湖北省光谷第二高级中学高三物理 难点1 打通追及相遇问题的绿色通道（通用） 7页

难点1 打通追及相遇问题的绿色通道 ‎ 追及相遇问题是运动学中两个运动对象的相对运动问题，因运动的对象有两个，且相遇的位置和追及过程中所需的时间的不确定性，导致问题变得复杂化。高考计算题中经常出现追及相遇问题，例如2020年全国新课程卷的第一个计算题就是典型的追及相遇问题。问题中往往涉及到相遇的时间及位移，两者的距离极值等问题。实际上追及相遇问题的两大典型运动情景：①两个均做匀变速直线运动；②一个做匀变速直线运动，另一个做匀速直线运动。解决此类问题时要分析两个运动的特点，解题的方法上主要有两种基本思想：如果运用物理方法解决，务必要抓住两者速度相同时的这个关键时刻；如果运用数学方法来解决，需要建立两个对象的位移关系方程，通过解含有时间的一元二次方程，并对方程的根的理解确定符合条件的时间。‎ 下面分别对两类运动情景的典型例题来尝试用不同方法解决追及相遇问题，并从这些方法中找到一条解决问题的绿色通道。‎ 典型运动情境之一：两个均做匀变速直线运动 ‎【调研1】甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8m/s，乙车在后，速度为v2＝16m/s，当两车相距s0＝8m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？‎ 方法一：用运动学公式法来求解 两车速度相同均为v时，设所用时间为t，乙车的加速度为a2，则 v1－a1t＝v2－a2t t＝t－s0‎ 解得t＝2s，a乙＝6m/s2‎ 即t＝2s时刻，两车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞。满足题意的条件为乙车的加速度至少为6m/s2。‎ 方法二：用速度时间图象法来求解 v/m·s-1‎ t/s O ‎16‎ ‎8‎ t 如图所示，当速度相同时，阴影面积△s 表示两者位移之差，若△s≤s0，则不会相撞，由几何关系可得△s＝＝s0，解得t＝2s，再由v1－a1t＝v2－a2t，解得a2＝6m/s2，故乙车的加速度大于6m/s2才能避免两车相撞。‎ 方法三：建立数学函数方程来求解 甲运动的位移s甲＝v1t－a1t2，s乙＝v2t－a2t2，避免相撞的条件为：s乙－s甲＜s0，即(a2－a1)t2＋ (v1－v2)t＋s0＞0，代入数据有： (a2－2)t2－16t＋16＞0，不等式成立的条件是：△＝162－4×16(a2－2)＜0，故a2＞6m/s2。‎ 方法四：巧妙运用相对运动来求解 两者的相对速度为△v＝v1－v2＝－8m/s，相对位移△s＝s0＝8m，设相对加速度为△a＝a2－a1，经过时间t相遇，依题意有：△s＞△vt＋△at2， △at2－8t－8＜0，只要满足△＝82－4×8×△a＜0，故△a＞4m/s2，a2＞6m/s2满足题意。‎ ‎【方法技巧】‎ ‎（1）审题与建立方程的绿色通道：“抓住一个条件，两个关系”。一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件。‎ ‎（2）架设数学与物理的绿色通道：“速度时间图象工具的物理意义”。v－t图象作为数学工具，实际上包含了物理运动学中的所有量。可以直观反映运动情况。比如速度的大小看纵坐标的绝对值，速度的方向看横轴的上与下；加速度的大小看图线的斜率绝对值，加速度的方向看图线的切线的倾斜方向；位移的大小看图线与坐标轴围成的面积，位移的方向看所围成面积是横轴上还是下；多个图线的交点即速度相同处，解题时尽量将物理情景通过速度时间图象直观反映出来。‎ ‎（3）运用公式法和图象法的绿色通道：采用物理的图象方法，关键点在于两者速度相同时的临界分析，我们可称作 ‎“过了这个村就没这个店了”，即两者在速度相同时还未相遇，该处相交后必定出现速度的大小关系变化。