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- 2021-06-05 发布
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高三数学(理) (第 1 页 共 6 页)
大同市 2020 届高三年级第一次联合考试(市直)
数 学(理)
注意事项:
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2. 全部答案在答题卡上完成 ,答在本试题上无效。
3. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案用 0.5mm 黑色笔
迹签字笔写在答题卡上。
4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
5. 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的
1.已知集合 04|,)1ln(| 2 xxBxyyA ,则 BA =( )
A. 2| xx B. 21| xx
C. 21| xx D. 22| xx
2.欧拉公式 xixeix sincos (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数
函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非
常重要的地位.特别是当 x 时, 01ie 被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价
它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知, ie2 表示的复数在复平面中位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 将函数 )62sin( xy 的图象向右平移
6
个单位长度后,所得图象的一个对称中心为( )
A.
0,12
B.
0,4
C.
0,3
D.
0,2
高三数学(理) (第 2 页 共 6 页)
4.如图,在 ABC 中, NCAN 3
2 , P 是 BN 上一点,
若 ACABtAP 3
1 ,则实数t 的值为( )
A.
3
2 B.
5
2 C.
6
1 D.
4
3
5.函数
2
2
sin
1
6)(
x
xxf x
的图象大致为( )
6.若函数 xxf ln)( 与 axxxg 2)( 的图象有一条与直线 xy 平行的公切线,则 a
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 3 或 1
7 . 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 f x 满 足 3 0f x f x , 且 当 3 ,02x
时 ,
2log 2 7f x x ,则 )2020(f ( )
A. 5log2 B. 2 C. 2 D. 5log2
8. 已知 75 7,5,2 cba ,则( )
A. bca B. cba C. cab D. abc
9.已知正实数 nm, 满足 441 nm
,则 nm 的最小值是( )
A. 4 B. 2 C. 9 D.
4
9
B
A
C
N
P
高三数学(理) (第 3 页 共 6 页)
10.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球,摸到红球、白球和黄
球的概率分别为
6
1,3
1,2
1 ,从袋中随机摸出一个球,记下颜色后放回,连续摸 3 次,则记
下的颜色中有红有白但没有黄的概率为( )
A.
36
5 B.
3
1 C.
12
5 D.
2
1
11.已知 F 是双曲线 )0,0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的左焦点, E 是双曲线的右顶点,过点 F 且垂
直于 x 轴的直线与双曲线交于 BA, 两点,若 ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e
的取值范围为( )
A. 3,1 B. 2,1 C. 2,1 D. 3,1
12. 已知定义在 R 上的可导函数 )(xf ,对于任意实数 x 都有 xxfxf 2)()( 成立,且当
0,x 时,都有 12)(' xxf 成立,若 )1(3)1()2( mmmfmf ,则实数 m 的
取值范围是( )
A.
3
1,1 B. 0,1 C. 1, D.
,3
1
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 命题 ,2),,0(: 0
2
00 xxxp 则 p 是
14. 已知两个单位向量 ba, 满足 bba 3 ,则 ba, 的夹角为
15. 设数列 na 的前 n 项和 ,3,2,1,3
223
1
3
4 1 naS n
nn ,则 na 的通项公式为
na
16. 已知函数
43 log ( 0)
( ) ,1 3( 0)4
x
x x x
f x
x x
若 f x 的两个零点分别为 1 2,x x ,
则 1 2x x
高三数学(理) (第 4 页 共 6 页)
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17—21 题为必考题,每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.(12 分)
在 ABC 中 , cba ,, 分 别 为 角 CBA ,, 的 对 边 , 且 满 足
BCABCBC sinsincos)cos()cos( 2 .
(1)求 A ;
(2)若 3a ,求 cb 2 的最大值.
18.(12 分)
如图,四棱锥 ABCDP 中, ,90,// BCDCDAB BCAB 2
PABCD ,42 为等边三角形,平面 PAB 平面 ABCD ,
Q 为 PB 的中点。
(1)求证: AQ 平面 PBC
(2)求二面角 DPCB 的余弦值。
19.(12 分)
新高考改革后,国家只统一考试数学和语文,英语学科改为参加等级考试,每年考两次,
分别放在每个学年的上、下学期,物理、化学、生物、地理、历史、政治这六科则以该省的省
会考成绩为准.考生从中选择三科成绩,参加大学相关院系的录取.
