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- 2021-06-02 发布
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竖直面内的圆周运动
一 夯实基础
1.(2019·广东省佛山一中高一下学期检测)秋千的吊绳有些磨损,在摆动过程中,吊绳最容易断裂的时候是秋千( )
A.在下摆过程中 B.在上摆过程中
C.摆到最高点时 D.摆到最低点时
2.如图所示,某公园里的过山车驶过轨道的最高点时,乘客在座椅里面头朝下,人体颠倒,若轨道半径为R,人体受重力为mg,要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力,则过山车在最高点时的速度大小为( )
A.0 B.
C. D.
3.(多选)如图所示,长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球,另一端有固定轴O,杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦转动,已知小球通过最高点P时,速度的大小为vP=,已知小球通过最低点Q时,速度的大小为vQ=,则小球的运动情况为( )
A.小球到达圆周轨道的最高点P时受到轻杆向上的弹力
B.小球到达圆周轨道的最低点Q时受到轻杆向上的弹力
C.小球到达圆周轨道的最高点P时不受轻杆的作用力
D.若小球到达圆周轨道的最高点P速度增大,则在P点受到轻杆向下的弹力增大
4.(2019·江苏扬州)如图所示,杂技演员在表演“水流星”,用长为1.6 m轻绳的一端,系一个总质量为0.5 kg的盛水容器,以绳的另一端为圆心,在竖直平面内做圆周运动,若“水流星”通过最高点的速度为4 m/s,g取10 m/s2,则下列说法正确的是( )
A.“水流星”通过最高点时,有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时,绳的张力及容器的底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时处于完全失重状态,不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时,绳子的拉力大小为5 N
5.(2019·福建福州)半径为R的光滑半圆球固定在水平面上,顶部有一个小物体m
,如图所示,今给它一个水平的初速度v0=,则物体将( )
A.沿球面下滑至M点 B.先沿球面至某点N,再离开球面做斜下抛运动
C.按半径大于R的新的圆弧轨道运动 D.立即离开半球做平抛运动
6.某飞行员的质量为m,驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动,圆的半径为R,在圆周的最高点和最低点比较,飞行员对坐椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于坐椅的表面)( )
A.mg B.2mg
C.mg+ D.2
7.长度为1 m的轻杆OA的A端有一质量为2 kg的小球,以O点为圆心,在竖直平面内做圆周运动,如图所示,小球通过最高点时的速度为3 m/s,g取10 m/s2,则此时小球将( )
A.受到18 N拉力 B.受到38 N的支持力
C.受到2 N的拉力 D.受到2 N的支持力
8.如图所示,长为L的轻杆一端固定一个质量为m的小球,另一端固定在水平转轴O上,杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动,角速度为ω.某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直,则此时杆与水平面的夹角θ满足( )
A.sin θ= B.tan θ=
C.sin θ= D.tan θ=
9.如图所示,长为L=0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动,A端连着一个质量m=2 kg的小球,g取10 m/s2.
(1)如果小球的速度为3 m/s,求在最低点时杆对小球的拉力为多大.
(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N,求杆旋转的角速度为多大.
10.长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动,A端连着一个质量m=2 kg的小球.求在下述的两种情况下,通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向.(g取10 m/s2)
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s;
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.
