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- 2021-06-01 发布
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第1讲 功 功率与动能定理
[历次选考考情分析]
章
知识内容
考试要求
历次选考统计
必考
加试
2015/10
2016/04
2016/10
2017/04
2017/11
2018/04
机械能守恒定律
追寻守恒量——能量
b
功
c
c
功率
c
c
10、13
重力势能
c
c
4、20
13
弹性势能
b
b
20
动能和动能定理
d
d
20
20
20
20
20
20
机械能守恒定律
d
d
20
12
能量守恒定律与能源
c
d
5
4
考点一 功和能基本概念及规律辨析
1.功的正负:由W=Flcos α,α<90°,力对物体做正功;α=90°,力对物体不做功;α>90°,力对物体做负功.
2.恒力做功的计算方法
3.变力做功:变力做功的求解要注意问题的正确转化,如将变力转化为恒力,利用F-l图象曲线下的面积求功,利用W=Pt计算,也可应用动能定理或功能关系等方法求解.
4.总功的计算
(1)先求物体所受的合外力,再求合外力做的功;
(2)先求每个力做的功,再求各功的代数和.
5.机械能
(1)机械能包括动能、重力势能和弹性势能;
(2)重力势能:重力做正功,重力势能就减小,重力做负功,重力势能就增加,即WG=-ΔEp;
(3)弹性势能:弹力做正功,弹性势能就减小,弹力做负功,弹力势能就增加,伸长量与缩短量相等时,弹性势能相同.
1.[正、负功的判断](2018·温州市期中)载人飞行包是一个单人低空飞行装置,如图1所示,其发动机使用汽油作为燃料提供动力,可以垂直起降,也可以快速前进,若飞行包(包括人)在竖直匀速降落的过程中(空气阻力不可忽略),下列说法正确的是( )
图1
A.发动机对飞行包(包括人)做正功
B.飞行包(包括人)的重力做负功
C.空气阻力对飞行包(包括人)做负功
D.飞行包(包括人)的合力做负功
答案 C
解析 飞行包(包括人)在竖直匀速降落的过程中,发动机的动力向上,则发动机对飞行包(包括人)做负功,故A错误.高度下降,飞行包(包括人)的重力做正功,故B错误.空气阻力竖直向上,与位移方向相反,则空气阻力对飞行包(包括人)做负功,故C正确.飞行包匀速运动,合力为零,则飞行包的合力不做功,故D错误.
2.[做功的分析]如图2所示,坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m,在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下,沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ,雪橇受到的( )
图2
A.支持力做功为mgl
B.重力做功为mgl
C.拉力做功为Flcos θ
D.滑动摩擦力做功为-μmgl
答案 C
解析 对坐在雪橇上的人与雪橇整体进行受力分析,可知雪橇受到的支持力FN=mg-Fsin θ,滑动摩擦力Ff=μFN=μ(mg-Fsin θ),由功的定义式可知,支持力做的功为零,重力做的功也为零,选项A、B错误;滑动摩擦力做功Wf=-Ffl=-μl(mg-Fsin θ),选项D错误;拉力做功为Flcos θ,选项C正确.
3.[重力势能](2018·浙江4月选考·13)如图3所示,一根绳的两端分别固定在两座猴山上的A、B处,A、B两点水平距离为16 m,竖直距离为2 m,A、B间绳长为20 m.质量为10 kg的猴子抓住套在绳上的滑环从A处滑到B
处.以A点所在水平面为参考平面,猴子在滑行过程中重力势能最小值约为(绳处于拉直状态)( )
图3
A.-1.2×103 J B.-7.5×102 J
C.-6.0×102 J D.-2.0×102 J
答案 B
解析 重力势能最小的点为最低点,结合“同绳同力”可知,在最低点时,两侧绳子与水平方向夹角相同,记为θ,设右边绳子长为a,则左边绳长为20-a.
由几何关系得:20cos θ=16;asin θ-(20-a)sin θ=2
联立解得a= m,所以最低点与参考平面的高度差为sin θ=7 m,猴子的重心比绳子最低点大约低0.5 m,所以在最低点的重力势能约为-750 J,故选B.
4.[机械能守恒](2018·绍兴市选考诊断)“神舟十一号”飞船在发射至返回的过程中,哪个阶段中返回舱的机械能是守恒的( )
A.飞船加速升空阶段
B.飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段
C.返回舱与轨道舱分离,进入大气层后加速下降
D.返回舱在大气层运动一段时间后,打开降落伞,减速下降
答案 B
考点二 功率的分析与计算
1.首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率.
