专题30 电磁感应中的动力学问题（精讲）-2019年高考物理双基突破（二） 9页

这类题型的特点一般是单棒或双棒在磁场中切割磁感线，产生感应电动势和感应电流。感应电流受安培力而影响导体棒的运动，构成了电磁感应的综合问题，它将电磁感应中的力和运动综合到一起，其难点是感应电流安培力的分析，且安培力常常是变力。这类问题能很好地提高学生的综合分析能力。‎ 一、电磁感应中的动力学问题分析 ‎1．安培力的大小：由感应电动势E＝BLv，感应电流和安培力公式F＝BIL得。‎ ‎2．安培力的方向判断：（1）先用右手定则确定感应电流方向，再用左手定则确定安培力方向。（2）根据楞次定律，安培力方向一定和导体切割磁感线的运动方向相反。‎ ‎3．导体两种状态及处理方法 ‎（1）导体的平衡态——静止状态或匀速直线运动状态。‎ 处理方法：根据平衡条件（合外力等于零）列式分析。‎ ‎（2）导体的非平衡态——加速度不为零。‎ 处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析。‎ ‎4．电磁感应中的动力学问题中两大研究对象及其关系 电磁感应中导体棒既可看作电学对象（因为它相当于电源），又可看作力学对象（因为感应电流产生安培力），而感应电流I和导体棒的速度v则是联系这两大对象的纽带： ‎ ‎ ‎ ‎5．电磁感应中动力学问题分析思路 解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是：‎ ‎“先电后力”，即：先做“源”的分析——分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E和r；再进行“路”的分析——‎ 分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相应部分的电流大小，以便求解安培力；然后是“力”的分析——分析研究对象（常是金属杆、导体线圈等）的受力情况，尤其注意其所受的安培力；最后进行“运动”状态的分析——根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型。‎ ‎ 【题1】如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨上端连接一个定值电阻。导体棒a和b放在导轨上，与导轨垂直并良好接触．斜面上水平虚线PQ以下区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场．现对a棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b棒恰好静止。当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力，此时b棒已滑离导轨。当a棒再次滑回到磁场上边界PQ处时，又恰能沿导轨匀速向下运动，已知a棒、b棒和定值电阻的阻值均为R，b棒的质量为m，重力加速度为g，导轨电阻不计。求：‎ ‎（1）a棒在磁场中沿导轨向上运动的过程中，a棒中的电流Ia与定值电阻R中的电流IR之比；‎ ‎（2）a棒的质量ma；‎ ‎（3）a棒在磁场中沿导轨向上运动时所受的拉力F.‎ ‎【答案】（1）21　（2）m　（3）mgsinθ ‎（2）a棒在PQ上方滑动过程中机械能守恒，设a棒在PQ处向上滑动的速度大小为v1，其与在PQ处向下滑动的速度大小v2相等，即v1＝v2＝v ④‎ 设磁场的磁感应强度为B，导体棒长为L，a棒在磁场中运动时产生的感应电动势为 ‎ （1）a棒在磁场中沿导轨向上运动时，设b棒中的电流为Ib，有IRR＝IbR ①‎ Ia＝IR＋Ib ②‎ 由①②解得＝ ③‎ ‎（2）a棒在PQ上方滑动过程中机械能守恒，设a棒在PQ处向上滑动的速度大小为v1，其与在PQ处向下滑动的速度大小v2相等，即v1＝v2＝v ④‎ 设磁场的磁感应强度为B，导体棒长为L，a棒在磁场中运动时产生的感应电动势为F＝Ia′LB＋magsinθ 联立以上各式解得F＝mgsinθ。 ‎ ‎【题4】如图，两根足够长的平行金属导轨间距l＝0.50 m，倾角θ＝53°，导轨上端串接电阻R＝0.05 Ω.在导轨间长d＝0.56 m的区域内，存在方向垂直导轨平面向下、磁感应强度B＝2.0 T的匀强磁场，质量m＝4.0 kg的金属棒CD水平置于导轨上，用轻质细绳跨过定滑轮与拉杆GH（GH杆的质量不计）相连。某同学用F＝80 N的恒力竖直向下拉动GH杆，使CD棒从图中初始位置由静止开始运动，刚进入磁场时速度为v＝2.4 m/s，当CD棒到达磁场上边界时该同学松手。