【物理】2020届二轮复习专题一第4讲　万有引力与航天学案（京津鲁琼专用） 18页

第 4 讲 万有引力与航天 真题再现 考情分析 1.(多选)(2019·高考全国卷Ⅰ) 在星球 M 上将 一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体 P 轻放在弹簧上端，P 由静止向下运动，物体的 加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实 线所示．在另一星球 N 上用完全相同的弹簧， 改用物体 Q 完成同样的过程，其 a－x 关系如 图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分 布的球体．已知星球 M 的半径是星球 N 的 3 倍，则( ) A.M 与 N 的密度相等 B.Q 的质量是 P 的 3 倍 C.Q 下落过程中的最大动能是 P 的 4 倍 D.Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是 P 的 4 倍 解析：选 AC.设 P、Q 的质量分别为 mP、mQ； M、N 的质量分别为 M1、M2，半径分别为 R1、 R2，密度分别为ρ1、ρ2；M、N 表面的重力加 速度分别为 g1、g2.在星球 M 上，弹簧压缩量 为 0 时有 mPg1＝3mPa0，所以 g1＝3a0＝G M1 R21 等，密度ρ1＝ M1 4 3πR31 ＝ 9a0 4πGR1 ；在星球 N 上，弹 簧压缩量为 0 时有 mQg2＝mQa0，所以 g2＝a0 ＝GM2 R22 ，密度ρ2＝ M2 4 3πR32 ＝ 3a0 4πGR2 ；因为 R1＝3R2， 所以有ρ1＝ρ2，选项 A 正确．当物体的加速度 为 0 时有 mPg1＝3mPa0＝kx0，mQg2＝mQa0＝ 2kx0，解得 mQ＝6mP，选项 B 错误．根据 a－ x 图线与坐标轴围成图形的面积和质量的乘 积表示合外力做的功可知，EkmP＝3 2mPa0x0， EkmQ＝mQa0x0，所以 EkmQ＝4EkmP，选项 C 正 确．根据运动的对称性可知，Q 下落时弹簧的 最大压缩量为 4x0，P 下落时弹簧的最大压缩 量为 2x0，选项 D 错误. 2.(2019·高考全国卷Ⅱ)2019 年 1 月，我国嫦 娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探 测器“奔向”月球的过程中，用 h 表示探测 器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引 力，能够描述 F 随 h 变化关系的图象是( ) 解析：选 D. 在嫦娥四号探测器“奔向”月球 的过程中，根据万有引力定律，可知随着 h 的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但 并不是均匀减小的，故能够描述 F 随 h 变化 关系的图象是 D. 3.(多选)(2018·高考全国卷Ⅰ)2017 年，人类第 一次直接探测到来自双中子星合并的引力 波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子 星合并前约 100 s 时，它们相距约 400 km，绕 二者连线上的某点每秒转动 12 圈．将两颗中 子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些 数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识， 可以估算出这一时刻两颗中子星( ) A.质量之积 B．质量之和 C.速率之和 D．各自的自转角速度 解析：选 BC.由题意可知，合并前两中子星绕 连线上某点每秒转动 12 圈，则两中子星的周 期相等，且均为 T＝ 1 12 s，两中子星的角速度 均为ω＝2π T ，两中子星构成了双星模型，假设 两中子星的质量分别为 m1，m2，轨道半径分 别为 r1、r2，速率分别为 v1、v2，则有：Gm1m2 L2 ＝m1ω2r1、Gm1m2 L2 ＝m2ω2r2，又 r1＋r2＝L＝400 km，解得 m1＋m2＝ω2L3 G ，A 错误，B 正确； 又由 v1＝ωr1、v2＝ωr2，则 v1＋v2＝ω(r1＋r2) ＝ωL，C 正确；由题中的条件不能求解两中 子星自转的角速度，D 错误. 命题研究 天体运动规律及万有引力定律的应用是高考每年必考内容，考查方向很广 泛，从天体质量或密度的计算、行星运动规律的分析，到同步卫星、双星、宇 宙速度的求解、变轨问题等均在考查范围之内；在备考中要注重复习解答天体 运动的两条思路、开普勒定律等核心知识点，并关注一些天体学中的前沿知识 点，近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的题目备受青睐，会形成新 情景的物理题，像 2018 年涉及的引力波就属于这类结合 万有引力定律及天体质量和密度的求解 【高分快攻】 1．自力更生法：利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R. 由 GMm R2 ＝mg 得天体质量 M＝gR2 G . 天体密度：ρ＝M V ＝ M 4 3πR3 ＝ 3g 4πGR. 2．借助外援法：通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T. (1)由 GMm r2 ＝m 4π2r T2 得天体的质量为 M＝4π2r3 GT2 . (2)若已知天体的半径 R，则天体的密度 ρ＝M V ＝ M 4 3πR3 ＝ 3πr3 GT2R3. (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度ρ＝ 3π GT2 ， 可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期 T，就可估算出中心天体的密度． 