2.平均功率与一段时间(或过程)相对应,计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率.
(1)可用P=.
(2)可用P=Fvcos α,其中v为物体运动的平均速度.
3.计算瞬时功率时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率.求解瞬时功率时,如果F和v不同向,可用力F乘以沿F方向的分速度,或用速度v乘以沿速度方向的分力求解.
(1)公式P=Fvcos α,其中v为某时刻的瞬时速度.
(2)P=FvF,其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度.
(3)P=Fvv,其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力.
例1 (2017·浙江11月选考·13)如图4所示是具有登高平台的消防车,具有一定质量的伸缩臂能够在5 min内使承载4人的登高平台(人连同平台的总质量为400 kg)上升60 m到达灭火位置.此后,在登高平台上的消防员用水炮灭火,已知水炮的出水量为3 m3/min,水离开炮口时的速率为20 m/s,则用于( )
图4
A.水炮工作的发动机输出功率约为1×104 W
B.水炮工作的发动机输出功率约为4×104 W
C.水炮工作的发动机输出功率约为2.4×106 W
D.伸缩臂抬升登高平台的发动机输出功率约为800 W
答案 B
解析 若不计伸缩臂的质量,抬升登高平台的发动机输出功率P==400×10×60× W=800 W,但伸缩臂具有一定质量,发动机输出功率应大于800 W,故选项D错误;在1 s内,喷出去水的质量为m′=ρV=103× kg=50 kg,喷出去水的重力势能为Ep=m′gh=50×10×60 J=3×104 J,水的动能为Ek=m′v2=1×104 J,所以1 s内水增加的能量为4×104 J,所以水炮工作的发动机输出功率为4×104 W,选项B正确,A、C错误.
5.(2018·金、丽、衢十二校联考)跳绳是丽水市高中毕业生体育测试的项目之一,如图5所示,高三的小李同学在某次测验过程中,一分钟跳180次,每次跳跃,脚与地面的接触时间为跳跃一次所需时间的,g取10 m/s2,则他克服重力做功的平均功率约为( )
图5
A.20 W B.35 W C.75 W D.120 W
答案 C
解析 小李同学跳一次的时间是:t= s= s,他跳离地面向上做竖直上抛运动,到最高点的时间为:t1=××(1-) s=0.1 s,此过程中克服重力做功为:W=mg(gt12)=500×(×10×0.01) J=25 J,跳绳时克服重力做功的功率为:== W=75 W,故C正确,A、B、D错误.
6.一物块放在水平面上,在水平恒力F的作用下从静止开始运动,物块受到的阻力与速度成正比,则关于拉力F的功率随时间变化的图象正确的是( )
答案 C
解析 物块受到的阻力与速度成正比,根据牛顿第二定律,F-kv=ma,所以物块做加速度减小的加速运动,又因拉力功率P=Fv,F为恒力,所以功率随时间变化的规律和速度v随时间的变化规律一致,故C正确,A、B、D错误.
7.(2018·台州市高三期末)如图6所示,中国版“野牛”级重型气垫船,自重达540吨,装有额定输出功率为8 700 kW的大功率燃汽轮机,最高时速为108 km/h.假设气垫船航行过程中所受的阻力Ff与速度v成正比,即Ff=kv.则下列说法正确的是( )
图6
A.该气垫船的最大牵引力为2.9×105 N
B.从题中给出的数据,无法计算k值
C.在输出额定功率下以最高时速航行时,气垫船所受的阻力为2.9×105 N
D.以最高时速一半的速度匀速航行时,气垫船发动机的输出功率为4 350 kW
答案 C
解析 在额定输出功率下以最高时速航行时,vm=108 km/h=30 m/s,根据P=Fv得:F== N=2.9×105 N,此时匀速运动,则Ff=F=2.9×105 N,若以恒定牵引力启动时,开始的牵引力大于匀速运动的牵引力,所以最大牵引力大于2.9×105 N,故A错误,C正确;根据Ff=kv得:k== N·s/m≈9.67×103 N·s/m,故B错误;以最高时速一半的速度匀速航行时,牵引力F′=k·,解得F′=1.45×105 N,则P′=F′v′=1.45×105×15 W=2 175 kW,故D错误.
