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- 2021-06-07 发布
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课时作业(十四)
1．关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是( )
A．n∈N* B．n≥4
C．n>4 D．n＝1或n>4
答案 D
解析 n取1，2，3，4验证．
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 B．3
C．5 D．6
答案 C
解析 当n取1，2，3，4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.
3．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步即证下述哪个不等式成立( )
A．1<2 B．1＋<2
C．1＋＋<2 D．1＋<2
答案 C
解析 ∵n∈N*且n>1，∴n0＝2.
n0＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，即1＋＋<2.
4．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)成立，当n＝1时，应验证( )
A.≤1＋≤ B.≤1＋＋≤
C.≤1＋＋＋< D.<1＋<
答案 A
解析 当n＝1时，左边＝1＋＝，中间＝1＋＝，右边＝＋1＝，∴≤1＋≤.
5．若不等式＋＋＋…＋<对于一切n∈N*恒成立，则自然数m的最小值为( )
A．8 B．9
6
C．10 D．12
答案 A
解析 令bn＝＋＋＋…＋，
∴bk＋1－bk＝＋＋…＋＋＋－(＋＋…＋)＝＋－<0.
∴bk＋1＝7.
∴m的最小值为8.
6．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋<(n∈N＋，n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( )
A．2k＋1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
答案 C
7．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，先计算a2，a3，再猜想an等于( )
A．n B．n2
C．n3 D.－
答案 B
8．利用数学归纳法证明“(1＋)(1＋)…(1＋)>”时，n的最小取值n0为________．
答案 2
9．证明<1＋＋＋…＋1)，当n＝2时，要证明的式子为________．
答案 2<1＋＋＋<3
解析 当n＝2时，要证明的式子为2<1＋＋＋<3.
10．用数学归纳法证明：当n∈N*，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为______________，从k到k＋1时需增添的项是______________．
6
答案 1＋2＋22＋23＋24，
25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
11．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an.通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．
答案 an＝
解析 a2＝S2－S1＝2(2×2－1)a2－，
∴a2＝，同理a3＝，a4＝.
归纳可知an＝.
12．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为________．
答案 21＋1≥12＋1＋2
解析 当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．
13．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝________．
答案 ＋＋…＋
解析 f(2k)＝1＋＋＋…＋，
f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋，
故f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.
14．求证：＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)．
证明 (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝>，不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立，
即＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)>＋(＋＋－)＝＋[－]＝.
6
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)，知原不等式对一切n≥2且n∈N＋都成立．
15．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N＋)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an.
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
解析 (1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝(n∈N＋)．
(2)当n＝1时，a1＝1，结论成立．
假设n＝k(k≥1)时，结论成立，即ak＝，那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.
所以2ak＋1＝2＋ak，
所以ak＋1＝＝＝.
这表明当n＝k＋1时，结论成立．
所以an＝(n∈N＋)．
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)第一步验证n＝2时，左边的项为( )
A．1 B．1＋
C. D．1＋＋
答案 D
2．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
证明 当n＝1，n＝2，n＝3时都有2n＋2>n2成立，所以归纳猜想2n＋2>n2成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边，所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．
(2)假设n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.
那么n＝k＋1，时
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.
又因为2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
6
根据(1)(2)可知，2n＋2>n2对于任何n∈N*都成立．
3．设f(n)＝1＋＋＋…＋，由f(1)＝1>，f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，….
(1)你能得到怎样的结论？并证明．
(2)是否存在一个正数T，使对任意的正整数n，恒有f(n).下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，
即f(2k－1)>.
则f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋>f(2k－1)＋＋…＋2k个
＝f(2k－1)＋>＋＝.
∴当n＝k＋1时不等式也成立．
由①②可知对任何n∈N*，f(2n－1)>均成立．
(2)对任意给定的正数T，设它的整数部分为T′，
记m＝T′＋1，则m>T.
由(1)可知，f(22m－1)>m，∴f(22m－1)>T.
这说明，对任意给定的正数T，总能找到正整数n(如可取假设中的2m)，使得f(n)>T.
∴不存在正数T，使得对任意正整数n，总有f(n)
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