【典题例析】 (2018·高考全国卷Ⅱ)2018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉 冲星“J0318＋0253”，其自转周期 T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万 有引力常量为 6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为( ) A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3 [解析] 毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据 GMm R2 ＝m4π2R T2 ，M＝ρ·4 3πR3，得ρ＝ 3π GT2 ，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m3，C 正确． [答案] C 【题组突破】 角度 1 万有引力定律的应用 1．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是 一半径为 R、质量分布均匀的实心球体，O 为球心，以 O 为原点建立坐标轴 Ox，如图所示， 一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在 x 轴上各位置受到的引力大小用 F 表 示，则选项所示的四个 F 随 x 变化的关系图中正确的是( ) 解析：选 A.因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心 x 处 (x≤R)物体所受的引力为 F＝GM1m x2 ＝G·4 3πx3ρ·m x2 ＝4 3Gπρmx∝x，故 F－x 图线是过原点的直 线；当 x>R 时，F＝GMm x2 ＝G·4 3πR3ρ·m x2 ＝4GπρmR3 3x2 ∝1 x2 ，故选项 A 正确． 角度 2 天体质量的计算 2．(多选)(2019·大连模拟) 宇航员抵达一半径为 R 的星球后，做了如下的实验：取一根 细绳穿过光滑的细直管，细绳的一端拴一质量为 m 的砝码，另一端连接在一固定的拉力传 感器上，手捏细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做圆周运动．若该星球表面没有空气，不 计阻力，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如图所示，此 时拉力传感器显示砝码运动到最低点与最高点两位置时读数差的绝对值为ΔF.已知万有引 力常量为 G，根据题中提供的条件和测量结果，可知( ) A．该星球表面的重力加速度为ΔF 2m B．该星球表面的重力加速度为ΔF 6m C．该星球的质量为ΔFR2 6Gm D．该星球的质量为ΔFR2 3Gm 解析：选 BC.设砝码在最高点的速率为 v1，受到的弹力为 F1，在最低点的速率为 v2， 受到的弹力为 F2，则有 F1＋mg＝mv21 R ，F2－mg＝mv22 R 砝码由最高点到最低点，由机械能守恒定律得： mg·2R＋1 2mv21＝1 2mv22 拉力传感器读数差为ΔF＝F2－F1＝6mg 故星球表面的重力加速度为 g＝ΔF 6m ，A 错误，B 正确； 在星球表面附近有： GMm R2 ＝mg，则 M＝ΔFR2 6Gm ，故 C 正确，D 错误． 卫星运行参量的分析 【高分快攻】 1．在讨论有关卫星的运动规律时，关键要明确向心力、轨道半径、线速度、角速度、 周期和向心加速度，彼此影响、互相联系，只要其中一个量确定了，其他的量也就不变了； 只要一个量发生了变化，其他的量也随之变化． 2．不管是定性分析还是定量计算，必须抓住卫星运动的特点．万有引力提供卫星绕地 球做匀速圆周运动的向心力，根据 GMm r2 ＝mv2 r ＝mω2r＝m4π2 T2 r ＝ma 求出相应物理量的表达 式即可讨论或求解，需要注意的是 a、v、ω、T 均与卫星质量无关． 3．两种卫星的特点 (1)近地卫星 ①轨道半径＝地球半径． ②卫星所受万有引力＝mg. ③卫星向心加速度＝g. (2)同步卫星 ①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期． ②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上． 【典题例析】 (2019·高考天津卷)2018 年 12 月 8 日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥 四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国 足迹”．已知月球的质量为 M、半径为 R，探测器的质量为 m，引力常量为 G，嫦娥四号探 测器围绕月球做半径为 r 的匀速圆周运动时，探测器的( ) A．周期为 4π2r3 GM B．动能为GMm 2R C．角速度为 Gm r3 D．向心加速度为GM R2 解析：选 A.嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周 运动的向心力，有GMm r2 ＝mω2r＝mv2 r ＝m4π2 T2 r＝ma，解得ω＝ GM r3 、v＝ GM r 、T＝ 4π2r3 GM 、 a＝GM r2 ，则嫦娥四号探测器的动能为 Ek＝1 2mv2＝GMm 2r ，由以上可知 A 正确，B、C、D 错 误． [答案] A 【题组突破】 角度 1 卫星轨道上物理参量的比较 1．