(1)若英语等级考试成绩有一次为优,即可达到某 211 院校的录取要求.假设某个学生参加
每次等级考试事件是独立的,且该生英语等级考试成绩为优的概率都是
3
1 ,求该生在高二
上学期的英语等级考试成绩才为优的概率;
(2)据预测,要想报考该 211 院校的相关院系,省会考的成绩至少在 90 分以上,才有可能
被该校录取.假设该生在省会考六科的成绩,考到 90 分以上概率都是
3
1 ,设该生在省会考时
考到 90 分以上的科目数为 ,求 的分布列及数学期望.
高三数学(理) (第 5 页 共 6 页)
20.(12 分)
已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线 xy 2
3 与椭圆C 在第一象限内的交点
是 M ,点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 2F ,椭圆 C 的另一个焦点是 1F ,且
4
9
21 MFMF .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若直线l 过点 0,1 ,且与椭圆C 交于 QP, 两点,求 PQF2 的内切圆面积的最大值.
21. (12 分)
设函数 xaaxxxf )4(2
1ln4)( 2 ,其中 Ra .
(1)讨论 )(xf 的单调性;
(2)若 函 数 )(xf 存 在 极 值 , 对 于 任 意 的 210 xx , 存 在 正 实 数 0x , 使 得
))((')()( 21021 xxxfxfxf .试判断 21 xx 与 02x 的大小关系,并给出证明.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题
计分.
22.(10 分)【选修 4—4:坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 1C 的参数方程为
sin2
cos23
y
x ( 为参数),以坐
标原点O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 2 .
(1)设点 NM , 分别为曲线 1C 与曲线 2C 上的任意一点,求 MN 的最大值;
(2)设直线
sin
cos1: ty
txl (t 为参数)与曲线 1C 交于 QP, 两点,且 1PQ ,求直线
l 的普通方程.
高三数学(理) (第 6 页 共 6 页)
23.(10 分)【选修 4—5:不等式选讲】
已知函数 1)( xaxxf .
(1)当 3a 时,求不等式 9)( xxf 的解集;
(2)若 4)( xxf 的解集包含 2,0 ,求实数 a 的取值范围.
- 1 -
大同市 2020 届高三年级第一次联合考试(市直)
数学(理) 答案
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的
1~5、DBACA 6~10、DABDC 11~12、BA
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 2,,0 2 xxx
14. 3
15. nn 24
16. 3
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17—21 题为必考题,每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
17. (12 分)
- 2 -
18. (12 分)
- 3 -
- 4 -
19. (12 分)
- 5 -
20. (12 分)
(分母部分用“对勾”函数单调性酌情给分)
- 6 -
21(12 分)
(5 分)
(6 分)
(7 分)
(8 分)
- 7 -
22.(10 分)
(对数平均值不等式需证明,未证明扣 2 分)
(12 分)
(其它证法,酌情给分)
- 8 -
23.(10 分)
正确填涂 错误填涂 缺考标记
大同市2020届高三年级第一次联合考试(市直) 答题卡数学(理)
班级
姓名
第 I 卷 选择题(须用 2B 铅笔填涂)
第 II 卷 非选择题(须用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔书写)
请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效
请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效
请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效
请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效
请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
贴条形码处
二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分)
13.
14
15.
16
17 (12 分)
18.(12 分)
19.(12 分)
注意事项
1、填涂时用 2B 铅笔将选中项涂满涂黑,黑度以盖住框内字母和数字为准。
2、答题内容不得超过准定的框外。
3、请注意号顺序。保持答题卡整洁,不要折叠、弄破。
4、修改时用橡皮擦擦试干净。
5、发现主观题部分有印刷错误的,找监考老师调换。例如,有印不全、方向印反的、
压到选择题上的都要及时调换
请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效
请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效
请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效
请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效
请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效
请在各题规定的矩形区域内答题,超出该区域的答案无效
20. (12 分) 21. (12 分)
选做题(10 分)22. 23.
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