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- 2021-06-02 发布
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解题规范与评分细则
1．若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．
解析：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x>0)．
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增，
又f(0)＝1，∴ f(x)在(0，＋∞)上无零点．
②当a>0时，由f′(x)>0解得x>，
由f′(x)<0解得0，则当x∈时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在x＝2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0,2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0，
所以f′(x)>0.
所以2不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是.
3．已知函数f(x)＝.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；
(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.
解析：(1)解：由题意得解得a＝，b＝1.
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)解：设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|AB|＝
＝
＝
＝ .
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.
(3)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得x1＋3y1＝3，x2＋3y2＝3.
直线PA的方程为y＝(x＋2)．
由得
[(x1＋2)2＋3y1]x2＋12y1x＋12y1－3(x1＋2)2＝0.
设C(xC，yC)，
14
所以xC＋x1＝＝.
所以xC＝－x1＝.
所以yC＝(xC＋2)＝.
设D(xD，yD)，
同理得xD＝，yD＝.
记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，
则kCQ－kDQ＝－
＝4(y1－y2－x1＋x2)．
因为C，D，Q三点共线，
所以kCQ－kDQ＝0.
故y1－y2＝x1－x2.
所以直线l的斜率k＝＝1.
10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1,0)，点B在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝k(x－4)(k≠0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程．
解析：(1)由F2(1,0)，知c＝1，由题意得所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为y＝k(x－4)，所以直线l过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点G在直线x＝x0上．
当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，)，
所以直线l的斜率k＝－，由得或所以N，
由(1)知A1(－2,0)，A2(2,0)，
所以直线lA1M的方程为y＝(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝－(x－2)，所以G，所以G在直线x＝1上．
当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由
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得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
所以Δ＝(－32k2)2－4×(3＋4k2)·(64k2－12)＞0，得－＜k＜，
x1＋x2＝，x1·x2＝，
易得直线lA1M的方程为y＝(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝(x－2)，当x＝1时，＝得2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝0，
所以－＋＝0显然成立，所以G在直线x＝1上．
11．已知平面直角坐标系内两定点A(－2，0)，B(2，0)及动点C(x，y)，△ABC的两边AC，BC所在直线的斜率之积为－.
(1)求动点C的轨迹E的方程；
(2)设P是y轴上的一点，若(1)中轨迹E上存在两点M，N使得＝2，求以AP为直径的圆的面积的取值范围．
解析：(1)由已知，kAC·kBC＝－，即·＝－，
所以3x2＋4y2＝24，又三点构成三角形，所以y≠0，
所以点C的轨迹E的方程为＋＝1(y≠0)．
(2)设点P的坐标为(0，t)
当直线MN的斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t＝±.
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则由＝2得x1＝－2x2. ①
联立得得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，
当Δ＞0得64k2t2－4(3＋4k2)(4t2－24)＞0，整理得t2＜8k2＋6.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝， ②
由①②，消去x1，x2得k2＝.
则解得＜t2＜6.
不妨取M(－2，0)，可求得N，此时t＝±，由(1)知y≠0，故t2≠2.
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综上，≤t2＜2或2＜t2＜6.
又以AP为直径的圆的面积S＝π·，
所以S的取值范围是∪.
12．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解析：(1)解：由角α的终边过点P，
得sin α＝－.
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)解：由角α的终边过点P，
得cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，
得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
13．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解析：(1)解：因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－.
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14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB＝asinA＋(c－a)sinC.
(1)求B；
(2)若3sinC＝2sinA，且△ABC的面积为6，求b.
解析：(1)由bsinB＝asinA＋(c－a)sinC及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理，得cosB＝＝＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由(1)得B＝，
所以△ABC的面积为acsinB＝ac＝6，得ac＝24.
由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a，
所以a＝6，c＝4.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28，
所以b＝2.
15．已知函数f(x)＝1＋2sincos－2cos2，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)求f(A)的取值范围；
(2)若A为锐角且f(A)＝，2sinA＝sinB＋sinC，△ABC的面积为，求b的值．
解析：(1)f(x)＝sinx－cosx＝2sin，
∴f(A)＝2sin，
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由题意知，0
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