二 提升训练
1.(多选)(2019·山东青岛期末)如图所示,内壁光滑的大圆管,用一细轻杆固定在竖直平面内;在管内有一小球(可视为质点)做圆周运动.下列说法正确的是 ( )
A.小球通过最低点时,小球对圆管的压力向下
B.小球通过最高点时,小球对圆管可能无压力
C.细杆对圆管的作用力一定大于圆管的重力大小
D.细杆对圆管的作用力可能会大于圆管和小球的总重力大小
2.(2019·福建龙岩高三上学期期末)如图甲所示,轻绳一端固定在O点,另一端固定一小球(可看成质点),让小球在竖直平面内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v,测得相应的轻绳弹力大小F,得到Fv2图象如图乙所示,已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0,-b),斜率为k。不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是( )
A.该小球的质量为bg
B.小球运动的轨道半径为
C.图线与横轴的交点表示小球通过最高点时所受的合外力为零
D.当v2=a时,小球通过最高点时的向心加速度为g
3.如图所示,一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内,其中管道半径为R. 现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动,当小球通过最高点时速率为v0,则下列说法中正确的是( )
A.若v0=,则小球对管内壁无压力 B.若v0>,则小球对管内上壁有压力
C.若0 ,所以小球在P点受到的弹力向下,且随着vP增大,受到向下的弹力增大,A、C错误,D正确。在最低点Q点,由于重力向下,合力即向心力向上,故弹力一定向上,B正确。
4、【答案】B
【解析】 当水对桶底压力为零时,有mg=m,解得v==4 m/s,“水流星”通过最高点的速度为4 m/s,知水对桶底压力为零,不会从容器中流出.对水和桶分析,有T+Mg=M,解得T=0,知此时绳子的拉力为零,故A、D项错误,B项正确;“水流星”通过最高点时,仅受重力,处于完全失重状态,故C项错误.
5、【答案】D
【解析】小物体在半球面的顶点,若是能沿球面下滑,则它受到的半球面的弹力与重力的合力提供向心力,有mg-FN==mg,FN=0,这说明小物体与半球面之间无相互作用力,小物体只受到重力的作用,又有水平初速度,小物体将做平抛运动,D选项正确;即使小物体的初速度为0,在光滑曲面上的某点也将离开曲面,其高度我们在力的分解中已证明为h=R,A、B选项错误;离开曲面受恒力mg的作用,不可能做圆周运动,圆周运动的合外力为变力,C选项错误.
6、【答案】 B
【解析】 在最高点有:F1+mg=m,解得:F1=m-mg;在最低点有:F2-mg=m,解得:F2=mg+m.所以F2-F1=2mg,B正确.
7、【答案】 D
【解析】 设此时轻杆拉力大小为F,根据向心力公式有F+mg=m,代入数值可得F=-2 N,表示小球受到2 N的支持力,选项D正确.
8、【答案】 A
【解析】 对小球受力分析如图所示,
杆对球的作用力和小球重力的合力一定沿杆指向O,满足mgsin θ=mω2L,可得sin θ=,选项A正确.
9、【答案】 (1)56 N (2)4 rad/s
【解析】 (1)小球在最低点受力如图甲所示:
合力等于向心力:
FA-mg=m
解得:FA=56 N
(2)小球在最高点受力如图乙所示:
则:mg-FB=mω2L
解得:ω=4 rad/s.
10、【答案】(1)小球对杆的拉力为138 N,方向竖直向上(2)小球对杆的压力为10 N,方向竖直向下
【解析】小球在最高点的受力如图所示:
(1)杆的转速为2.0 r/s时,ω=2π·n=4π rad/s
由牛顿第二定律得F+mg=mLω2
故小球所受杆的作用力
F=mLω2-mg=2×(0.5×42×π2-10)N≈138 N
即杆对小球提供了138 N的拉力.
由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N,方向竖直向上.
(2)杆的转速为0.5 r/s时,ω′=2π·n=π rad/s
同理可得小球所受杆的作用力
F=mLω′2-mg=2×(0.5×π2-10)N≈-10 N.
力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反,故小球对杆的压力大小为10 N,方向竖直向下.
提升训练
1、【答案】ABD
【解析】小球通过最低点时,小球受到重力、圆管向上的支持力,合力指向圆心,根据牛顿第三定律,小球对圆管的压力向下,选项A正确;当小球通过最高点时,若速度为,圆管对小球的弹力为零,小球对圆管无压力,选项B正确;对圆管和球组成的整体为研究对象,当小球的向心加速度向上(或分量向上)时,细杆对圆管的作用力会大于圆管和小球的总重力大小;当小球的向心加速度向下(或分量向下)时,细杆对圆管的作用力小于圆管和小球的总重力大小,选项C错误,D正确.
