2020届山东省曲阜市第一中学高三上学期第一次月考数学试卷 8页

- 1 - 2020 届山东省曲阜市第一中学高三上学期第一次月考 数试题 2019.09 一、选择题：本题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. 已知集合 { | lg 0}, { | 2 1}xA x x B x    则 AB （ ） A. ( ,1) B.( ,1] C.(1, ) D.[1, ) 2.   aii ai 则实数是虚数单位）为纯虚数（已知 ,1 1 （ ） A．1 B．2 C． 1 D． 2 3.△ABC 中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则 cosC=（ ） A. 3 3 B. 6 3 C. 6 3 D. 6 3 4. 已知平面向量 a=（2，-1），b=（1，1）， c=（-5，1），若 ()a kb ∥ c ，则实数 k 的值 为（ ） A．2 B. 1 2 C.11 4 D. 11 4 5.已知 1 3 24 1 , log 3, log 72a b c   ， 则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 6.若 2 cos 2 3 sin 2 cos( )4      ，则sin 2  （ ） A． 1 3 B． 2 3 C. 2 3 D． 1 3 7.“a≤－1”是“函数 f(x)＝lnx＋ax＋1 x在[1，＋∞)上为单调函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知函数 ( ) 4f x x， xxxg 2)( 2  ， ( ), ( ) ( ) () ( ), ( ) ( ) f x f x g x Fx g x f x g x    ，则 )(xF 的 最值是（ ） A．最大值为 8，最小值为 3； B．最小值为-1，无最大值； C．最小值为 3，无最大值； D．最小值为 8，无最大值． 9.已知△ABC 的边 AB，AC 的长分别为 2，3，∠BAC=120°，则△ABC 的角平分线 AD 的长为（ ） A. 3 35 B. 3 5 C. 6 35 D. 6 5 - 2 - 10.已知函数 )2||,0,0)(sin()(   AxAxf 的最大值为 2 ，其图象相邻两条对称轴之间的距 离为 2  且 f(x)的图象关于点 )0,12(  对称，则下列判断正确的是（ ） A．要得到函数 f(x)的图象，只需将 xy 2cos2 的图象向右平移 6  个单位 B．函数 f(x)的图象关于直线 12 5x 对称 C．当 ]6,6[ x 时，函数 )(xf 的最小值为 2 D．函数 )(xf 在 ]3,6[  上单调递增 11.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 21 2 15 2– lg Emm E ， 其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼 星的亮度的比值为( ) A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1 12.已知 '( )fx是函数 ()fx的导函数，且对任意的实数 x 都有      e 2 3xf x x f x    ，  01f  ，则不等 式 ( ) 5 xf x e 的解集为（ ） A． 4,1 B．( 1,4) C．( , 4) (1, )  U D．( , 1) (4, )   二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 已知向量 a ，b 满足 22ab， ，且  2a a b ，则 在 方向上的投影为 14.函数 ()fx在 (0, ) 上单调递增，且 ( 2)fx 关于 2x  对称，若 ( 2) 1f ，则 ( 2) 1fx的 x 的 取值范围是 15.已知函数 y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且 a≠1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中 mn＞0，则 的最小值为 16.函数 ln 1yx的图象与函数  2cos , 2 4y x x     的图象所有交点的横坐标之和等 于 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题 10 分)已知等差数列{an}中， 1 7a  ， 3 15S  ． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前 n 项和 Sn． - 3 - 18.(本题 12 分)将函数 3sin 2yx 的图像向左平移 6  个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍（纵坐标不变），得到  fx的图像. （1）求 的单调递增区间； （2）若对于任意的 ,22x  ，不等式 ( ) 3f x m-<恒成立，求实数 m 的取值范围. 19.(本题 12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知满足(2 )cos cosa c B b C. （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 2b  ，求△ABC 的面积的取值范围． 20.(本题 12 分)已知 aR ，设函数 ( ) 3 ln 1f x x a x   （1）若 3ae ，求函数 f(x)在[0,2 ]e 上的最小值； （2）讨论函数 f(x)的单调性. 21.(本题 12 分)已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为 20 万元，每生产 1 千件需另投入 5.4 万元，设该公司一月内生产该电子产品 x 千件能全部销售完，每千件的销售收入为 g（x）万元，且 g（x） =         )10x( x3 2000 x 168 )10x0(x30 15.13 2 2 （Ⅰ）写出月利润 y（万元）关于月产量 x（千件）的函数解析式； （Ⅱ）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润． - 4 - 22.