g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，不计其它电阻和一切摩擦，求：‎ ‎（1）CD棒的初始位置与磁场区域下边界的距离s；‎ ‎（2）该同学松手后，CD棒能继续上升的最大高度h；‎ ‎（3）在拉升CD棒的过程中，该同学所做的功W和电阻R上产生的热量Q。‎ ‎【答案】（1）0.24 m（2）0.288 m（3）26.88 J ‎（2）刚进入磁场时产生的感应电动势为：E＝Blv＝2×0.5×2.4 V＝2.4 V 由闭合电路欧姆定律有：I＝＝ A＝48 A 又：F安＝BIl＝2×48×0.5 N＝48 N 因为：F＝mgsin θ＋F安＝40×0.8 N＋48 N＝80 N 所以CD棒在磁场中做匀速直线运动 离开磁场后，CD棒沿导轨向上做匀减速运动由v2＝2gxsin θ 代入数据解得：x＝0.36 m CD棒还能继续上升的最大高度为：h＝xsin θ＝0.288 m ‎（3）该同学所做的功为：W＝F（s＋d）‎ 代入数据解得：W＝64 J 由能量转化和守恒定律得：F（s＋d）＝mg[（s＋d）sin θ＋h]＋Q 代入数据解得：Q＝26.88 J ‎ ‎【题5】如图，MN、PQ为光滑平行的水平金属导轨，电阻R＝3.0 Ω，置于竖直向下的有界匀强磁场中，OO′为磁场边界，磁场磁感应强度B＝1.0 T，导轨间距L＝1.0 m，质量m＝1.0 kg的导体棒垂直置于导轨上且与导轨接触良好，导体棒接入电路的电阻为r＝1.0 Ω。t＝0时刻，导体棒在水平拉力作用下从OO′左侧某处由静止开始以加速度a0＝1.0 m/s2做匀加速运动，t0＝2.0 s时刻棒进入磁场继续运动，导体棒始终与导轨垂直。‎ ‎（1）求0～t0时间内棒受到拉力的大小F及t0时刻进入磁场时回路的电功率P0。‎ ‎（2）求导体棒t0时刻进入磁场瞬间的加速度a；若此后棒在磁场中以加速度a做匀加速运动至t1＝4 s时刻，求t0～t1时间内通过电阻R的电荷量q。‎ ‎（3）在（2）情况下，已知t0～t1时间内拉力做功W＝5.7 J，求此过程中回路中产生的焦耳热Q。‎ ‎【答案】（1）1.0 W（2）1.25 C（3）3.2 J ‎（2）回路在t0时刻产生的感应电流I＝＝0.5 A 棒在t0时刻受到的安培力F安＝BIL＝0.5 N 根据牛顿第二定律有F－F安＝ma 代入数据解得a＝0.5 m/s2‎ t0～t1时间内位移x＝v0（t1－t0）＋a·（t1－t0）2＝5 m 流过电阻R的电荷量q＝·Δt＝＝＝1.25 C ‎（3）t1时刻棒的速度v＝v0＋a（t1－t0）‎ 由动能定理有W＋W安＝mv2－mv02‎ Q ＝－ W安 代入数据解得Q＝3.2 J。‎ ‎【题6】水平面（纸面）内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求 ‎（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；‎ ‎（2）电阻的阻值。‎ ‎【答案】（1）Blt0（2） ‎（2）设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据欧姆定律I＝ ⑤‎ 式中R为电阻的阻值。‎ ‎ 金属杆所受的安培力为F安＝BlI ⑥‎ 因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得F－μmg－F安＝0 ⑦‎ 联立④⑤⑥⑦式得R＝。‎ 考法2　双杆模型 ‎1．模型分类：“双杆”模型分为两类：一类是“一动一静”，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件：甲杆静止，受力平衡。另一种情况是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减。‎ ‎2．分析方法：通过受力分析，确定运动状态，一般会有收尾状态。对于收尾状态则有恒定的速度或者加速度等，再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解。‎ ‎3．两类双杆模型对比 类型 模型 运动图像 运动过程 分析方法 不受 外力 杆MN做变减速运动，杆PQ 将两杆视为整体，‎ 不受外力，最后a＝0‎ 做变加速运动；稳定时，两杆以相等的速度匀速运动 受到 恒力 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 将两杆视为整体，只受 外力F，最后a＝ ‎【题7】（1）如图，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计，导轨间的距离为l，两根质量均为m、电阻均为R的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直。