【物理】2020届一轮复习人教版第九章电磁感应中的动量问题作业 7页

‎ (六十八) 电磁感应中的动量问题 作业 ‎1.(多选)如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab、cd，与导轨一起构成闭合回路。两根导体棒的质量均为m，长度均为L，电阻均为R，其余部分的电阻不计。在整个导轨所在的平面内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。开始时，两导体棒均在导轨上静止不动，某时刻给导体棒ab以水平向右的初速度v0，则(　　)‎ A．导体棒ab刚获得速度v0时受到的安培力大小为 B．两导体棒最终将以的速度沿导轨向右匀速运动 C．两导体棒运动的整个过程中产生的热量为mv02‎ D．当导体棒ab的速度变为v0时，导体棒cd的加速度大小为 解析：选BC　当导体棒ab刚获得速度v0时，导体棒cd还没开始运动，此时导体棒ab产生的感应电动势为E＝BLv0，回路中的感应电流为I＝，故此时导体棒ab受到的安培力大小为F＝BIL，解得F＝，选项A错误；从开始到两导体棒达到共同速度的过程中，两导体棒的总动量守恒，则可得mv0＝2mv，解得其共同速度为v＝，方向沿导轨向右，选项B正确；由能量守恒定律得，整个运动过程中产生的总热量为Q＝mv02－×2mv2，解得Q＝mv02，选项C正确；设导体棒ab的速度变为v0 时，导体棒cd的速度大小为v1，则由动量守恒定律可得mv0＝m·v0＋mv1，此时回路中的感应电动势为E′＝BL，感应电流为I′＝，此时导体棒cd受到的安培力为F′＝BI′L，所以导体棒cd的加速度大小为a＝，解得a＝，选项D错误。‎ ‎2.(多选)如图所示，水平桌面上固定着两相距L＝‎1 m的足够长的平行金属导轨，导轨右端接电阻R＝1 Ω，在导轨间存在无数宽度相同的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B＝1 T，方向竖直向下，任意两个磁场区域之间有宽为s0＝‎0.3 m的无场区，金属棒CD质量为m＝‎0.1 kg，接入导轨间的电阻为r＝1 Ω。水平置于导轨上，用绝缘水平细线通过定滑轮与质量也为m的物体A相连。金属棒从距最左边磁场区域左边界s＝‎0.4 m处由静止释放，运动过程中金属棒始终保持与导轨垂直，在金属棒穿过两磁场区域的过程中，通过电阻R的电流变化情况相同，且金属棒从进入磁场开始通过每个区域的时间均相同，重力加速度为g＝‎ ‎10 m‎/s2，不计其他电阻、摩擦力。则下列说法正确的是(图中并未把所有磁场都画出)(　　)‎ A．金属棒每次进入磁场时的速度为‎2 m/s，离开磁场时速度均为‎1 m/s B．每个磁场区域的宽度均为‎0.8 m C．金属棒在每个磁场区域运动的时候电阻R上产生的电热为1.3 J D．从进入磁场开始，电流的有效值为 A 解析：选AB　由题意知金属棒穿过两磁场区域的过程中，通过电阻R的电流变化情况相同，即进入每个磁场区域的初速度相同，穿出每个磁场区域的末速度也相同；设金属棒刚进入Ⅰ区的速度为v1，由机械能守恒定律可得mgs＝×2mv12，解得v1＝‎2 m/s，即每次进入磁场时的速度为‎2 m/s ，金属棒在Ⅰ区和Ⅱ区之间的无磁场区域运动，对金属棒有T＝ma，对物体A有mg－T＝ma，解得a＝＝‎5 m/s2，由v12－v22＝2as0，解得v2＝‎1 m/s，即离开磁场时的速度为‎1 m/s，A正确；由于金属棒通过每个区域的时间相同，故通过磁场区域和通过无磁区域的时间相等，为t＝＝0.2 s，金属棒通过磁场区域时，对金属棒有－Ft＋IT＝mv2－mv1，对物体A有mgt－IT＝mv2－mv1，又知Ft＝BILt＝BLq，q＝＝，整理得t＝＋＝0.2 s，解得d＝‎0.8 m，B正确；导体棒的电阻和R相等，并且两者串联在电路中，故两者产生的热量相等，根据能量守恒定律可得经过每一个磁场区域时有mgd＝×2mv22－×2mv12＋2Q，解得Q＝0.55 J，C错误；导体棒经过一个磁场区域和一个无磁区域为一个周期，则在这个周期内，通过磁场区域时，有电流产生，其余时间无电流产生，根据有效值的定义可知I2(R＋r)·2t＝2Q＋0，解得I＝ A，D错误。‎ ‎3．(多选)如图，在水平面内固定有两根相互平行的无限长光滑金属导轨，其间距为L，电阻不计。在虚线l1的左侧存在竖直向上的匀强磁场，在虚线l2的右侧存在竖直向下的匀强磁场，两部分磁场的磁感应强度大小均为B。ad、bc两根电阻均为R的金属棒与导轨垂直，分别位于两磁场中，现突然给ad棒一个水平向左的初速度v0，在两棒达到稳定的过程中，下列说法正确的是(　　)‎ A．两棒组成的系统的动量守恒 B．两棒组成的系统的动量不守恒 C．ad棒克服安培力做功的功率等于ad棒的发热功率 D．ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和 解析：选BD　开始时，ad棒以初速度v0‎ 切割磁感线，产生感应电动势，在回路中产生顺时针方向(俯视)的感应电流，ad棒因受到向右的安培力而减速，bc棒受到向右的安培力而向右加速；当两棒的速度大小相等，即两棒因切割磁感线而产生的感应电动势相等时，回路中没有感应电流，两棒各自做匀速直线运动；由于两棒所受的安培力都向右，两金属棒组成的系统所受合外力不为零，所以该系统的动量不守恒，选项A错误，B正确。根据能量守恒定律可知，ad棒动能的减小量等于回路中产生的热量和bc棒动能的增加量，由动能定理可知，ad棒动能的减小量等于ad棒克服安培力做的功，bc棒动能的增加量等于安培力对bc棒做的功，所以ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和，选项C错误，D正确。‎ ‎4．如图所示，足够长的水平导轨左侧b1b2－c‎1c2部分导轨间距为‎3L，右侧c‎1c2－d1d2部分的导轨间距为L，曲线导轨与水平导轨相切于b1b2，所有导轨均光滑且电阻不计。在水平导轨内有斜向下与竖直方向的夹角θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T。质量为mB＝‎0.2 kg的金属棒B垂直于导轨静止放置在右侧窄导轨上，质量为mA＝‎0.1 kg 的金属棒A自曲线导轨上a‎1a2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，A棒总在宽轨上运动，B棒总在窄轨上运动。已知：两棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2 Ω，h＝‎0.45 m，L＝‎0.2 m，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝‎10 m/s2。求：‎ ‎(1)A棒滑到b1b2处时的速度大小；‎ ‎(2)B棒匀速运动时的速度大小；‎ ‎(3)在两棒整体运动过程中，两棒在水平导轨间扫过的面积之差(最后结果保留3位有效数字)。‎ 解析：(1)A棒在曲线导轨上下滑，由机械能守恒定律得：‎ mAgh＝mAv02解得：v0＝‎3 m/s。‎ ‎(2)选取水平向右为正方向，对两棒分别应用动量定理，‎ 对B棒：FB安cos θ·t＝mBvB 对A棒：－FA安cos θ·t＝mAvA－mAv0 其中FA安＝3FB安 两棒最后匀速运动时，电路中无电流，有：BLvB＝3BLvA 解得：vA＝ m/s，vB＝ m/s。‎ ‎(3)在B棒加速运动过程中，由动量定理得：Bcos θLΔt＝mBvB－0‎ 电路中的平均电流＝ 根据法拉第电磁感应定律有：E＝ 其中磁通量变化量：ΔΦ＝Bcos θΔS解得：ΔS≈‎29.6 m2‎。‎ 答案：(1)‎3 m/s　(2) m/s　(3)‎‎29.6 m2‎ ‎5．如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左侧部分水平，右侧部分为半径r＝‎0.5 m的竖直半圆，两导轨间距离d＝‎0.3 m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小 B＝1 T的匀强磁场中，两导轨电阻不计。有两根长度均为d的金属棒ab、cd，均垂直置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m1＝‎0.2 kg、m2＝‎0.1 kg，电阻分别为R1＝0.1 Ω、R2＝0.2 Ω。现让ab棒以v0＝‎10 m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入半圆轨道后，恰好能通过轨道最高位置PP′，cd棒进入半圆轨道前两棒未相碰，重力加速度g＝‎10 m/s2，求：‎ ‎(1)ab棒开始向右运动时，cd棒的加速度大小a0；‎ ‎(2)cd棒刚进入半圆轨道时，ab棒的速度大小v1；‎ ‎(3)cd棒进入半圆轨道前，ab棒克服安培力做的功W。‎ 解析：(1)ab棒开始向右运动时，设回路中电流为I，有 E＝Bdv0 I＝ BId＝m‎2a0 解得：a0＝‎30 m/s2。‎ ‎(2)设cd棒刚进入半圆轨道时的速度为v2，cd棒进入半圆轨道前，cd棒与ab棒组成的系统动量守恒，有m1v0＝m1v1＋m2v2‎ cd棒从刚进入半圆轨道到通过轨道最高位置的过程中机械能守恒，有 m2v22＝m‎2g·2r＋m2v2‎ cd棒在轨道最高位置由重力提供向心力，有m‎2g＝m2 解得：v1＝‎7.5 m/s。‎ ‎(3)由动能定理得－W＝m1v12－m1v02 解得：W＝4.375 J。‎ 答案：(1)‎30 m/s2　(2)‎7.5 m/s　(3)4.375 J ‎6.