考点三 动能定理的应用
1.解题步骤
2.注意事项
(1)动能定理往往用于单个物体的运动过程,由于不涉及加速度及时间,比动力学研究方法要简便.
(2)动能定理表达式是一个标量式,不能在某个方向上应用动能定理.
(3)应用动能定理时,必须明确各力做功的正、负.当一个力做负功时,可设物体克服该力做功为W,将该力做功表示为-W,也可以直接用字母W表示该力做功,使其字母本身含有负号.
例2 如图7所示,倾角为θ=37°的斜面固定在水平地面上,劲度系数为k=40 N/m的轻弹簧的轴线与斜面平行,弹簧下端固定在斜面底端的挡板上,弹簧与斜面间无摩擦.一个质量为m=5 kg的小滑块从斜面上的P点由静止滑下,小滑块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5,P点与弹簧自由端Q点间的距离为L=1 m.已知整个过程弹簧始终在弹性限度内,弹簧的弹性势能Ep与其形变量x的关系为Ep=kx2,sin 37°=0.6, cos 37°=0.8,重力加速度g取10
m/s2.求:
图7
(1)小滑块从P点下滑到Q点时所经历的时间t;
(2)小滑块运动过程中达到的最大速度vm的大小;
(3)小滑块运动到最低点的过程中,弹簧的最大弹性势能.
答案 (1)1 s (2) m/s (3)20 J
解析 (1)由牛顿第二定律可知,小滑块沿斜面下滑的加速度a=gsin θ-μgcos θ=2 m/s2
由L=at2
解得t==1 s
(2)设弹簧被压缩x0时小滑块达到最大速度vm,此时小滑块加速度为零,根据平衡条件有mgsin θ-μmgcos θ=kx0
对小滑块由静止滑下到达到最大速度的过程,由动能定理有
mgsin θ·(L+x0)-μmgcos θ·(L+x0)-kx02=mv m2
解得vm= m/s
(3)设小滑块运动至最低点时,弹簧的压缩量为x1,由动能定理有
mgsin θ·(L+x1)-μmgcos θ·(L+x1)-Epm=0
又Epm=kx12
解得Epm=20 J.
8.如图8甲所示,质量m=1 kg的物体静止在光滑的水平面上,t=0时刻,物体受到一力F的作用,t=1 s时,撤去力F,某时刻物体滑上倾角为37°的粗糙斜面.已知物体从开始运动到滑上斜面最高点的v-t图象如图乙所示,不计其他阻力,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2.求:
图8
(1)力F做的功;
(2)物体从斜面底端滑到最高点过程中克服摩擦力做功的平均功率.
答案 (1)72 J (2)36 W
解析 (1)物体1 s末的速度v1=12 m/s,根据动能定理得:WF=mv12=72 J.
(2)物体在1~2 s内沿水平面做匀速直线运动,物体在2~3 s内沿斜面向上做减速运动.物体沿斜面上滑的最大距离为:x=t3=6 m
物体到达斜面底端的速度v2=12 m/s,到达斜面最高点的速度为零,根据动能定理得:
-mgxsin 37°-W克=0-mv22
解得:W克=36 J
因此克服摩擦力做功的平均功率为:==36 W.
9.如图9所示为一滑梯的实物图,滑梯的斜面段长度L=5.0 m,高度h=3.0 m,为保证小朋友的安全,在水平面铺设安全地垫.水平段与斜面段平滑连接,小朋友在连接处速度大小不变.某小朋友从滑梯顶端由静止开始滑下,经斜面底端后水平滑行一段距离,停在水平地垫上.已知小朋友质量为m=20 kg,小朋友在斜面上受到的平均阻力Ff1=88 N,在水平段受到的平均阻力Ff2=100 N.不计空气阻力,取重力加速度g=10 m/s2.求:
图9
(1)小朋友在斜面滑下的过程中克服摩擦力做的功;
(2)小朋友滑到斜面底端时的速度v的大小;
(3)为使小朋友不滑出水平地垫,地垫的长度x至少多长.
答案 (1)440 J (2)4 m/s (3)1.6 m
解析 (1)小朋友在斜面滑下的过程中克服摩擦力做的功为:Wf1=Ff1L=88×5 J=440 J
(2)小朋友在斜面上运动,由动能定理得mgh-Wf1=mv2
代入数据解得:v=4 m/s
(3)小朋友在水平地垫上运动的过程,由动能定理得:
-Ff2x=0-mv2
解得:x=1.6 m
考点四 动力学和能量观点的综合应用
1.动力学观点:牛顿运动定律、运动学基本规律.
