突破2 追及与相遇问题-2019高三物理一轮微专题系列之热点专题突破 10页

突破 2 追及相遇问题 一、追及和相遇问题的概述 1. 当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的 距离会不断发生变化，这时就会涉及追及、相遇或避免相碰等问题。 2. 追及与相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系，只要满足两个物体在同一时间 到达同一地点，即说明两个物体相遇。 二、追及相遇问题中的一个条件和两个关系 1. 一个条件：二者速度相等。它往往是能否追上或距离最大、最小的临界条件，也是 分析判断的切入点。 2. 两个关系：即时间关系和位移关系。可通过画草图找出两物体的位移关系，也是解 题的突破口。 三、追及相遇问题常见的情况 常见情形：物体 A 追物体 B，开始二者相距 x0，则 1. A 追上 B 时，必有 xA－xB＝x0，且 vA≥vB。 2. 要使两物体恰不相撞，必有 xA－xB＝x0，且 vA≤vB。 易错警示 若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动。 四、两点解题技巧 五、主要方法 ①临界条件法 ②图象法 ③数学法 【典例 1】 一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以 a＝3 m/s2 的加速度开始 行驶，恰在这时一人骑自行车以 v0＝6 m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问： (1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多 大？ (2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？ 【答案】 (1)2 s 6 m (2)12 m/s 【解析】 方法一 用临界条件求解 (1)当汽车的速度为 v＝6 m/s 时，二者相距最远，所用时间为 t＝ va＝2 s 最远距离为Δx＝v0t－ 12at2＝6 m. (2)两车距离最近时有 v0t′＝ 12at′2 解得 t′＝4 s 汽车的速度为 v＝at′＝12 m/s. 方法二 用图象法求解 (1)汽车和自行车的 v t 图象如图所示，由图象可得 t＝2 s 时，二者相距最远．最远距离 等于图中阴影部 最大值Δxm＝v0t－ 12at2＝6×2 m－ 12×3×22m＝6 m. (2)当Δx＝v0t－ 12at2＝0 时相遇 得 t＝4 s，汽车的速度为 v＝at＝12 m/s. 【典例 2】在同一条平直公路上行驶的 a 车和 b 车，其速度-时间图像分别为图中直线 a 和曲线 b，由图可知（ ） A．a 车与 b 车一定相遇两次 B．在 t2 时刻 b 车的运动方向发生改变 C．t1 到 t2 时间内某时刻两车的加速度可能相同 D．t1 到 t2 时间内 b 车会追上并超越 a 车 【答案】C 【跟踪短训】 1.入冬以来，全国多地多次发生雾霾天气，能见度不足 100 m。在这样的恶劣天气中， 甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前，甲在后同向行驶。某时刻两车司机同时听到 前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，结果两辆车发生了碰撞。如图所示为两辆车刹 车后若恰好不相撞的 v－t 图象，由此可知( ) A.两辆车刹车时相距的距离一定等于 112.5 m B.两辆车刹车时相距的距离一定小于 90 m C.两辆车一定是在刹车后的 20 s 之内的某时刻发生相撞的 D.两辆车一定是在刹车后的 20 s 以后的某时刻发生相撞的 【答案】 C 【解析】 v－t 图象给定了两车的初速度和加速度，不确定值是刹车前两车间距离。由 两车的 v－t 图象可知，两车不相撞的最小距离Δxmin＝ 5＋152 ×20 m＝100 m，即当Δx<100 m 时两车必相撞，选项 A、B 均错误；两车相撞一定发生在甲车速度大于乙车速度时，即 t＝ 20 s 之前，选项 C 正确，D 错误。 2. 甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的 v－t 图象如 图所示。下列判断正确的是( ) A.乙车启动时，甲车在其前方 50 m 处 B.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为 75 m C.乙车启动 10 s 后正好追上甲车 D.乙车超过甲车后，两车不会再相遇 【答案】 ABD 【解析】 根据速度图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在 t＝10 s 时启动，此时 甲的位移为 x＝ 12×10×10 m＝50 m，即甲车在乙前方 50 m 处，故选项 A 正确；当两车的速 度相等时相距最远，最大距离为：smax＝ 12×(5＋15)×10 m－ 12×10×5 m＝75 m，故选项 B 正确； 由于两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，当位移相等时两车才相遇，由图可知，乙车启 动 10 s 后位移小于甲的位移，还没有追上甲，故选项 C 错误；乙车超过甲车后，由于乙的 速度大，所以不可能再相遇，故选项 D 正确。 