【物理】2019届二轮复习四类物体机械能守恒问题学案（全国通用） 13页

第一类、单物体机械能守恒问题 一、机械能守恒的三种表达式 ‎1．守恒观点 ‎①表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2。‎ ‎②意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能。‎ ‎③注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面。‎ ‎2．转化观点 ‎①表达式：ΔEk＝－ΔEp。‎ ‎②意义：系统的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的势能。‎ ‎3．转移观点 ‎①表达式：ΔEA增＝ΔEB减。‎ ‎②意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。‎ 二、应用机械能守恒定律的基本思路 ‎1．选取研究对象——物体。‎ ‎2．根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。‎ ‎3．选取方便的机械能守恒定律的方程形式进行求解。‎ ‎4．对计算结果进行必要的讨论和说明。‎ 三、机械能守恒定律的应用技巧 ‎1．机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。‎ ‎2．如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。‎ ‎【题1】取水平地面为重力势能零点。一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。不计空气阻力。该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】B ‎【解析】设物块水平抛出的初速度为v0，高度为h，由题意知mv＝mgh，即v0＝.‎ 物块在竖直方向上的运动是自由落体运动，落地时的竖直分速度vy＝＝vx＝v0，则该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角θ＝，故选项B正确，选项A、C、D错误。学 ‎ ‎【题2】[处理多过程问题]如图所示，竖直平面内的一半径R＝0.50 m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝0.10 kg的小球从B点正上方H＝0.95 m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，DQ间的距离x＝2.4 m，球从D点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h＝0.80 m，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：（1）小球经过C点时轨道对它的支持力大小FN；‎ ‎（2）小球经过最高点P的速度大小vP；‎ ‎（3）D点与圆心O的高度差hOD。‎ ‎【答案】（1）6.8 N（2）3.0 m/s（3）0.30 m ‎ ‎ 代入数据解得FN＝6.8 N ‎（2）P到Q做平抛运动有h＝gt2，＝vPt 代入数据解得vP＝3.0 m/s。‎ ‎（3）由机械能守恒定律，有mv＋mgh＝mg（H＋hOD），‎ 代入数据，解得hOD＝0.30 m。‎ ‎【题3】[处理多过程问题]如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径（C、D为圆轨道的最低点和最高点），已知∠BOC＝30°.可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出小滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，取g＝10 m/s2。求：‎ ‎（1）小滑块的质量和圆轨道的半径；‎ ‎（2）是否存在某个H值，使得小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点。若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】（1）0.1 kg，0.2 m（2）0.6 m 代入上式得：m＝0.1 kg，R＝0.2 m ‎（2）假设小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点（如图所示）由几何关系可得OE＝ 设小滑块经过最高点D时的速度为vD由题意可知，小滑块从D运动到E，水平方向的位移为OE，竖直方向上的位移为R，则OE＝vDt，R＝gt2‎ 得到：vD＝2 m/s 而小滑块过D点的临界速度vD′＝＝ m/s 由于vD＞vD′，所以存在一个H值，使得小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点mg（H－2R）＝mv 得到：H＝0.6 m 学 ‎ 第二类、多物体机械能守恒问题 一、多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路 ‎1．首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。‎ ‎2．若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE1＝－ΔE2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少。‎ 二、多物体机械能守恒问题的分析技巧 ‎1．对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。‎ ‎2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。‎ ‎3．列机械能守恒方程时，可选用ΔEk＝－ΔEp的形式。‎ ‎【题4】如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m1和m2，且m1＞m2。开始时m1恰在碗口水平直径右端A处，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。‎ ‎（1）求小球m2沿斜面上升的最大距离s；‎ ‎（2）若已知细绳断开后小球m1沿碗的内侧上升的最大高度为，求。（结果保留两位有效数字）‎ ‎【答案】（1）（）R（2）1.9‎ m1gR－m2gh＝m1v＋m2v h＝Rsin 30°‎ 联立以上三式得v1＝ ，v2＝ 设细绳断开后m2沿斜面上升的距离为s′，对m2由机械能守恒定律得m2gs′sin 30°＝m2v 小球m2沿斜面上升的最大距离s＝R＋s′‎ 联立以上两式并代入v2得s＝（）R ‎（2）对m1由机械能守恒定律得：m1v＝m1g 代入v1得＝≈1.9。 . ‎ 考法1　杆连物体系统机械能守恒 ‎1．