2.能量观点:动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律.
3.解题关键
(1)抓住物理情景中出现的运动状态和运动过程,将物理过程分解成几个简单的子过程.
(2)两个相邻过程连接点的速度是联系两过程的纽带,也是解题的关键.
例3 (2017·台州市选考模拟)如图10所示,质量为m=0.1 kg的可视为质点的小球从静止开始沿半径为R1=40 cm的圆弧轨道AB由A点滑到B点后,进入与AB平滑连接的圆弧管道BC.管道出口处为C,圆弧管道半径为R2=20 cm,在紧靠出口C处,有一半径为R3=8.4 cm、水平放置且绕其水平轴线匀速旋转的圆筒(不计筒皮厚度),筒上开有小孔D,筒旋转时,小孔D恰好能经过出口C处,小球射出C出口时,恰好能接着穿过D孔进入圆筒,并越过轴线再从D孔向上穿出圆筒,到最高点后返回又能向下穿过D孔进入圆筒,不计摩擦和空气阻力,g取10 m/s2.问:
图10
(1)小球到达B点的瞬间前、后对轨道的压力分别为多大?
(2)小球穿出圆筒小孔D时的速度多大?
(3)圆筒转动的最大周期T为多少?
答案 (1)3 N 5 N (2)0.8 m/s (3)0.08 s
解析 (1)从A到B,由动能定理得:mgR1=mvB2
由牛顿第二定律得,到达B点瞬间前:FNB-mg=m
解得FNB=3 N
到达B点瞬间后:FNB′-mg=m
解得FNB′=5 N
由牛顿第三定律得,小球到达B点瞬间前、后对轨道的压力分别为3 N和5 N.
(2)从A到穿出D过程中,由机械能守恒可得:
mgR1=mgR2+mg·2R3+mvD2
解得:vD=0.8 m/s
(3)由机械能守恒可得:mgR1=mgR2+mvC2
解得:vC=2 m/s
穿越圆筒过程中:vC-vD=g(nT+0.5T)
从圆筒穿出到又进入圆筒过程中:2vD=gn′T
得到关系式:3n′=4n+2
要使周期最大,n和n′必须同时取正整数且n最小
取n=1,得T=0.08 s.
10.如图11所示,斜面ABC下端与光滑的圆弧轨道CDE相切于C,整个装置竖直固定,D是最低点,圆心角∠DOC=37°,E、B与圆心O等高,圆弧轨道半径R=0.30 m,斜面长L=1.90 m,AB部分光滑,BC部分粗糙.现有一个质量m=0.10 kg的小物块P从斜面上端A点无初速度下滑,物块P与斜面BC部分之间的动摩擦因数μ=0.75.取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g=10 m/s2,忽略空气阻力.求:
图11
(1)物块第一次通过C点时的速度大小vC;
(2)物块第一次通过D点时受到轨道的支持力大小FD;
(3)物块最终所处的位置.
答案 (1)3 m/s (2)7.4 N
(3)在斜面BC段且距离C点0.35 m
解析 (1)根据几何关系得,斜面BC部分的长度为:l=0.40 m
设物块第一次通过B点时的速度为vB,根据动能定理有:
mg(L-l)sin 37°=mvB2-0,
代入数据得:vB=3 m/s
物块在BC部分滑动时受到的摩擦力大小为:Ff=μmgcos 37°=0.60 N
在BC部分下滑过程中受到的合力为:F=mgsin 37°-Ff=0
则物块第一次通过C点时的速度为:vC=vB=3 m/s.
(2)设物块第一次通过D点时的速度为vD,则由动能定理有:
mgR(1-cos 37°)=mvD2-mvC2
FD-mg=m
代入数据得:FD=7.4 N.
(3)物块每通过一次BC部分减小的机械能为:ΔE=Ffl=0.24 J
物块在B点的动能为:EkB=mvB2=×0.1×18 J=0.9 J,
物块能通过BC部分的次数为:n==3.75,
设物块第四次从下端进入BC部分后最终在距离C点x处静止,则有
mg(L-x)sin 37°-Ff(3l+x)=0,代入数据得:x=0.35 m.
11.(2018·杭州市期末)如图12所示,倾角为30°的光滑斜劈AB长L1=0.4 m,放在离地高h=0.8 m的水平桌面上,B点右端接一光滑小圆弧(图上未画出),圆弧右端切线水平,与桌面边缘的距离为L2.现有一小滑块从A点由静止释放,通过B点后恰好停在桌面边缘的C点,已知滑块与桌面间的动摩擦因数μ=0.2.
