专题05 万有引力与航天-备战2021年高考物理之纠错笔记系列（原卷版） 24页

专题 05 万有引力与航天 易错综述 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 行星的近日点到太阳的距离 r1=a–c，行星的远日点到太阳的距离 r2=a+c，其中 a 为椭圆轨道的半长轴， c 为半焦距。 2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 由于轨道不是圆，故行星离太阳距离较近时速度较大（势能小而动能大），对近日点和远日点的线速 度大小有 v1r1=v2r2 3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 若轨道周期为 T，则有 3 2 a kT  ，比值 k 为对所有行星都相同（与太阳有关）的常量。 若轨道为圆，半径为 r，则有 3 2 r kT  ，结合万有引力定律可得 24π GMk  （G 为引力常量，M 为中心天 体质量） 二、开普勒行星运动定律的适用范围 开普勒行星运动定律不仅适用于太阳–行星系统，类似的绕中心天体转动的系统一般都适用，如地–月 系统、行星–卫星系统、恒星–彗星系统等。 三、在分析天体运动时易出现以下错误 1．对卫星的速度、角速度和周期随半径变化的情景存在模糊认识，相互推证时出现逻辑错误； 2．对万有引力提供向心力的方向认识不清，地球卫星的轨道平面必过地心，但卫星的轨道可以是绕赤 道的，也可以是绕两极的，还可以是一般的轨道平面； 3．不清楚卫星的速度、角速度周期和半径的关系，误认为同一天体的不同卫星在同一轨道高度上，个 物理量的大小与卫星质量有关。 四、对万有引力定律的应用易出现以下错误 1．易忽视万有引力的适用条件，盲目套用万有引力定律计算物体间的相互作用力； 2．当物体离地面的高度较大时，仍把重力加速度当作地球表面间的相互作用力； 3．常用星体半径与轨道半径、环绕天体质量与中心天体质量、地球附近的重力加速度和另一天体附近 的重力加速度混淆使用； 4．易错误地将地球卫星和地球上的物体混淆，都用万有引力提供向心力或万有引力等于重力解答，易 混淆地球卫星的加速度和地球自转的加速度。 五、公转与自转易错提醒 地球赤道上的物体随地球自转时，受到来个力的作用，一个是是地球的万有引力，另一个是地面的支 持力。这两个力的合力提供物体做圆周运动的向心力（在赤道上，地球的万有引力绝大部分用来提供重力）； 地球的卫星只受到万有引力一个力，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力。 六、卫星变轨中物理量的关系 卫星速度增大后会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能 量守恒，稳定时需满足 2 2 Mm vG mr r  ，致使卫星在较高轨道上的运行速度小于在较低轨道上的运行速度； 相反，卫星由于速度减小会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使 卫星在较低轨道上的运行速度大于在较高轨道上的运行速度。可见变轨时的速度与稳定运行的速度不同， 可以概括为： 1．速度增大导致的变轨，稳定后速度反而变小。 2．速度减小导致的变轨，稳定后速度反而增大。 七、双星与多星分析 1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相 同的匀速圆周运动的行星称为双星。 2．双星系统的条件： （1）两颗星彼此相距较近； （2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动； （3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。 3．双星系统的特点： （1）两星的角速度、周期相等； （2）两星的向心力大小相等； （3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即 r1+r2=L，轨道半径与行星的质量成反比。 4．双星问题的处理方法： 双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 2 21 2 1 1 2 22 m mG m r m rL    ，由此得出 （1）m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比； （2）由于ω= 2π T ，r1+r2=L，所以两恒星的质量之和 2 3 1 2 2 4π Lm m GT   。 5．多星问题与双星问题类似，只是在受力方面多了几个施力物体和受力物体。 八、天体质量和密度的计算 1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路 （1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 2 2 2 2 2π( )Mm mvG m r m r mar T r     。 （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 2R MmGmg  （g 表示天体表面的重 力加速度）。 （2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度： 2R MmGmg  ，所以 2R MGg  ； 在离地面高为 h 的轨道处重力加速度： 2)( hR MmGgm   ，得 2)( hR MGg   。 2．天体质量和密度的计算 （1）利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R 由于 2R MmGmg  ，故天体质量 G gRM 2  ； 天体密度： 3 4π M g V GR    ； （2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r ①由万有引力等于向心力，即 2 2 2πMmG m( ) rr T  ，得出中心天体质量 2 3 2 4π rM GT  ； ②若已知天体半径 R，则天体的平均密度 3 2 3 3πM r V GT R    ； ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 2 3πM V GT    。