问题简述：如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转动，且A、B的角速度相等。‎ ‎2．方法突破：求解这类问题时，由于二者角速度相等，所以关键是根据二者转动半径的关系寻找两物体的线速度的关系，根据两物体间的位移关系，寻找到系统重力势能的变化，最后根据ΔEk＝－ΔEp列出机械能守恒的方程求解。另外注意的是轻杆对物体提供的弹力不一定沿着杆，轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直，轻杆的弹力对一个物体做了正功，就对另一物体做了负功，并且绝对值相等。‎ ‎【题5】（多选）如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则（ ）学 ]‎ A．a落地前，轻杆对b一直做正功 ‎ B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg ‎【答案】BD ‎【解析】由题意知，系统机械能守恒。设某时刻a、b的速度分别为va、vb。此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图。因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v∥与v∥′是相等的，即vacos θ＝vb sin θ。当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝mva2，解得va＝，选项B正确。同时由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误。杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a 的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误。b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确。‎ 考法2　绳连物体系统机械能守恒 | ]‎ ‎1．问题简述：如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，A、B的速率也相等。但有些问题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系。‎ ‎2．方法突破：求解这类问题时，由于二者速率相等或相关，所以关键是寻找两物体间的位移关系，进而找到系统重力势能的变化。列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式。另外注意系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒，因为细绳对系统中的每一个物体都要做功。　‎ ‎【题6】如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2 m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？（设B不会碰到水平杆，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g＝10 m/s2）‎ ‎【答案】1.6 m/s vAcos θ2＝vB 代入数据解得vA≈1.1 m/s。‎ 由于绳子的拉力对A做正功，使A加速，至左滑轮正下方时速度最大，此时B的速度为零，此过程B下降高度设为h2，则由机械能守恒定律得mgh2＝mvAm2‎ 其中h2＝－h 代入数据解得vAm≈1.6 m/s。‎ 第三类、含弹簧类机械能守恒问题 ‎1．问题简述：对两个（或两个以上）物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中，在能量方面，由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。若还有其他外力和内力做功，这些力做功之和等于系统机械能改变量。做功之和为正，系统总机械能增加，反之减少。在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。如系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度（如绷紧的弹簧由静止释放）。‎ ‎2．方法突破：求解这类问题时，首先以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的突破口：弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循F＝kx和ΔF＝kΔx。其次，以弹簧的弹力做功为分析问题的突破口：弹簧发生形变时，具有一定的弹性势能。弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、形变量有关，但是在具体的问题中不用计算弹性势能的大小，弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同，通过运算可以约去。当题目中始、末都不是弹簧原长时，要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，即伸长量或压缩量，而力的位移就可能是两次形变量之和或之差。‎ ‎3．如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度（如绷紧的弹簧在光滑桌面上由静止释放）。 ‎ ‎4．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。‎ ‎5．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。‎ ‎6．注意 学 ‎ ‎（1）对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。‎ ‎（2）注意寻找用绳或杆或弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。‎ ‎（3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。‎ ‎【题7】[含弹簧类机械能守恒问题]如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中（ ）‎ A．圆环的机械能守恒 ‎ B．