(2019·高考全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们 的向心加速度大小分别为 a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为 v 金、v 地、v 火．已知 它们的轨道半径 R 金a 地>a 火 B．a 火>a 地>a 金 C．v 地>v 火>v 金 D．v 火>v 地>v 金 解析：选 A.金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有 GMm R2 ＝ma，解 得 a＝GM R2 ，结合题中 R 金a 地>a 火，选项 A 正确，B 错误；同理，有 GMm R2 ＝mv2 R ，解得 v＝ GM R ，再结合题中 R 金v 地>v 火，选项 C、D 均错误． 角度 2 三种宇宙速度及其应用 2．使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称 为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度 v2 与第一宇宙速度 v1 的关系是 v2＝ 2v1.已知某星球 的半径为地球半径 R 的 4 倍，质量为地球质量 M 的 2 倍，地球表面重力加速度为 g.不计其 他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( ) A． 1 2gR B．1 2 gR C． gR D． 1 8gR 解析：选 C.设在地球表面飞行的卫星质量为 m，由万有引力提供向心力得GmM R2 ＝mv2 R ， 又由 GMm R2 ＝mg，解得地球的第一宇宙速度为 v1＝ GM R ＝ gR；设该星球的第一宇宙速度 为 v′1，根据题意，有v′1 v1 ＝ 2M M × R 4R ＝ 1 2 ；由题意知第二宇宙速度 v2＝ 2v1，联立得该星 球的第二宇宙速度为 v′2＝ gR，故 A、B、D 错误，C 正确． 角度 3 同步卫星的特点 3．(2019·高考北京卷)2019 年 5 月 17 日，我国成功发射第 45 颗北斗导航卫星，该卫星 属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星( ) A．入轨后可以位于北京正上方 B．入轨后的速度大于第一宇宙速度 C．发射速度大于第二宇宙速度 D．若发射到近地圆轨道所需能量较少 解析：选 D.同步卫星只能位于赤道正上方，A 项错误；由GMm r2 ＝mv2 r 知，卫星的轨道半 径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫 星的速度)，B 项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C 项 错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较小，D 项正确． 命题角度 解决方法 易错辨析 天体运行参量分析 由万有引力提供向心力求解 分清做哪种圆周运动来确定 是根据万有引力提供向心力 来计算还是作为整体来计算 宇宙速度的计算 由万有引力定律结合“黄金 代换”联立求解 一定是针对圆周运动而言 同步卫星的特点 从周期入手分析其他运动参 量 掌握几个定量关系的数值 卫星变轨与对接问题 【高分快攻】 人造卫星变轨过程中各物理量的分析比较 人造卫星的发射过程要经过多次变轨，过程简图如图所示． 1．变轨原理：卫星绕中心天体稳定运动时，万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心 力，有 GMm r2 ＝mv2 r .当由于某种原因卫星速度 v 突然增大时，有 GMm r2 ＜mv2 r ，卫星将偏离圆 轨道做离心运动；当 v 突然减小时，有 GMm r2 ＞mv2 r ，卫星将做向心运动． 2．熟记变轨现象 3．各物理量的比较 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度 v 不相等．图中 vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ. (2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度 v 大小不相等．从远地点到近地点万有引 力对卫星做正功，动能增大(引力势能减小)．图中 vⅡA＞vⅡB，EkⅡA＞EkⅡB，EpⅡA＜EpⅡB. (3)两个不同圆轨道上线速度 v 大小不相等．轨道半径越大，v 越小，图中 vⅠ＞vⅢ. (4)不同轨道上运行周期 T 不相等．根据开普勒行星运动第三定律r3 T2 ＝k，内侧轨道的运 行周期小于外侧轨道的运行周期．图中 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ. (5)卫星在不同轨道上的机械能 E 不相等，“高轨高能，低轨低能”．卫星变轨过程中机 械能不守恒．图中 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ. (6)在分析卫星运行的加速度时，只要卫星与中心天体的距离不变，其加速度大小(由万 有引力提供)就一定与轨道形状无关，图中 aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ. 【典题例析】 (多选)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0.