2019-2020学年高中数学课时作业8放缩法几何法反证法北师大版选修4-5 7页

课时作业(八)‎ ‎1．下面放缩正确的是(　　)‎ A．a2＋‎2a＋1>a2＋1　　　　 B．a2＋‎2a＋1>a2＋‎‎2a C．|a＋b|>|a| D．x2＋1>1‎ 答案　B 解析　由减少项的符号易知选项A、C、D不正确．‎ ‎2．a，b，c“至少有一个为‎0”‎的反面是(　　)‎ A．至少有一个为0 B．有一个为0‎ C．全不为0 D．不全为0‎ 答案　C 解析　易知其反面是全不为0，故选C.‎ ‎3．复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值和最小值为(　　)‎ A．2，2 B．2，3‎ C．3， D．4，3 答案　C 解析　如图所示，|z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P为圆心，以为半径的圆，连接OP并延长交圆于A、B两点，显然|OA|为最大距离，|OB|为最小距离．所以|z|max＝|OP|＋＝3，|z|min＝|OP|－＝.‎ ‎4．a，b∈R＋，且a＋b≤4，则下面一定正确的是(　　)‎ A.＋≤ B.≤＋≤ C.≤＋≤1 D.＋≥1‎ 答案　D 解析　＋≥≥≥1.故选D.‎ ‎5．用反证法证明命题“如果a>b>0，那么|a|>|b|”时，假设的内容应是(　　)‎ A．|a|＝|b| B．|a|<|b|‎ C．|a|≤|b| D．|a|>|b|且|a|＝|b|‎ 答案　C 解析　由于结论|a|>|b|的否定为：|a|≤|b|，‎ 7‎ 用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，‎ 故应假设|a|≤|b|，由此推出矛盾．‎ ‎6．用反证法证明命题“若a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋中至少有一个不小于‎2”‎时，假设的内容应为(　　)‎ A．假设a＋，b＋，c＋至少有一个大于2‎ B．假设a＋，b＋，c＋都不大于2‎ C．假设a＋，b＋，c＋至多有两个不小于2‎ D．假设a＋，b＋，c＋都小于2‎ 答案　D 解析　a＋，b＋，c＋中至少有一个不小于2，即至少有一个大于或等于2，包括有一个大于或等于2，有两个大于或等于2，有三个大于或等于2.‎ 原命题的否定是：‎ a＋，b＋，c＋中没有一个大于或等于2.‎ 即a＋，b＋，c＋都小于2.‎ ‎7．已知S＝1＋＋＋…＋(n是大于2的自然数)，则有(　　)‎ A．S<1 B．21.故选C.‎ ‎8．设x>0，y>0，A＝，B＝＋，则A，B的大小关系为(　　)‎ A．A＝B B．AB 7‎ 答案　B 解析　B＝＋>＋＝＝A，即At2 B．t12＝，‎ t2＝＝<＝，‎ ‎∴t1>t2.‎ ‎10．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，b＋，c＋的值(　　)‎ A．都不大于－2 B．都不小于－2‎ C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2‎ 答案　C ‎11．已知a∈R＋，则，，从大到小的顺序为________．‎ 答案　>> 解析　因为＋>＋＝2，＋<＋＝2，‎ 所以2<＋<2，‎ 所以>>.‎ ‎12．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．‎ 答案　M<1‎ ‎13．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：‎ ‎①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；‎ ‎②所以一个三角形不能有两个直角；‎ 7‎ ‎③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．‎ 答案　③①②‎ 解析　由反证法的一般步骤可知，此题的正确顺序是③①②.‎ ‎14．若直线y＝x＋m与曲线x＝恰有一个公共点，则m的取值范围是________．‎ 答案　{m|－1，b(3－c)>，c(3－a)>.‎ 因为a，b，c均为小于3的正数．‎ 所以>，>，>，‎ 从而有＋＋>.①‎ 但是＋＋≤＋＋＝＝.②‎ 显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证．‎ ‎16．(2014·广东)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足Sn2－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.‎ ‎(1)求a1的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.‎ 解析　(1)令n＝1代入得a1＝2(负值舍去)．‎ ‎(2)由Sn2－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0.‎ 又已知各项均为正数，故Sn＝n2＋n.‎ 7‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，‎ 当n＝1时，a1＝2也满足上式，‎ 所以an＝2n，n∈N*.‎ ‎(3)证明：k∈N*，4k2＋2k－(3k2 ＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，‎ ‎∴4k2＋2k≥3k2＋3k.‎ ‎∴＝＝≤ ‎＝(－)．‎ ‎∴＋＋…＋ ‎≤(－＋－＋…＋－)‎ ‎＝(1－)<.‎ ‎∴不等式成立．‎ ‎1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个钝角”时，反设正确的是(　　)‎ A．三个内角中至少有一个钝角 B．三个内角中至少有两个钝角 C．三个内角都不是钝角 D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角 答案　C ‎2．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为(　　)‎ A．a<0，b<0，c<0 B．a≤0，b>0，c>0‎ C．a，b，c不全是正数 D．abc<0‎ 答案　C ‎3．完成反证法证题的全过程．‎ 题目：设a1，a2，…，a7是1，2，3，…，7的一个排列，‎ 求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．‎ 证明：假设p为奇数，则________均为奇数．‎ 因奇数个奇数的和还是奇数，‎ 所以有奇数＝________‎ ‎＝________‎ ‎＝0.‎ 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．‎ 7‎ 答案　(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)‎ ‎(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)‎ ‎(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)‎ 解析　假设p为奇数，则(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数．‎ 因为奇数个奇数的和还是奇数，所以有 奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)‎ ‎＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)＝0.‎ 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．‎ ‎4．已知a>0，b>0，且a＋b>2，求证：‎ ，中至少有一个小于2.‎ 证明　假设，都不小于2，则≥2，≥2.‎ 因为a>0，b>0，所以1＋b≥‎2a，1＋a≥2b，‎ 所以1＋1＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b.‎ 这与a＋b>2矛盾，故假设不成立．‎ 即，中至少有一个小于2.‎ ‎5．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，a1＝b1＝1，S2＝.‎ ‎(1)若b2是a1，a3的等差中项，求{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若an∈N＋，{ban}是公比为9的等比数列，求证：＋＋＋…＋<.‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.‎ ‎(1)因为S2＝，‎ 所以a1＋a1＋d＝，而a1＝b1＝1，则q(2＋d)＝12.①‎ 又因为b2是a1，a3是等差中项，‎ 所以a1＋a3＝2b2，得1＋1＋2d＝2q，‎ 即1＋d＝q.②‎ 联立①②，解得或 所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，bn＝3n－1；‎ 或an＝1＋(n－1)·(－5)＝6－5n，bn＝(－4)n－1.‎ ‎(2)因为an∈N＋，ban＝b1qan－1＝q1＋(n－1)d－1＝q(n－1)d，‎ 所以＝＝qd＝9，即qd＝32.③‎ 7‎ 由(1)知q(2＋d)＝12，此时q＝.④‎ 因为a1＝1，an∈N＋，所以d∈N，‎ 从而根据③④知q>1，且q为正整数，所以d可为0或1或2或4，但同时满足③④两个等式的只有d＝2，q＝3，‎ 所以an＝2n－1，Sn＝＝n2.‎ 所以＝<＝(－)(n≥2)．‎ 当n≥2时，‎ ＋＋…＋<1＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)‎ ‎＝1＋[(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝1＋(1＋－－)‎ ‎＝－－<.‎ 显然，当n＝1时，不等式成立．‎ 故n∈N＋，＋＋…＋<.‎ 7‎