(本题 12 分)已知 32( ) ln , ( ) 2f x x x g x x ax x． (1).如果函数 ()gx的单调递减区间为 1( ,1)3 ，求函数 的解析式； (2).在(1)的条件下，求函数 ()y g x 的图象在点 ( 1,1)P  处的切线方程； (3).若不等式 2 ( ) ( ) 2f x g x   恒成立，求实数 a 的取值范围． - 5 - 2020 届高三第一次月考数学试题答案 一、BADBD CACDA AA 二、13. -1 14. [0,4] 15.8 16.6 三、 17.（1）依题意，设等差数列 na 的公差为 d ， 因为 323 15Sa   ，所以 2 5a  ，又 1 7a  ，所以公差 2d  ， 所以 ( 1)nna a n d    7 2( 1) 2 9nn     ． （2）由（1）知 ， ， 所以 1 ( 1) 2n nnS na d   ( 1)7 2 ( 8)2 nnn n n     18.（1）函数 3sin 2yx 的图像向左平移 6  个单位长度可得 3sin 2 + 3yx  ， 然后将 3sin 2 + 3yx  上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍可得 ( ) 3sin 3f x x  令 2 2 ,2 3 2k x k k       Z ，即 52 ,2 ,66x k k k    Z ， 故  fx的单调递增区间为 52 ,2 ,66k k k   Z . （2）因为 ,22x  ，所以 5 6 3 6x      ， 所以函数 在 ,22  上的最大值为3 ，此时 32x ，即 6x  ， 最小值为 3 2 ，此时 36x    ，即 2x  . 对于任意的 ，不等式 ( ) 3f x m-<恒成立， 即 3 ( ) 3m f x m    恒成立，     max min 3 3 f x m f x m    ， 所以 33 3 32 m m    ， 30 2m，故实数 m 的取值范围为 30, 2   。 - 6 - 19.（Ⅰ）  2 cos cosa c B b C 由正弦定理得： 2sin sin cos sin cosA C B B C  2sin cos sin cos sin cos sin sinA B C B B C B C A       0, πA sin 0A 1cos 2B  0,B  3B  （Ⅱ）由正弦定理得： sin sin bAa B 2sin 4 3 sin33 2 AaA   同理： 43sin3cC 1 4 3 4 3 3 4 3sin s1 s in sin sin2 3 3in2 23ABC A C Aac CSB      4 3 2 4 3 3 1sin sin cos sin sin3 3 3 2 2C C C C C       4 3 3 1 1 2 3 1sin 2 cos2 sin 23 4 4 4 3 6 2C C C       20 3C  726 6 6C      1 sin 2 126C     2 3 10 sin 2 33 6 2C      ABC∴ 的面积的取值范围为：0, 3 20.（1）若 3ae ，则 ( ) 3 3 ln 1f x x e x   ,所以， 3 3( )( ) 3 e x efx xx     所以， ()fx在(0, )e 上单调递减，在( , 2 ]ee上单递增. 故当 xe 时，函数 f(x)取得最小值，最小值是 ( ) 1fe （2）由题意可知，函数 f(x)的定义域是(0, ) ，又 3( ) 3 a x afx xx     当 0a  时， ( ) 0fx，函数 f(x)在 上单调递增； 当 0a  时， - 7 - 令 3( ) 0xafx x    解得， 3 ax  ，此时函数 f(x)是单调递增的 令 3( ) 0xafx x    解得，0 3 ax ，此时函数 f(x)是单调递减的 综上所述，当 0a  时，函数 f(x)的单调递增区间是(0, ) 21.（Ⅰ）当 0＜x≤10 时，y=x（13.5﹣ x2）﹣20﹣5.4x=8.1x﹣ x3﹣20， 当 x＞10 时，y=（ ﹣﹣ ）x﹣20﹣5.4x=148﹣2（ +2.7x）， ∴y= ， （Ⅱ）①当 0＜x≤10 时，y′=8.1﹣ x2，令 y′=0 可得 x=9， x∈（0，9）时，y′＞0；x∈（9，10]时，y′＜0， ∴x=9 时，ymax=28.6 万元； ②当 x＞10 时，y=148﹣2（ +2.7x）≤148﹣120=22（万元） （当且仅当 x= 时取等号）… 综合①②知：当 x=9 时，y 取最大值… 故当年产量为 9 万件时，服装厂在这一高科技电子产品的生产中获年利润最大。 22.(1). 2( ) 3 2 1g x x ax    由题意 23 2 1 0x ax   的解集是: 1( ,1)3 即 的两根分别是 1,13 ． 将 1x  或 1 3 代入方程 23 2 1 0x ax   得 1a  ．∴ 32( ) 2g x x x x． (2).由 1 知： 2( ) 3 2 1g x x x   ，∴ ( 1) 4g   ， ∴点 ( 1,1)P  处的切线斜率 ( 1) 4kg    ， ∴函数 ()y g x 的图象在点 处的切线方程为： 1 4( 1)yx   ，即 4 5 0xy   ． (3).∵ 2 ( ) ( ) 2f x g x   , 即： 22 ln 3 2 1x x x ax   对 (0, )x  上恒成立 可得 31ln 22a x x x   对 上恒成立 - 8 - 设 31( ) ln 22h x x x x   ，则 22 1 3 1 ( 1)(3 1)'( ) 2 2 2 xxhx x x x      令 '( ) 0hx ，得 1x  或 1 3x  （舍） 当 01x时， ( ) 0hx；当 1x  时， ( ) 0hx ∴当 1x  时， ()hx取得最大值﹣2 ∴ 2a  ． a 的取值范围是[ 2, )  ．