若只考虑海王星和太阳之间的 相互作用，则海王星在从 P 经 M、Q 到 N 的运动过程中( ) A．从 P 到 M 所用的时间等于T0 4 B．从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大 C．从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小 D．从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 [解析] 在海王星从 P 到 Q 的运动过程中，引力做负功，根据动能定理可知，速度越来 越小，C 项正确；海王星从 P 到 M 的时间小于从 M 到 Q 的时间，因此从 P 到 M 的时间小 于T0 4 ，A 项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机 械能，即从 Q 到 N 的运动过程中海王星的机械能守恒，B 项错误；从 M 到 Q 的运动过程中 引力与速度的夹角大于 90°，因此引力做负功，从 Q 到 N 的过程中，引力与速度的夹角小 于 90°，因此引力做正功，即海王星从 M 到 N 的过程中万有引力先做负功后做正功，D 项 正确． [答案] CD (多选)在发射一颗质量为 m 的地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表 面的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为 h 的预 定圆轨道Ⅲ上．已知卫星在圆形轨道Ⅰ上运行的加速度为 g，地球半径为 R，卫星在变轨过 程中质量不变，则( ) A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为 h R＋h 2 g B．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为 gR2 R＋h C．卫星在轨道Ⅲ上运行时经过 P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过 P 点的速率 D．卫星在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动的动能大于在轨道Ⅰ上的动能 解析：选 BC.设地球质量为 M，由万有引力提供向心力得在轨道Ⅰ上有 GMm R2 ＝mg，在 轨道Ⅲ上有 G Mm （R＋h）2 ＝ma，所以 a＝ R R＋h 2 g，A 错误；又因 a＝ v2 R＋h ，所以 v＝ gR2 R＋h ， B 正确；卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要加速做离心运动，所以卫星在轨道Ⅲ上运行时经过 P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过 P 点的速率，C 正确；尽管卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道 Ⅲ要在 P、Q 点各加速一次，但在圆形轨道上稳定运行时的速度 v＝ GM r ，由动能表达式 知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，D 错误． 双星与多星问题 【高分快攻】 1．宇宙双星模型 (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2 L2 ＝m1ω21r1，Gm1m2 L2 ＝m2ω22r2. (2)两颗星的周期及角速度都相同，即 T1 ＝ T2, ω1＝ω2. (3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L. (4)两颗星到圆心的距离 r1、r2 与星体质量成反比，即m1 m2 ＝r2 r1 . (5)双星的运动周期 T＝2π L3 G（m1＋m2）. (6)双星的总质量公式 m1＋m2＝4π2L3 T2G . 2．宇宙三星模型 (1)如图 1 所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动， 另外两颗行星围 绕它做圆周运动．这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡，运转的行星由其余 两颗行星的引力提供向心力：Gm2 r2 ＋ Gm2 （2r）2 ＝ ma 向．两行星运行的方向相同，周期、角速度、 线速度的大小相等． (2)如图 2 所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做 圆周运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供，即Gm2 L2 ×2×cos 30°＝ma 向，其中 L＝ 2rcos 30°. 三颗行星运行的方向相同，周期、角速度、 线速度的大小相等． 3．双星与多星问题的解题思路 (1)记忆口诀：N 星系统周期同，受力源自其他星；几何关系找半径，第二定律列方程． (2)思维导图 【典题例析】 2018 年 12 月 7 日是我国发射“悟空”探测卫星三周年的日子，该卫星的发射为 人类对暗物质的研究做出了重大贡献．假设两颗质量相等的星球绕其球心连线中点转动，理 论计算的周期与实际观测的周期有出入，且T 理论 T 观测 ＝ n 1 (n>1)，科学家推测，在以两星球球心 连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球球心连线长度为 L，质量均为 m，据 此推测，暗物质的质量为( ) A．(n－1)m B．nm C．n－2 8 m D．