例如速度相同时若还未追上，以后就不可能追上了。‎ ‎【调研2】如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车分别停在A、B两处，AB＝85m，现甲车开始以a1=‎2.5m/s2的加速度向右做匀加速直线运动，当甲车运动t0＝6s时，乙车开始以a2＝‎5m/s2的加速度向右做匀加速直线运动，求两车相遇处到A处的距离。‎ 乙车 甲车 N M B A ‎【解析】甲车运动t0＝6s的位移为s0＝a1t02＝45m＜85m，尚未追上乙车。‎ 设此后用时间t与乙车相遇，则a1(t0＋t)2＝a2t2＋AB 代入数据并整理得t2－12t＋32＝0‎ 解得 t1＝4s t2＝8s ‎（1）当t1＝4s时，甲车追上乙车，第一次相遇处到A的距离为s1＝a1(t0＋t)2＝125m ‎（2）当t2＝8s时，乙车追上甲车，第二次相遇处到A的距离为s2＝a1(t0＋t2)2＝245m ‎【误点警示】 本题中有两个易错点，一个是t0＝6s时刻是否已经相遇的判断，为后续方程的建立提供分析思路；第二个是方程的两个根的物理意义的理解。追及相遇问题实际上就是要建立两个位移间的函数方程△s＝s1－s2，而两个位移s1和s2符合匀变速直线运动的公式，位移公式是关于t的一元二次方程，因此相遇问题转化为关于t的函数方程中t是否有解及有几个解，此解要求大于零，且符合物理情景。‎ 典型运动情境之二：一个匀速运动，另一个匀变速运动 ‎【调研3】甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持‎9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前S0=‎ ‎13.5m处作了标记，并以v=‎9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为L=‎20m。求：此次练习中乙在接棒前的加速度a。‎ ‎【解析】画出示意图，如图所示，设乙的加速度为a，从起跑到接棒的时间为t 解法一：利用平均速度求解 依题意甲、乙运动位移满足：S甲＝S乙＋S0，即v甲t＝t＋S0‎ 其中 ＝，且t＝S0‎ 代入数据解得t＝3s 由v甲＝at，解得a＝3m/s2‎ 解法二：判别式法求解 S甲＝S乙＋S0，即v甲t＝at2＋S0‎ 移项得到：at2－v甲t＋S0＝0，其中S0＝13.5m，v甲＝9m/s。‎ 在速度相等时相遇，且只能相遇一次，故判别式△＝0（即t只有唯一解），可得a＝3m/s2‎ 解法三：转换参考系法求解 若以乙运动员为参考系，则甲运动员以加速度－a做匀减速直线运动，从相距S0再到达乙位置，甲到达乙位置时速度为零。‎ 根据匀变速运动规律：－2aS0＝0－v02，代入数据解得a＝3m/s2。‎ ‎【学法指导】‎ 本题是大家在学校运动会中熟悉的接力赛情景。通过示意图将情景转换为物理模型，从而找到位移关联关系，列方程求解。但在具体列方程的过程中，考虑到运动学公式的灵活性与多变性，位移的表达式可以用平均速度与时间的乘积公式、位移时间公式表达、位移速度公式，甚至相对参考系的方法。具体方法可参照三种方法进行认真体会，达到触类旁通，举一反三的效果。‎ ‎【调研4】一辆摩托车能达到的最大速度为vm＝30m/s，要想在3min内由静止起沿一条平直公路追上前面s0＝1000m处正以v＝20m/s的速度匀速行驶的汽车，则摩托车必须以多大的加速度启动？（保留两位有效数字）‎ 甲同学的解法是：设摩托车恰好在t＝3min＝180s时追上汽车，则 at2＝vt＋s0，代入数据得 a＝0.28m/s2。