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。 3．估算天体问题应注意三点 （1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为 24 h，公转周期为 365 天等； （2）注意黄金代换式 GM=gR2 的应用； （3）注意密度公式 2 3 GT   的理解和应用。 九、三种宇宙速度与第一宇宙速度求解 宇宙速度 数值（km/s） 意义 第一宇宙速度 7.9 卫星的最小发射速度，若 7.9 km/s≤v＜11.2，物体绕地球运行 第二宇宙速度 11.2 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。若 11.2 km/s≤v＜16.7 km/ s 物体绕太阳运行 第三宇宙速度 16.7 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若 v≥16.7 km/s，物体将脱 离太阳系在宇宙空间运行 注意： （1）第一宇宙速度的推导有两种方法：①由 2 1 2 0 0 Mm vG mR R  得 1 0 GMv R  ；②由 2 1 0 vmg m R  得 1 0v gR 。 （2）第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是 M、R0、g 必须与之相对应，不 能套用地球的参数。 易错展示 易错点一 开普勒三定律区别 典例分析 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，由开普勒行星运动定律可知 A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．木星和火星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．木星与火星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 分不清开普勒三定律的区别，误用定律导致误解。 太阳位于木星运行轨道的焦点位置，A 错误；根据开普勒第二定律可知，木星和火星绕太阳 运行速度的大小不是始终相等，离太阳较近时速度较大，较远时速度较小，B 错误；根据开普勒第三定律可 知，木星与火星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，C 正确；根据开普勒第二定律可知， 相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积相等，木星与太阳连线扫过的面积也相等，但是火星与太阳连线 扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积，D 错误。答案：C。 即时巩固 1．（2018·河南省洛阳市高一下学期期末）2018 年 5 月 21 日 5 点 28 分，在我国西昌卫星发射中心，长征 四号丙运载火箭将嫦娥四号中继星“鹊桥”卫星，送入近地点约 200 公里、远地点约 40 万公里的地月转移 轨道。已知地球同步卫星的轨道半径为 4.2 万公里，忽略稀薄空气阻力的影响，则“鹊桥”卫星在地月转 移轨道上运行时，下列判断正确的是 A．运动周期大于 10 天 B．运动周期小于 10 天 C．近地点的速度比远地点的大 D．近地点的机械能比远地点的大 2．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳之 间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学家称为“行星冲日”，据报道，2014 年各行星冲日时间分别 是：1 月 6 日木星冲日；4 月 9 日火星冲日；6 月 11 日土星冲日；8 月 29 日海王星冲日；10 月 8 日天王 星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径（AU） 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．各地外行星每年都会出现冲日现象 B．在 2015 年内一定会出现木星冲日 C．天王星相邻两次的冲日的时间间隔为土星的一半 D．地外行星中海王星相邻两次冲日间隔时间最短 3．（2018·云南省保山隆阳区一中高一下学期期中）如图所示，两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆 周运动，地球半径为 R，a 卫星离地面的高度为 R，b 卫星离地面的高度为 3R，则 a，b 两卫星周期之比 多大？若某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，a 卫星至少经过多少个周期两卫星相距最 远？ 易错点二 卫星运功中的各物理量关系 典例分析 有 a、b、c、d 四颗地球卫星，a 在地球赤道上未发射，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同 步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有 A．a 的向心加速度等于重力加速度 g B．c 在 4 h 内转过的圆心角是π/6 C．b 在相同时间内转过的弧长最长 D．d 的运动周期有可能是 20 h 没有熟记卫星运动中个物理量关系的公式，又或者是读题不清，导致最后用错误的方法解题。 对于卫星 a，根据万有引力定律、牛顿第二定律列式可得 2 GMm N mar   向 ，又知道 2 GMm mgr  ，故 a 的向心加速度小于重力加速度 g，A 项错误；由 c 是地球同步卫星，可知卫星 c 在 4 h 内转过的圆心角是 π 3 ，B 项错误；由 2 2 GMm vmr r  得， GMv r  ，故轨道半径越大，线速度越小，故卫 星 b 的线速度大于卫星 c 的线速度，卫星 c 的线速度大于卫星 d 的线速度，而卫星 a 与同步卫星 c 的周期相 同，故卫星 c 的线速度大于卫星 a 的线速度，C 项正确；由 2 2π( )MmG m rr T  得， 3 2π rT GM  ，轨道半 径 r 越大，周期越长，故卫星 d 的周期大于同步卫星 c 的周期，D 项错误。答案：C。 即时巩固 1．