n－1 4 m [解析] 双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，理论上，由相互间的万有引力提供向 心力得：Gm2 L2 ＝m4π2 T2理论 ·L 2 ，解得：T 理论＝πL 2L Gm.根据观测结果，T 理论 T 观测 ＝ n 1 (n>1)，这种差异是 由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量 等于球内暗物质的总质量 m′，位于中点 O 处的质点的作用相同．则有：Gm2 L2 ＋ Gmm′ （L 2 ）2 ＝ m4π2 T2观测 ·L 2 ，解得：T 观测＝πL 2L G（m＋4m′），联立解得：m′＝n－1 4 m. [答案] D (2019·青岛模拟) 2016 年 2 月 11 日，美国科学家宣布探测到引力波的存在， 引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现．在如图所示的双星系 统中，A、B 两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，已知恒星 A 的质量为太阳 质量的 29 倍，恒星 B 的质量为太阳质量的 36 倍，两星之间的距离 L＝2×105m，太阳质量 M＝2×1030kg，引力常量 G＝6.67×10－11N·m2/kg2，π2＝10.若两星在环绕过程中会辐射出 引力波，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息 估算该引力波频率的数量级是( ) A．102Hz B．104Hz C．106Hz D．108Hz 解析：选 A.A、B 的周期相同，角速度相等，靠相互之间的引力提供向心力 有 GMAMB L2 ＝MArA 4π2 T2 ① GMAMB L2 ＝MBrB 4π2 T2 ② 有 MArA＝MBrB，rA＋rB＝L 解得 rA＝ MB MA＋MB L＝36 65L. 由①得 T＝ 4π2L3×36 65 GMB 则 f＝1 T ＝ GMB 4π2L3×36 65 ＝ 6.67×10－11×36×2×1030 4×10×（2×105）3×36 65 Hz≈1.6×102Hz. 一、单项选择题 1．(2018·高考北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循 同样的规律，在已知月地距离约为地球半径 60 倍的情况下，需要验证( ) A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 1 602 B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 1 602 C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1 6 D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 1 60 解析：选 B.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规 律——万有引力定律，则应满足 GMm r2 ＝ma，即加速度 a 与距离 r 的平方成反比，由题中数 据知，选项 B 正确，其余选项错误． 2．为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周 期 T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧测力计称量一个质量为 m 的砝码，读数为 F.已知 引力常量为 G.则下列说法错误的是( ) A．该行量的质量为 F3T4 16π4Gm3 B．该行星的半径为4π2FT2 m C．该行星的密度为 3π GT2 D．该行星的第一宇宙速度为 FT 2πm 解析：选 B.据 F＝mg0＝m4π2 T2 R，得 R＝ FT2 4π2m ，B 错误；由 GMm R2 ＝m4π2 T2 R，得 M＝4π2R3 GT2 ， 又 R＝ FT2 4π2m ，则 M＝ F3T4 16π4Gm3 ，A 正确；密度ρ＝M V ＝ 3π GT2 ，C 正确；第一宇宙速度 v＝ g0R＝ FT 2πm ，D 正确． 3．(2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星 P，其轨道半 径约为地球半径的 16 倍；另一地球卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的 4 倍．P 与 Q 的周期 之比约为( ) A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1 解析：选 C.由开普勒第三定律得r3 T2 ＝k，故TP TQ ＝ RP RQ 3 ＝ 16 4 3 ＝8 1 ，C 正确． 4．“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步 轨道卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别 约为地球半径的 6 倍和 3.4 倍，下列说法中正确的是( ) A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的 2 倍 B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的 2 倍 C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1 7 D．