图12
(1)求滑块到达B点的速度vB的大小;
(2)求B点到桌面边缘C点的距离L2;
(3)若将斜劈向右平移一段距离ΔL=0.64 m,滑块仍从斜劈上的A点由静止释放,最后滑块落在水平地面上的P点.求落地点P距C点正下方的O点的距离x.
答案 (1)2 m/s (2)1 m (3)0.64 m
解析 (1)滑块从A到B的运动,根据机械能守恒定律得:
mgL1sin 30°=mvB2
代入数据解得:vB=2 m/s
(2)从A到C根据动能定理可得:mgL1sin 30°-μmgL2=0
解得:L2=1 m;
(3)从A到C根据动能定理可得:mgL1sin 30°-μmg(L2-ΔL)=mvC2-0,代入数据解得vC=1.6 m/s,
滑块离开C后做平抛运动,根据平抛运动的规律可得:h=gt2,解得:t=0.4 s,
所以落地点P距C点正下方的O点的距离为:x=vCt=0.64 m.
专题强化练
1.(2018·名校协作体联考)如图1所示,拖拉机耕地时一般比在道路上行驶时速度慢,这样做的主要目的是( )
图1
A.节省燃料 B.提高柴油机的功率
C.提高传动机械的效率 D.增大拖拉机的牵引力
答案 D
2.(2018·七彩阳光联盟期中)如图2所示,某一足球比赛中,
运动员大力踢出的点球恰好击中横梁.假定足球击中横梁时速度大小为20 m/s,足球的质量为450 g,球门高度约为2.4 m,不计空气阻力,则该运动员对足球所做的功的大小约为( )
图2
A.45 J B.90 J C.100 J D.180 J
答案 C
解析 球门高度约为h=2.4 m,对足球从运动员踢球到击中横梁的过程,根据动能定理得:W-mgh=mv2-0,则W=mgh+mv2=0.45×10×2.4 J+×0.45×202 J=100.8 J≈100 J.
3.(2018·杭州市期末)研究表明,人步行时重心升降的幅度约为脚跨一步距离的0.1倍.某同学体重为70 kg,在水平地面上匀速步行的速度为5 km/h,g取10 m/s2,此过程中他的平均功率约为( )
A.5 W B.50 W C.100 W D.200 W
答案 C
解析 人步行时重心升降的幅度约为脚跨一步距离的0.1倍,设该同学在时间t内在水平地面上运动的距离为vt,此过程中重心上升的高度为Δh=0.1vt,其重力为G=700 N,所以平均功率P===0.1Gv=0.1×700× W≈97.2 W,故C正确.
4.(2018·西湖高级中学月考)如图3所示,四个完全相同的小球在同一高度以相同大小的初速度v0分别水平、竖直向下、竖直向上、斜向上抛出,不计空气阻力的影响,下列说法正确的是( )
图3
A.小球飞行过程中加速度相同
B.小球落地时的动能不同
C.从开始运动至落地,重力对小球做功不相同
D.从开始运动至落地,重力对小球做功的平均功率相同
答案 A
解析 物体都做抛体运动,故加速度都为重力加速度,都相同,故A正确;根据动能定理可知,小球落地时的动能相同,故B错误;根据W=mgh可知,重力做功相同,故C错误;小球的运动时间不同,由公式P=可知重力对小球做功的平均功率不同,故D错误.
5.(2018·宁波市重点中学联考)如图4甲所示,用起重机将地面上静止的货物竖直向上吊起,货物由地面运动至最高点的过程中,其v-t图象如图乙所示,下列说法正确的是( )
图4
A.0~t1时间内,起重机拉力逐渐变大
B.在t1~t2时间内,起重机拉力的功率保持不变
C.在t1~t2时间内,货物的机械能保持不变
D.在t2~t3时间内,起重机拉力对货物做负功
答案 B
6.(2018·绍兴市选考诊断)某一水力发电站的水位的平均落差为50 m,每秒约有6×106 kg的水用来发电,水的重力势能有10%转化为电能,g取10 m/s2,则( )
A.每秒水减少的重力势能约为3×108 J
B.发电的平均功率约为6×108 W
C.每天的发电量约为7.2×106 kW·h
D.若将这些电能以0.5元/度的价格卖出,则一年可收入约为3 600万元
答案 C
7.(2018·西湖高级中学月考)如图5所示,质量为m的物体(可视为质点)从倾角为30°的光滑斜面上的h高处自由下滑到底端A处,则在这个过程中( )
图5
A.重力势能减少了mgh B.重力势能减少了mgh
C.机械能增加了mgh D.机械能减少了mgh
答案 B
解析 物体的高度下降了h,重力对物体做功为mgh,则重力势能减少了mgh,故A错误,B正确;斜面光滑,物体在运动过程中只受重力和斜面的支持力,而支持力对物体不做功,只有重力做功,所以物体的机械能守恒,故C、D错误.