弹簧弹性势能变化了mgL C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零 D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 ‎【答案】B ‎【题8】[含弹簧类机械能守恒问题]如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道CDE在竖直平面内与光滑水平轨道AC相切于C点，水平轨道AC上有一轻质弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧自由端B与轨道最低点C的距离为4R，现用一个小球压缩弹簧（不拴接），当弹簧的压缩量为l时，释放小球，小球在运动过程中恰好通过半圆形轨道的最高点E；之后再次从B点用该小球压缩弹簧，释放后小球经过BCDE轨道抛出后恰好落在B点，已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，弹簧始终处在弹性限度内，求第二次压缩时弹簧的压缩量。‎ ‎【答案】l ‎ ‎ 设第二次压缩时弹簧的压缩量为x，此时弹簧的弹性势能为Ep′‎ 小球通过最高点E时的速度为v3，由机械能守恒定律可得：Ep′＝mg·2R＋mv 小球从E点开始做平抛运动，由平抛运动规律得4R＝v3t,2R＝gt2，‎ 解得v3＝2，解得Ep′＝4mgR 由已知条件可得＝，‎ 代入数据解得x＝l。‎ ‎【题9】如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放在倾角为53°的光滑斜面上.一长为L＝9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉直呈水平，使小球在位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm，g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：‎ ‎（1）细绳受到的拉力的最大值；‎ ‎（2）D点到水平线AB的高度h；‎ ‎（3）弹簧所获得的最大弹性势能Ep。‎ ‎【答案】（1）30 N（2）16 cm（3）2.9 J ‎（2）由D到A，小球做平抛运动v＝2gh③‎ tan 53°＝④‎ 联立③④解得h＝16 cm。‎ ‎（3）小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即Ep＝mg（L＋h＋xsin 53°），‎ 代入数据得：Ep＝2.9 J。‎ ‎【题10】如图，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动。质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端。现用外力作用在物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块 ‎ . ]‎ A．最大速度相同 B．最大加速度相同 C．上升的最大高度不同 D．重力势能的变化量不同 ‎【答案】C ‎【解析】本题考查了弹性势能与重力势能及动能的变化。解题关键是各物理量所对应弹簧所处的状态及受力情况。开始压缩量相同，弹力相同，释放瞬间两球加速度最大，由牛顿第二定律，kx0－mgsinθ＝mam，am＝－gsinθ，由于两物块质量不同，因此最大加速度不同，因此B选项错误；当物块加速为零时，速度最大，则kx＝mgsinθ，由能量转化与守恒定律，有kx＝kx2＋mv，所以v＝－，m越大，vm 越小，两物块质量不同，最大速度不同，选项A错误；‎ 达到最大高度时速度为零，弹性势能转化为重力势能，则kx＝mgh，h＝，两物块质量不同，上升的最大高度不同，选项C正确；弹簧相同，开始压缩量相同，全过程释放的弹性势能完全转化为重力势能，即ΔEPG＝EPO，重力势能的变化量相同，选项D错误。‎ 第四类、用机械能守恒定律解决非质点问题 一、非质点系统 ‎1．定义：指的是“链条”、“缆绳”、“液柱”等质量不可忽略、柔软的物体或液体。‎ ‎2．重力势能变化的分析方法 在确认了系统机械能守恒之后，一般采用转化法列方程。重力势能的变化与运动的过程无关，常常分段找等效重心的位置变化来确定势能的变化。这种思想也是解决变力做功过程中势能变化的基本方法。‎ ‎3．分析非质点系统重力势能变化时的注意事项 ‎（1）注意等效部分的质量关系：根据物体的相对位置关系将物体分成若干段，在应用相关规律求解时要注意对应各部分的质量关系。‎ ‎（2）注意物体的位置变化：解决涉及重力势能变化的问题时，物体的位置变化要以重心位置变化为准。‎ ‎【题11】两个底面积都是S的圆桶，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开，不计摩擦阻力，当两桶水面第一次高度相等时，液面的速度为多大（连接两桶的阀门之间水质量不计）?‎ ‎【答案】（h1－h2） 对于容器中的液体，在运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，第一次液面高度相等时，重力势能的减少量等于动能的增加量。‎ 容器中水的总质量为：m＝ρS（h1＋h2）；‎ 水面相平时，相当于质量为m′＝ρS的液体下降了，‎ 所以由机械能守恒定律可得，减少的重力势能ΔEp＝ΔEk 即ρgS×＝ρS（h1＋h2）v2‎ 解得v＝（h1－h2） 二、基本思路 在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。‎ 不计摩擦和其他损耗，物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。‎ 三、处理方法 ‎1．寻找等效长度，如本例中的“L－a”，可以快速准确的解决非质点问题。‎ ‎2．重力势能的变化或重力做功利用等效长度来表示，但动能的表达式一般要针对整体。‎ ‎3．机械能守恒定律解决非质点问题，犹如整体隔离法解决动力学问题。‎ ‎【题12】（多选）如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面（此时物块未到达地面），在此过程中 A．物块的机械能逐渐增加 B．软绳的重力势能减少了mgl C．物块重力势能的减少量等于软绳机械能的增加量 D．软绳重力势能减少量小于其动能的增加量 ‎【答案】BD ‎【解析】细线对物块做负功，物块的机械能减少，细线对软绳做功，软绳的机械能增加，故软绳重力势能的减少量小于其动能增加量，A错误，D正确；物块重力势能的减少量一部分转化为软绳机械能，另一部分转化为物块的动能，故C错误；从开始运动到软绳刚好全部离开斜面，软绳的重心下移了，故其重力势能减少了mgl，B正确。‎ ‎【题13】如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：‎ ‎（1）链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；‎ ‎（2）链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎（2）设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，‎ 高度减少量h＝（）sin α＝sin α 该部分的质量为m′＝（L－a）‎ 由机械能守恒定律可得：（L－a）gh＝mv2， 学 ]‎ 可解得：v＝。‎