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1 7 解析：选 A.根据万有引力提供向心力有 GMm r2 ＝mr4π2 T2 ， 解得卫星周期公式 T＝2π r3 GM ，地球静止轨道卫星和中轨道卫星距地面的高度分别约为地球半径的 6 倍和 3.4 倍， 即轨道半径分别约为地球半径的 7 倍和 4.4 倍，所以静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的 2 倍，故 A 正确；由 GMm r2 ＝ m v2 r 可得 v＝ GM r ，所以静止轨道卫星的线速度大小小于 中轨道卫星的线速度大小，故 B 错误；由 GMm r2 ＝mrω2 可得ω＝ GM r3 ，由此可知，静止轨 道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的 0.5，故 C 错误；由 GMm r2 ＝ma 得 a＝GM r2 ，所以静止 轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的 0.4，故 D 错误． 5．(2017·高考全国卷Ⅲ)2017 年 4 月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空 间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道) 运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( ) A．周期变大 B．速率变大 C．动能变大 D．向心加速度变大 解析：选 C.组合体比天宫二号质量大，轨道半径 R 不变，根据GMm R2 ＝mv2 R ，可得 v＝ GM R ，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B 项错误；又 T＝2πR v ， 则周期 T 不变，A 项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C 项正确；向心加速度 a＝GM R2 ， 不变，D 项错误． 6．2017 年 10 月 16 日，南京紫金山天文台对外发布一项重大发现，我国南极巡天望远 镜追踪探测到首例引力波事件光学信号．关于引力波，早在 1916 年爱因斯坦基于广义相对 论预言了其存在.1974 年拉塞尔赫尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星，这双星系 统在互相公转时，由于不断发射引力波而失去能量，逐渐相互靠近，此现象为引力波的存在 提供了首个间接证据．科学家们猜测该双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较 大的星球表面的物质，达到质量转移的目的，则关于赫尔斯—泰勒脉冲双星周期 T 随双星 之间的距离 L 变化的关系图象正确的是( ) 解析：选 B.双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，Gm1m2 L2 ＝ m1 2π T 2 R1＝m2 2π T 2 R2，由几何关系得：R1＋R2＝L，解得： 1 T2 ＝G（m1＋m2） 4π2 ·1 L3 ，已知此双 星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质，达到质量转移的目 的，每个星球的质量变化，但质量之和不变，所以 1 T2 ∝ 1 L3 ，故 B 正确，A、C、D 错误． 7. 国务院批复，自 2016 年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日”.1970 年 4 月 24 日我 国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约 为 440 km，远地点高度约为 2 060 km；1984 年 4 月 8 日成功发射的东方红二号卫星运行在 赤道上空 35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为 a1，东方红二号 的加速度为 a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a3，则 a1、a2、a3 的大小关 系为( ) A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1 C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3 解析：选 D.固定在赤道上的物体随地球自转的周期与同步卫星运行的周期相等，同步 卫星做圆周运动的半径大，由 a＝r 2π T 2 可知，同步卫星做圆周运动的加速度大，即 a2>a3， B、C 项错误；由于东方红二号与东方红一号在各自轨道上运行时受到万有引力，因此有 GMm r2 ＝ma，即 a＝GM r2 ，由于东方红二号的轨道半径比东方红一号在远地点时距地高度大， 因此有 a1>a2，A 项错误，D 项正确． 8．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通 信．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍．假设地球的自转周期变小，若 仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h 解析：选 B.设地球半径为 R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保 持无线电通信时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示．