 答案　C 处理卫星运动问题紧抓以下两点 ‎(1)一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。‎ ‎(2)两组公式 G＝m＝mω2r＝mr＝ma mg＝(g为星体表面处的重力加速度)‎ ‎1．[近地卫星] 若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为(　　)‎ A．2 km/s B．4 km/s C．16 km/s D．32 km/s 解析　由G＝m得v＝＝8 km/s，某行星的“第一宇宙速度”为v′＝＝＝16 km/s。‎ 答案　C ‎2．[同步卫星](多选)‎ 研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(　　)‎ A．距地面的高度变小 B．向心加速度变小 C．线速度变小 D．角速度变小 解析　同步卫星的周期等于地球的自转周期，根据＝m()2r可知，卫星的周期越大，轨道半径越大，所以地球自转变慢后，同步卫星需要在更高的轨道上运行，A错误；又由＝m＝mω2r＝ma判知：r增大，则v减小、ω变小、a变小，故B、C、D正确。‎ 答案　BCD ‎3．[极地轨道卫星](2016·河南郑州一中开学考试)如图3所示，某极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)，若已知该卫星从地球上北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R(地球可看作均匀球体)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，由以上条件无法求出的物理量是(　　)‎ 图3‎ A．卫星运动的周期 B．卫星所受的向心力 C．地球的质量 D．卫星距离地面的高度 答案　B 双星模型 ‎[双星模型]‎ ‎(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图4所示。‎ 图4‎ ‎(2)特点：‎ ‎①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 ＝m1ωr1，＝m2ωr2‎ ‎②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2‎ ‎③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L ‎(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成反比。‎ 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图5所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的(　　)‎ 图5‎ A．质量之比mA∶mB＝2∶1‎ B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2‎ C．线速度大小之比vA∶vB＝2∶1‎ D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1‎ 解析　双星绕连线上的一点做匀速圆周运动，其角速度相同，周期相同，两者之间的万有引力提供向心力，F＝mAω2rA＝mBω2rB，所以mA∶mB＝2∶1，选项A正确，B、D错误；由v＝ωr可知，线速度大小之比vA∶vB＝1∶2，选项C错误。‎ 答案　A ‎1．(2016·全国卷Ⅲ，14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)‎ A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 解析　在天文观测数据的基础上总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律。‎ 答案　B ‎2．(2014·全国卷Ⅱ，18)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋mR＝G，以上两式联立解得地球的密度ρ＝。故选项B正确，A、C、D错误。‎ 答案　B ‎3．(2016·全国卷Ⅰ，17)‎ 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)‎ A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h 解析　地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出他们间的位置关系如图所示。‎ 卫星的轨道半径为r＝＝2R 由＝得 ＝。‎ 解得T2≈4 h。‎ 答案　B ‎4．(2017·湖南衡阳联考)两颗互不影响的行星P1、P2，各有一颗近地卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动。图6中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a，横轴表示该位置到行星中心距离r平方的倒数，a－关系图如图所示，卫星S1、S2的引力加速度大小均为a0。则(　　)‎ 图6‎ A．S1的质量比S2的大 B．P1的质量比P2的大 C．P1的第一宇宙速度比P2的小 D．P1的平均密度比P2的大 解析　根据万有引力定律可知引力加速度a＝，由此可知图象的斜率为GM，P ‎1的斜率大，对应的行星质量大，而卫星质量未知，选项A错，B对；两行星半径关系未知，则第一宇宙速度大小无法比较，选项C错；同理无法比较行星密度，选项D错。‎ 答案　B