在t＝0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小恒为F的力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动，试分析金属杆甲、乙的收尾运动情况。‎ ‎（2）如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨上横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度。若两导体棒在运动中始终不接触，试定性分析两棒的收尾运动情况。‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 感应电流为I＝②‎ 对甲和乙分别由牛顿第二定律得F－F1＝ma1，F1＝ma2③‎ 当v1－v2＝定值（非零），即系统以恒定的加速度运动时a1＝a2④‎ 解得a1＝a2＝⑤‎ 可见甲、乙两金属杆最终水平向右做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。‎ ‎（2）导体棒ab运动，回路中有感应电流→分析两导体棒的受力情况→分析导体棒的运动情况即可得出结论。‎ ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，回路中产生感应电流。ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用做减速运动，cd棒则在安培力作用下做加速运动，在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路中总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速。两棒达到相同速度后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v水平向右做匀速运动。‎ 考法3　含电容器问题　‎ 这类题目易出现的错误是忽视电容器充电电流，漏掉导体棒所受的安培力，影响加速度的计算和导体棒运动情况的判断。‎ ‎【题8】如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：‎ ‎（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；‎ ‎（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。‎ ‎【答案】（1）Q＝CBLv（2）gt ‎（2）设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i。‎ 金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为F1＝BLi　⑤‎ 设在时间间隔（t，t＋Δt）内流经金属棒的电荷量为ΔQ，按定义有i＝　⑥ΔQ也是平行板电容器两极板在时间间隔（t，t＋Δt）内增加的电荷量。‎ 由④式得ΔQ＝CBLΔv　⑦式中，Δv为金属棒的速度变化量。‎ 按定义有a＝　⑧‎ 金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为F2＝μFN　⑨‎ 三、变化磁场类动力学问题 磁场变化类电磁感应问题的解题方法 ‎（1）用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，用楞次定律判断方向。‎ ‎（2）用闭合电路欧姆定律计算回路中电流。‎ ‎（3）分析计算感应电流所受安培力，研究导体受力情况和运动情况。‎ ‎（4）根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程。‎ ‎【题9】电磁弹射是我国最新研究的重大科技项目，原理可用下述模型说明。如图甲所示，虚线MN右侧存在一个竖直向上的匀强磁场，一边长为L的正方形单匝金属线框abcd放在光滑水平面上，电阻为R，质量为m，ab边在磁场外侧紧靠 MN虚线边界。t＝0时起磁感应强度B随时间t的变化规律是B＝B0＋kt（k为大于零的常数），空气阻力忽略不计。‎ ‎（1）求t＝0时刻，线框中感应电流的功率P；‎ ‎（2）若线框cd边穿出磁场时速率为v，求线框穿出磁场过程中，安培力对线框所做的功W及通过导线截面的电荷量q；‎ ‎（3）若用相同的金属线绕制相同大小的n匝线框，如图乙所示，在线框上加一质量为M的负载物，证明：载物线框匝数越多，t＝0时线框加速度越大。‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】（1）t＝0时刻线框中的感应电动势E0＝L2‎ 功率P＝ 解得P＝。‎