由图中几何关系可得，同步卫 星的最小轨道半径 r＝2R.设地球自转周期的最小值为 T，则由开普勒第三定律可得， （6.6R）3 （2R）3 ＝（24 h）2 T2 ，解得 T≈4 h，选项 B 正确． 9．2017 年 6 月 15 日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射首颗 X 射线调制望远镜卫星“慧眼”．“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水 平，填补我国 X 射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天 地联合观测的超越．“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等致密天体和爆发现 象．在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为 L，只在彼此之间的 万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为 T，引力常量为 G，则双黑洞总质量为( ) A．4π2L3 GT2 B．4π2L3 3GT2 C． GL3 4π2T2 D．4π2T3 GL2 解析：选 A.双黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，有：Gm1m2 L2 ＝m1r1 4π2 T2 ，Gm1m2 L2 ＝ m2r2 4π2 T2 ，解得：m2＝4π2r1L2 GT2 ，m1＝4π2r2L2 GT2 ，又因为 r1＋r2＝L，则双黑洞总质量为：m 总＝m2 ＋m1＝4π2L3 GT2 ，故选 A. 10．由三个星体构成的系统，叫做三星系统．有这样一种简单的三星系统，质量刚好都 相同的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个 顶点上，绕某一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动．若三个星体 的质量均为 m，三角形的边长为 a，万有引力常量为 G，则下列说法正确的是( ) A．三个星体做圆周运动的半径均为 a B．三个星体做圆周运动的周期均为 2πa a 3Gm C．三个星体做圆周运动的线速度大小均为 3Gm a D．三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为3Gm a2 解析：选 B.质量相等的三星系统的位置关系构成一等边三角形，其中心 O 即为它们的 共同圆心，由几何关系可知三个星体做圆周运动的半径 r＝ 3 3 a，故选项 A 错误；每个星体 受到的另外两星体的万有引力提供向心力，其大小 F＝ 3·Gm2 a2 ，则 3Gm2 a2 ＝m4π2 T2 r，得 T＝ 2πa a 3Gm ，故选项 B 正确；由线速度 v＝2πr T 得 v＝ Gm a ，故选项 C 错误；向心加速度 a ＝F m ＝ 3Gm a2 ，故选项 D 错误． 二、多项选择题 11. (2018·高考天津卷)2018 年 2 月 2 日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发 射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通 过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度．若 将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计 算出卫星的( ) A．密度 B．向心力的大小 C．离地高度 D．线速度的大小 解析：选 CD.卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有 G Mm （R＋h）2 ＝m(2π T )2(R ＋h)，无法计算得到卫星的质量，更无法确定其密度及向心力大小，A、B 项错误；又 GMm0 R2 ＝m0g，联立两式可得 h＝3 gR2T2 4π2 －R，C 项正确；由 v＝2π T (R＋h)，可计算出卫星的线速 度的大小，D 项正确． 12．2019 年 1 月 5 日，又有两颗北斗导航系统组网卫星通过“一箭双星”发射升空， 并成功进入预定轨道，两颗卫星绕地球的运动均看做匀速圆周运动．如果两颗卫星的质量均 为 M，其中的 1 号卫星轨道距离地面高度为 h，2 号卫星轨道距离地面高度为 h′，且 h′>h， 把地球看做质量分布均匀的球体，已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度大小为 g，引 力常量为 G，下列说法正确的是( ) A．1 号卫星绕地球运动的线速度 v＝R g R＋h B．1 号卫星绕地球运动的周期 T＝2π(R＋h) R＋h GM C．1 号卫星和 2 号卫星做匀速圆周运动的向心力大小之比为h′2 h2 D．稳定在轨运行时 1 号卫星的机械能小于 2 号卫星的机械能 解析：选 AD.根据公式 G Mm （R＋h）2 ＝M v2 R＋h 和 m0g＝Gmm0 R2 ，解得 v＝R g R＋h ，故 A 正确；根据公式 G Mm （R＋h）2 ＝M4π2 T2 (R＋h)和 m0g＝Gmm0 R2 ，解得：T＝2π（R＋h） R＋h R g ， 故 B 错误；F1＝G mM （R＋h）2 ，F2＝G mM （R＋h′）2 ，所以F1 F2 ＝（R＋h′）2 （R＋h）2 ，故 C 错误；由于 h