8.如图6所示,汽车停在缓坡上,要求驾驶员在保证汽车不后退的前提下向上启动,这就是汽车驾驶中的“坡道起步”,驾驶员的正确操作是:变速杆挂入低速挡,徐徐踩下加速踏板,然后慢慢松开离合器,同时松开手刹,汽车慢慢启动,下列说法正确的是( )
图6
A.变速杆挂入低速挡,是为了增大汽车的输出功率
B.变速杆挂入低速挡,是为了能够提供较大的牵引力
C.徐徐踩下加速踏板,是为了让牵引力对汽车做更多的功
D.徐徐踩下加速踏板,是为了让汽车的输出功率保持为额定功率
答案 B
解析 由P=Fv可知,在功率一定的情况下,当速度减小时,汽车的牵引力就会增大,此时更容易上坡,则换低速挡,增大牵引力,故A错误,B正确;徐徐踩下加速踏板,发动机的输出功率增大,根据P=Fv可知,目的是为了增大牵引力,故C、D错误.
9.(2018·台州市3月模拟)蹦极是一项极限活动.如图7所示,游客站在平台上,用橡皮绳固定住身体后由静止下落,触地前弹起,然后反复弹起落下.不计空气阻力和橡皮绳的质量,在第一次下落过程中( )
图7
A.游客一直处于完全失重状态
B.橡皮绳刚绷紧时,游客的动能最大
C.游客的机械能先保持不变,后逐渐减小
D.游客下落到最低点时,橡皮绳的弹性势能大于游客减少的重力势能
答案 C
10.如图8所示,在水平地面上固定一足够长的倾角θ=30°的光滑斜面,质量为m=2 kg的小滑块从斜面底端,在与斜面平行的恒力F作用下由静止开始沿斜面上升,经过时间t撤去恒力F,又经过时间t小滑块回到斜面底端,此时小滑块的动能为49 J,g取10 m/s2,则下列说法正确的是( )
图8
A.拉力F做的功为24.5 J
B.撤去拉力时小滑块刚好滑到最大高度的一半
C.撤去拉力时小滑块的速度是7 m/s
D.与斜面平行的恒力F= N
答案 D
解析 整个过程中,小滑块的重力不做功,支持力不做功,拉力做正功,由动能定理知:WF=49 J,故选项A错误;取沿斜面向上为正方向,设小滑块刚撤去拉力时的速度大小为v1,回到底端时的速度大小为v2,有拉力时的位移x1=t,从撤去拉力到回到底端时的位移-x1=t,根据题意,解得:v2=2v1,小滑块到达最底端的速度大小v2==7 m/s,所以撤去拉力时速度是v1=3.5 m/s,故C错误;设从撤去拉力到小滑块上升到最大高度的位移为x2,则由运动学公式知v1=,v2=,解得x1=3x2,撤去拉力时的高度为最大高度的四分之三,故B错误;由动能定理,在小滑块上升的过程中,Fx1-mg(x1+x2)sin θ=0,解得F= N,故D正确.