2、【答案】B
【解析】 设小球运动的轨道半径为l,小球在最高点时受到拉力F和重力mg,根据牛顿第二定律可知F+mg=m,解得F=m-mg,结合图象可知:mg=b,即m=,斜率=k,解得:l==,A错误,B正确;图线与横轴的交点表示小球通过最高点时所受的拉力为零,所受的合外力等于重力,C错误;当v2=a时,F=b=mg,小球通过最高点时受到的合外力为2mg,向心加速度为2g,D错误。
3、【答案】 ABC
【解析】 在最高点,只有重力提供向心力时,由mg=m解得v0=,因此小球对管内壁无压力,选项A正确.若v0>,则有mg+FN=m,表明小球对管内上壁有压力,选项B正确.若0<v0<,则有mg-FN=m,表明小球对管内下壁有压力,选项C正确.综上分析,选项D错误.
4、【答案】 BC
【解析】 小球在最高点的速度最小可以为0,选项A错误;球在最高点的速度大于时,向心力大于mg,一定受到杆的拉力作用,选项B正确;当球在直径ab下方时,重力和轻杆弹力的合力提供向心力,小球一定受到杆的拉力,选项C正确;当球在直径ab上方时,可能受到杆的支持力或拉力或不受杆的作用力,选项D错误.
5、【答案】CD
【解析】由于轨道可以对球提供支持力,小球过最高点的速度最小值为0,A错误;当0≤v<时,小球受到的弹力为支持力,由牛顿第二定律得:mg-FN=m,故FN=mg-m,v越大,FN越小;当v>时,小球受到的弹力为外轨对它向下的压力,即FN+mg=m,v越大,FN越大,故B错误,C、D正确.
6、【答案】AC
【解析】绳子只能提供拉力作用,其方向不可能与重力相反,D错误;在最高点有mg+FT=m,拉力FT可以等于零,此时速度最小为vmin=,故B错误,A、C正确.
7、【答案】ACD
【解析】设管道的半径为R,小球的质量为m,小球通过最低点时速度大小为v1,根据牛顿第二定律:N-mg=m可知小球所受合力向上,则管道对小球的支持力向上,则小球对管道的压力向下,故A正确,B错误;最高点时速度大小为v2,根据牛顿第二定律:mg-N=m,当v2=时,N=0,说明管道对小球无压力;当v2>时,N<0,说明管道对小球的作用力向下,则小球对管道的压力向上,故C、D正确.所以A、C、D正确,B错误.
8、【答案】 CD
【解析】 小球在圆周最高点时,向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和,取决于小球的瞬时速度的大小,A错误;小球在圆周最高点时,如果向心力完全由重力充当,则绳子的拉力为零,B错误;小球刚好能在竖直面内做圆周运动,则在最高点,重力提供向心力,v=,C正确;小球在圆周最低点时,具有竖直向上的向心加速度,处于超重状态,拉力一定大于重力,故D正确。
9、 【答案】:6mg
【解析】:在B点,FB+mg=m
解之得FB=mg,
在A点,FA-mg=m
解之得FA=7mg,
所以在A、B两点轨道对车的压力大小相差6mg。
10、【答案】 (1) rad/s (2)1 500 N
【解析】 (1)当拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时,才能使打夯机底座刚好离开地面:
有:FT=Mg
对重锤有:mg+FT=mω2R
解得:ω= = rad/s
(2)在最低点,对重锤有:
FT′-mg=mω2R
则:FT′=Mg+2mg
对打夯机有:
FN=FT′+Mg=2(M+m)g=1 500 N
由牛顿第三定律得FN′=FN=1 500 N.