（2018·河北省唐山市高一下学期期末）2017 年 10 月 24 日，在地球观测组织全会期间举办的“中国日” 活动上，我国正式向国际社会免费开放共享我国气象卫星“风云四号”和二氧化碳监测卫星“碳卫星”的数 据，“碳卫星”的圆轨道距地球表面 700 km，“风云四号”的圆轨道距地球表面 36 000 km，有关这两颗卫 星的说法正确的是 A．风云四号卫星的向心加速度大于碳卫星的向心加速度 B．风云四号卫星的线速度小于碳卫星的线速度 C．风云四号卫星的周期小于碳卫星的周期 D．风云四号卫星的角速度小于碳卫星的角速度 2．图中的甲是地球赤道上的一个物体，乙是“神舟十号”宇宙飞船（周期约 90 min），丙是地球的同步卫星， 它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动。下列说法正确的是 A．它们运行的向心加速度大小关系是 a 乙>a 丙>a 甲 B．它们运行的线速度大小关系是 v 乙aB>aC C．质量大小关系是 mA>mB>mC D．所受万有引力合力的大小关系是 FA>FB>FC 10．（2018·河北省邢台市高一下学期期末）如图所示，银河系中有两黑洞 、 ，它们以两者连线上的 点 为圆心做匀速圆周运动，测得黑洞 、 到 点的距离分别为 和 。黑洞 和黑洞 均可看成质量分布均 匀的球体，不考虑其他星体对黑洞的引力，两黑洞的半径均远小于他们之间的距离。下列说法正确的 是 A．黑洞 、 的质量之比为 B．黑洞 、 的线速度之比为 C．黑洞 、 的周期之比为 D．若从地球向黑洞 发射一颗探测卫星，其发射速度一定要小于 11．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体） 表面附近圆形轨道运行的周期为 T，已知引力常量 G，半径为 R 的球体体积公式 34 π3V R ，则可估算 月球的 A．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期 12．（2018·安徽省宣城市高二下学期期末）如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中 的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是 A．太阳对小行星带中各小行星的引力相同 B．同一小行星可在一年内与地球两次相距最近 C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于小行星带外侧小行星的向心加速度值 D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 13．2016 年 10 月 19 日凌晨，“天宫二号”和“神舟十一号”在离地高度为 393 千米的太空相约，两个比子弹 速度还要快 8 倍的空中飞行器安全无误差地对接在一起，假设“天宫二号”与“神舟十一号”对接后绕地球 做匀速圆周运动，已知同步轨道离地高度约为 36 000 千米，则下列说法中正确的是 A．为实现对接，“神舟十一号”应在离地高度低于 393 千米的轨道上加速，逐渐靠近“天宫二号” B．“比子弹快 8 倍的速度”大于 7.9×103 m/s C．对接后运行的周期小于 24 h D．对接后运行的加速度因质量变大而变小 14．（2018·广东省惠州市第一中学高三上学期期末）2013 年 12 月 2 日，嫦娥三号探测器顺利发射。嫦娥 三号要求一次性进入近地点 210 公里、远地点约 36.8 万公里的地月转移轨道。12 月 10 日晚上九点二 十分，在太空飞行了九天的“嫦娥三号”飞船，再次成功变轨，从距离月表 100 km 的环月圆轨道Ⅰ，变 为近月点 15 km、远月点 100 km 的椭圆轨道Ⅱ，两轨道相切于点 P，如图所示。若绕月运行时只考虑 月球引力作用，关于“嫦娥三号”飞船，以下说法正确的是 A．在轨道Ⅰ上运动的速度小于在轨道Ⅱ上近月点的速度 B．沿轨道 I 运行至 P 点的速度等于沿轨道 II 运行至 P 点的速度 C．沿轨道 I 运行至 P 点的加速度小于沿轨道 II 运行至 P 点的加速度 D．在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上的机械能大 15．宇宙飞船绕地心做半径为 r 的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为 m 的人站在可称体重的台秤上，用 R 表示地球的半径，g 表示地球表面处的重力加速度，g0 表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N 表示 人对秤的压力，则关于 g0、N 下面正确的是 A． 0 Ng m  B． 2 0 2 R gg r  C． RN mgg  D．N=0 16．2016 年 9 月 15 日，中国成功发射天宫二号空间实验室，对其轨道进行控制、调整到距离地面高 h=393 km 处与随后发射的神舟十一号飞船成功对接，景海鹏和陈冬雨两名航天员进驻天宫二号。已知地球 半径为 R，地球表面重力加速度为 g，当天宫二号在预定轨道正常运行时，下列描述正确的是 A．宇航员在天宫二号内可用天平测物体的质量 B．天宫二号运动周期大于 24 h C．天宫二号线速度大小为  g R h D．天宫二号如果要变轨到高轨道则需要加速 17．如图所示，A、B 两卫星绕地球运行，运动方向相同，此时两卫星距离最近，其中 A 是地球同步卫星， 轨道半径为 r。地球可看成质量均匀分布的球体，其半径为 R，自转周期为 T。若经过时间 t 后，A、B 第一次相距最远，下列说法正确的有 A．卫星 B 的周期为 Tt T t B．卫星 B 的周期为 2Tt T t C．在地球两极，地表重力加速度 2 3 2 2 4π rg T R  D．由题目条件可以求出卫星 B 的轨道半径 18．（2018·福建省永春县第一中学高一下学期期末）一名宇航员到达半径为 R、密度均匀的某星球表面， 做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为 m 的小球，上端固定在 O 点，如图甲所示，在最低点给 小球某一初速度，使其绕 O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小 F 随时间 t 的变化规律如图 乙所示。F1、F2 已知，引力常量为 G，忽略各种阻力。求： （1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度。 纠错心得