11.(2018·宁波市十校联考)如图9是某设计师设计的游乐场滑梯轨道简化模型图,在倾角θ=53°的长直轨道AC上的B点轻放一小车,B点到C点的距离L0=4 m,下滑到C点后进入了弧形的光滑轨道CDEF,其中CDE是半径为R=5 m,圆心角为106°的圆弧,EF为半径R=5 m,圆心角为53°的圆弧,已知小车的质量为60 kg,车与轨道AC间存在摩擦,
动摩擦因数为μ=0.5,不计其他阻力,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,g=10 m/s2,下列说法不正确的是( )
图9
A.小车滑至C点的速度为6 m/s
B.小车到达D点时对轨道的压力为1 560 N
C.小车刚好能沿着轨道滑到F点
D.若小车从长直轨道上距C点L′=9 m开始由静止下滑,则小车能在F点水平抛出
答案 A
解析 由B到C根据动能定理:mgL0sin 53°-μmgL0cos 53°=mvC2,解得vC=2 m/s,选项A错误;到达D点时:mvC2+mgR(1-cos 53°)=mvD2,解得vD=4 m/s,则在D点:FN-mg=m,解得FN=1 560 N,由牛顿第三定律知选项B正确;假设小球能到达F点,则mvC2=mgR(1-cos 53°)+mvF2,解得vF=0,可知小车刚好能到达F点,选项C正确;从B′到F点,由动能定理mgL′sin 53°-mgR(1-cos 53°)-μmgL′cos 53°=mvF′2
得vF′=5 m/s,在F点:mg-FN′=m,解得FN′=0,即此时小车能在F点水平抛出,选项D正确.
12.如图10所示,AB为水平轨道,竖直平面内的半圆轨道BCD的下端与水平轨道相切于B点,质量m=0.50 kg的滑块(可视为质点),从A点以速度vA=10 m/s沿水平轨道向右运动,恰好能通过半圆轨道的上端D点,已知AB长x=3.5 m,滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.10,半圆轨道的半径R=0.50 m,g=10 m/s2,求:
图10
(1)滑块刚刚滑上半圆轨道时,对半圆轨道下端B点的压力大小;
(2)滑块从B点运动到D点的过程中克服摩擦力所做的功.
答案 (1)98 N (2)17 J
解析 (1)滑块由A到B的过程,由动能定理得:-μmgx=mvB2-mvA2
在B点,由牛顿第二定律得:FN-mg=m
解得:FN=98 N
根据牛顿第三定律可知,滑块对轨道上B点压力的大小为98 N.
(2)在D点,有:mg=m
从B到D过程,由动能定理得:-2mgR-Wf=mvD2-mvB2
解得:Wf=17 J
13.如图11所示,与水平面夹角θ=60°的斜面和半径R=0.4 m的光滑圆轨道相切于B点,且固定于竖直平面内.滑块从斜面上的A点由静止释放,经B点后沿圆轨道运动,通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零.已知滑块与斜面间动摩擦因数μ=,g取10 m/s2,求:
图11
(1)滑块在C点的速度大小vC;
(2)滑块在B点的速度大小vB;
(3)A、B两点间的高度差h.
答案 (1)2 m/s (2)4 m/s (3) m
解析 (1)通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零,对滑块,在C点由牛顿第二定律可得:mg=m,所以,vC== m/s=2 m/s;
(2)滑块在光滑圆轨道上运动时机械能守恒,故有:
mvB 2=mvC2+mgR(1+cos 60°)
解得:vB=4 m/s;
(3)滑块从A到B只有重力、摩擦力做功,由动能定理可得:
mgh-μmgcos 60°·=mvB2
可得:h= m.
14.(2017·嘉兴市高二上期末)某校科技节举行车模大赛,其规定的赛道如图12所示,某小车以额定功率18 W由静止开始从A点出发,加速2 s后进入光滑的竖直圆轨道BC,恰好能经过圆轨道最高点C,然后经过光滑曲线轨道BE后,从E处水平飞出,最后落入沙坑中,已知圆半径R=1.2 m,沙坑距离BD平面高度h2=1 m,小车的总质量为1 kg,g=10 m/s2,求:
图12
(1)小车在B点对轨道的压力大小;
(2)小车在AB段克服摩擦力做的功;
(3)末端平抛高台h1为多少时,能让小车落入沙坑的水平位移最大?最大值是多少?
答案 (1)60 N (2)6 J (3)1 m 4 m
解析 (1)由于小车恰好经过最高点C,即mg=
根据动能定理可得-2mgR=mvC2-mvB2
在B点,由牛顿第二定律得FN-mg=m,
联立解得FN=60 N,
由牛顿第三定律得,在B点小车对轨道的压力为60 N.
(2)根据动能定理:Pt+Wf=mvB2,解得Wf=-6 J,即小车在AB段克服摩擦力做的功为6 J.
(3)根据动能定理:-mgh1=mvE2-mvB2,
飞出后,小车做平抛运动,所以h1+h2=gt2
水平位移x=vEt,化简得x= ,
即x= m= m,
当h1=1 m时,水平距离有最大值,最大值为4 m.