‎ 乙同学的解法是：设摩托车追上汽车时，摩托车的速度恰好是vm＝30m/s，则vm2＝2as＝‎2a(vt＋s0)，代入数据得a＝0.1m/s2。你认为他们的解法正确吗？若错误，请说明理由，并写出正确的解法.‎ ‎【解析】甲错，因为摩托车运动t＝180s时，速度为v1＝at＝0.28×‎180m/s＝‎50.4m/s＞vm＝30m/s。‎ 乙错，因为摩托车以0.1m/s2的加速度运动达到速度vm＝30m/s，运动的时间 t＝＝s=300s＞180s。‎ 正确解法：设摩托车达到最大速度用时t1，则vm＝at1‎ 运动位移为 s1＝at12‎ 设摩托车在t＝180s时恰好追上汽车,则此后摩托车运动位移 s2＝vm(t－t1)‎ 汽车在t时间内运动位移：s＝vt 依题意：s1＋s2＝s0＋s 代入数据解得 a＝0.56m/s2。‎ 故甲、乙都不正确，摩托车必须至少以‎0.56m/s2的加速度启动。‎ ‎【误点警示】‎ 本题的追及相遇问题中出现了最大速度vm＝30m/s的条件限制、3min时间内追上的限制以及两者之间初始距离s0＝1000m的限制。因此在以某一个条件建立方程式时要顾及到另外两个限制条件是否满足。否则会出现题干中甲、‎ ‎ 乙两位同学的错误。‎ T t v O Q 甲 乙 P ‎【拓展训练】‎ ‎1、甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图象如图所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为x1和x2（x2＞x1）。初始时，甲车在乙车前方x0处，则（ ）‎ A．若x0＝x1＋x2，两车不会相遇 B．若x0＜x1，两车相遇2次 C．若x0＝x1，两车相遇1次 D．若x0＝x2，两车相遇1次 ‎【解析】由图线与坐标轴围成的面积表示运动的位移，可知T时刻甲乙速度相同，甲运动的位移S甲＝x2，乙运动的位移S乙＝x1＋x2，甲乙运动的位移差为△S＝S乙－S甲＝x1。此后甲的速度将大于乙的速度，若x0＝△S＝x1，说明乙刚好追上甲，此后又落后于甲，即只能相遇一次，C对；若x0＞△S＝x1，说明乙还未追上甲，且此后乙也不可能追上甲，即不可能相遇，A选项中x0＝x1＋x2符合，故A对；而D选项x0＝x2＞x1，也符合，故D错；若x0＜△S＝x1，说明乙已经追上甲，且此后由于甲的速度较大，会再次与乙相遇，即相遇两次，B对。‎ ‎【答案】ABC ‎2、车从静止开始以a＝1m/s2的加速度前进，车后相距s0＝25m处，某人同时开始以v0＝6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。‎ ‎【解析】用运动学公式法来求解 讨论人与车速度相同时，人是否追上车。‎ 对车：运动位移s车＝＝18m 对人：运动位移s人＝v0t＝36m 由于△s＝s人－s车＝18m＜s0＝25m，且此后车的速度大于人的速度，故人不能追上。‎ t＝6s时，人与车相距最近，△sm＝s0－△s＝7m。‎ 请自行尝试用其它方法来求解本题。‎ ‎3、如图所示，在倾角为θ的光滑斜面顶端有一质点A由静止开始自由下滑，同时另一质点B由静止开始从斜面底端向左以恒定加速度a沿光滑水平面运动，A滑下后能沿斜面底部的光滑小圆弧平稳地朝B追去，为使A能追上B，B的加速度最大值是多少？‎ ‎【解析】：质点A先在斜面上由静止开始做匀加速运动，到B点后在水平面上做匀速直线运动；质点B由静止开始从斜面底端向左以恒定加速度a沿光滑水平面运动，运动时间相同。‎ 设经过时间t质点A在某点追上质点B，则有：xA－LAB＝xB ，且vA＝vB 质点A在斜面上运动的加速度aA＝gsinθ，设到B点的速度大小为vA，运动时间为t1＝＝。‎ 故vA(t－)＝at2，vA＝at ，联立解得：a＝gsinθ。‎