如图所示，倾角θ＝45°的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与ON垂直的导体棒ab在水平外力F作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r。导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。t＝0时，导体棒位于O处，求：‎ ‎(1)t时刻流过导体棒的电流I的大小和方向；‎ ‎(2)导体棒做匀速直线运动时水平外力F的表达式；‎ ‎(3)导体棒在0～t时间内产生的焦耳热Q；‎ ‎(4)若在t0时刻将外力F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。‎ 解析：(1)0～t时间内，导体棒的位移s＝v0t t时刻，导体棒接入电路的长度l＝s 导体棒的电动势E＝Blv0‎ 回路总电阻R＝(2s＋s)r 电流的大小I＝＝ 由右手定则知电流方向由b→a。‎ ‎(2)由题意知导体棒做匀速运动，故水平外力F＝F安＝BIl 解得：F＝。‎ ‎(3)t时刻导体棒的电功率 P＝I2R′，R′＝lr 解得：P＝ 因为P∝t，所以Q＝t＝。‎ ‎(4)撤去外力F后，设任意时刻t导体棒的坐标为x，速度为v，取很短时间Δt或很短距离Δx，在t～t＋Δt时间内，由动量定理得 BI′xΔt＝mΔv ‎∑·xΔtv＝∑mΔv ΔS＝mv0‎ 方法一：撤去外力F后，导体棒扫过的面积 ΔS＝＝，其中x0＝v0t0‎ 解得：x＝ 方法二：设撤去外力F后，导体棒滑行距离为d，则 ΔS＝d 即d2＋2v0t0d－2ΔS＝0‎ 解得：d＝－v0t0＋ x＝v0t0＋d＝＝ 。‎ 答案：(1)，电流方向由b→a　(2)F＝　‎ ‎(3)　(4) ‎7．涡流制动是一种利用电磁感应原理工作的新型制动方式，它的基本原理如图甲所示。水平面上固定一块铝板，当一竖直方向的条形磁铁在铝板上方几毫米高度上水平经过时，铝板内感应出的涡流会对磁铁的运动产生阻碍作用。涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式。某研究所制成如图乙所示的车和轨道模型定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程。车厢下端安装有电磁铁系统，能在长为L1＝‎0.6 m，宽L2＝‎‎0.2 m 的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁场，磁感应强度可随车速的减小而自动增大(由车内速度传感器控制)，但最大不超过B1＝2 T，将铝板简化为长大于L1，宽也为L2的单匝矩形线圈，间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为L2，每个线圈的电阻为R1＝0.1 Ω，导线粗细忽略不计。在某次实验中，模型车速度为v0＝‎20 m/s时，启动电磁铁系统开始制动，车立即以大小为a1＝‎2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，当磁感应强度增加到B1时就保持不变，直到模型车停止运动。已知模型车的总质量为m1＝‎36 kg，空气阻力不计。不考虑磁感应强度的变化引起的电磁感应现象以及线圈激发的磁场对电磁铁产生磁场的影响。‎ ‎(1)电磁铁的磁感应强度刚达到最大时，模型车的速度为多大？‎ ‎(2)模型车的制动距离为多大？‎ ‎(3)为了节约能，将电磁铁换成若干个并在一起的永磁铁组，两个相邻的磁铁磁极的极性相反，且将线圈改为连续铺放，如图丙所示，已知模型车质量减为m2＝‎20 kg，永磁铁激发的磁感应强度恒为B2＝0.1 T，每个线圈匝数为N＝10，电阻为R2＝1 Ω，相邻线圈紧密接触但彼此绝缘。模型车仍以v0＝‎20 m/s的初速度开始减速，为保证制动距离不大于‎80 m，至少安装几个永磁铁？‎ 解析：(1)设电磁铁的磁感应强度刚达到最大时，模型车的速度为v1，则 E1＝B‎1L1v1‎ I1＝，F1＝B1I‎1L1，F1＝m‎1a1‎ 解得v1＝‎5 m/s。‎ ‎(2)匀变速过程位移为x1＝ 由第(1)问的方法同理得到磁感应强度达到最大以后任意速度v时，安培力的大小为F＝ 对速度v1后模型车的减速过程用动量定理可得 t＝＝m1v1‎ t＝x2，x＝x1＋x2，解得x＝‎106.25 m。‎ ‎(3)设需要n个永磁铁，当模型车的速度为v时，每个线圈中产生的感应电动势为 E2＝2NB‎2L1v 每个线圈中的感应电流为I2＝ 每个磁铁受到的阻力为F2＝2NB2I‎2L1‎ n个磁铁受到的阻力为F合＝2nNB2I‎2L1‎ 由第(2)问可得x′＝m2v0‎ 解得n≈3.47‎ 即至少需要4个永磁铁。‎ 答案：(1)‎5 m/s　(2)‎106.25 m　(3)4个