3. 汽车 A 以 vA＝4 m/s 的速度向右做匀速直线运动，在其前方相距 x0＝7 m 处以 vB＝10 m/s 的速度同向运动的汽车 B 正开始刹车做匀减速直线运动，加速度大小 a＝2 m/s2。从此 刻开始计时。求： (1)A 追上 B 前，A、B 间的最远距离是多少？ (2)经过多长时间 A 才能追上 B? 【答案】 (1)16 m (2)8 s 运动的位移 xB′＝ 2BB＝25 m 汽车 A 在 t1 时间内运动的位移 xA′＝vAt1＝20 m 此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m 汽车 A 需再运动的时间 t2＝ ΔxvA＝3 s 故 A 追上 B 所用时间 t＝t1＋t2＝8 s 课后作业 1. 某时刻，两车从同一地点、沿同一方向做直线运动，下列关于两车的位移 x、速度 v 随时间 t 变化的图象中，能反映 t1 时刻两车相遇的是( ) 【答案】 BD 2. A、B 两车在同一直线上，同向做匀速运动，A 在前，速度为 vA＝8 m/s，B 在后，速 度为 vB＝16 m/s，当 A、B 两车相距 x＝20 m 时，B 车开始刹车做匀减速运动，为避免两车 相撞，刹车后 B 车的加速度至少应为多大？ 【答案】 1.6 m/s2 【解析】 如图所示， 3. 某物理小组进行如下实验：如图(a)所示，在光滑的水平轨道上停放相距 x0＝10 m 的 甲、乙两车，其中乙车是风力驱动车．在弹射装置使甲车获得 v0＝40 m/s 的瞬时速度向乙 车运动的同时，乙车的风洞开始工作，将风吹向固定在甲车上的挡风板，从而使乙车获得了 速度，测绘装置得到了甲、乙两车的 vt 图像如图(b)所示，设两车始终未相撞． (1) 若甲车的质量与其加速度大小的乘积等于乙车的质量与其加速度大小的乘积，求 甲、乙两车的质量比； (2) 求两车相距最近时的距离。 【答案】(1)1∶3 (2)4.0 m 【解析】(1)由图像可知，a 甲＝40－10 t1 m/s2 a 乙＝10－0 t1 m/s2 车的位移等于 vt 图线与坐标轴所围面积，有 x 甲＝ （40＋10）t1 2 m＝7.5 m x 乙＝10t1 2 m＝1.5 m 两车相距最近时的距离为 xmin＝x0＋x 乙－x 甲＝4.0 m. 4. 随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显，分析交通违法事例，将警示我们 遵守交通法规，珍惜生命。如图所示为某型号货车紧急制动时(假设做匀减速直线运动)的 v2 －x 图象(v 为货车的速度，x 为制动距离)，其中图线 1 为满载时符合安全要求的制动图象， 图线 2 为严重超载时的制动图象。某路段限速 72 km/h，是根据该型号货车满载时安全制动 时间和制动距离确定的，现有一辆该型号的货车严重超载并以 54 km/h 的速度行驶。通过计 算求解： (1)驾驶员紧急制动时，该型号严重超载的货车制动时间和制动距离是否符合安全要 求； (2)若驾驶员从发现险情到采取紧急制动措施的反应时间为 1 s，则该型号货车满载时以 72 km/h 速度正常行驶的跟车距离至少应为多远？ 【答案】 (1)不符合 (2)60 m 【解析】 (1)根据速度位移公式 v2－v 20＝2ax，有 v2＝2ax＋v 20，图线斜率的一半表示加 速度；根据题图象得到：满载时，加速度大小为 a1＝5 m/s2，严重超载时加速度大小为 a2＝ 2.5 m/s2；设该型号货车满载时以 72 km/h(20 m/s)的速度减速，制动距离 x1＝ 200＝ 4002×5 m＝ 40 m，制动时间为 t1＝ v0a1＝ 205 s＝4 s； 设该型号货车严重超载时以 54 km/h(15 m/s)的速度减速，制动距离 x2＝ v0′22a2＝ 1522×2.5 m＝45 m>x1，制动时间为 t2＝ v0′a2＝ 152.5 s＝6 s>t1；所以驾驶员紧急制动时，该型号严重超 载的货车制动时间和制动距离均不符合安全要求。 (2)货车在反应时间内做匀速直线运动 x3＝v0t3＝20×1 m＝20 m，跟车距离 x＝ 200＋x3＝ 40 m＋20 m＝60 m。 5. 甲、乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶，甲车的速度为 v1＝16 m/s，乙车的速度 为 v2＝12 m/s，乙车在甲车的前面。当两车相距 L＝6 m 时，两车同时开始刹车，从此时开 始计时，甲车以 a1＝2 m/s2 的加速度刹车，6 s 后立即改做匀速运动，乙车刹车的加速度为 a2＝1 m/s2。求： (1)从两车刹车开始计时，甲车第一次追上乙车的时间； (2)两车相遇的次数； (3)两车速度相等的时间。 【答案】 (1)2 s (2)3 次 (3)4 s 和 8 s 解得Δt＝4 s 此时乙仍在做减速运动，此解成立 综合以上分析知，甲、乙两车共相遇 3 次。 (3)第一次速度相等的时间为 t3，有 v1－a1t3＝v2－a2t3 解得 t3＝4 s 甲车匀速运动的速度为 4 m/s，第二次速度相等的时间为 t4，有 v1′＝v2－a2t4 解得 t4＝8 s