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- 2021-06-08 发布
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沐彬中学2019届文科数学综合测试（四）
一选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．已知集合，，则集合=（ ）
A． B． C． D．
2.（ ）
A． B． C． D．
3．设，都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．执行如图所示的程序框图，则输出的的值等于（ ）
A．3 B．21 C． D．
5.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为( )
A. 110 B. 16 C. 15 D. 56
6．已知的内角，，所对边分别为，，，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
7.在△ABC中，|BC|=4，(AB+AC)⋅BC=0，则BA⋅BC=( )
A. 4 B. -4 C. -8 D. 8
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知三点A（1，0），B（0，3），C（2，3）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A．53 B．213 C．253 D．43
10．如图所示，过抛物线的焦点的直线，
交抛物线于点，．交其准线于点，若，且，
则此抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，若函数恰有两个零点，
则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设，满足约束条件，则的最大值为____．
14．已知函数f（x）＝cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝；
③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）；
④函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．其中正确的结论序号
15．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝，则a＝ ．
16．已知f（x）是R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x3+2x，则不等式f（x﹣2）＜3的解集 ．
三、解答题 （本大题共6小题，17至20每题12分，22题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n≥2，n∈N*)．
（1）记bn＝log2（an+1），判断{bn}是否为等差数列，并说明理由：
（2）在（1）的条件下，设cn=bnan+1，求数列{cn}的前n项和Tn．
18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD＝PD，E、F分别是CD、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）设AB=3BC＝3，求三棱锥P﹣AEF的体积．
19．A药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂．
（1）根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？（不必说明理由）
（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如表：
每件中药材的质量n（单位：克）
购买价格（单位：元/件）
n＜15
50
15≤n≤20
a
n＞20
100
（ⅰ）估计A药店所购买的100件中药材的总质量；
（ⅱ）若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元，求a的最大值．
20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过A(1，22)，B(22，-32)两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且与圆O：x2+y2＝3相交于M，N两点，试问直线OM与ON的斜率之积kOM•kON是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
21．设函数f(x)=ex-ax+a2，a＞0．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；
（Ⅱ）当x＜1时，函数f（x）的图象恒在x轴上方，求a的最大值．
22．已知直线l的参数方程为x=1+2ty=12-t，曲线C的参数方程为x=2cosθy=sinθ，
设直线l与曲线C交于两点A，B．
（1）求|AB|；
（2）设P为曲线C上的一点，当△ABP的面积取最大值时，求点P的坐标．
23．设函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣a|（a＞0），g（x）＝x2﹣x．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式g（x）≥f（x）的解集；
（Ⅱ）已知f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．
沐彬中学文科数学综合测试（四）参考答案
2019-4
一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
C
B
A
D
C
B
A
A
C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
13. 5 14. ②③④ 15. 16, （1，3）
10.如图，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，
过作垂直于抛物线的准线，垂足为，为准线与轴的交点，
由抛物线的定义，，，
因为，所以，所以，
，所以，即，
11. 【解析】，
即，故为奇函数，排除C，D选项，排除B选项，故选A．
12【解析】作出函数的图象，
函数恰有两个零点，即为的图象和直线有两个交点，
当直线与相切，可得有两个相等实根，
可得，即，由图象可得当时，的图象和直线有两个交点，
15.【解：由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，
如图所示：设AF＝x，BF＝y，CF＝z，
则，又，
可得x＝y＝2，∴a＝．故答案为：．
【解答】解：∵x≥0时，f（x）＝x3+2x；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（1）＝3；又f（x）是R上的偶函数；
∴由f（x﹣2）＜3得，f（|x﹣2|）＜f（1）；∴|x﹣2|＜1；解得1＜x＜3；∴原不等式的解集为（1，3）．
三、解答题（本题共6小题，共70分，要求写出必要的演算、推理、证明过程）
18解：（1）根据题意，bn＝log2（an+1），
当n＝1时，有b1＝log2（a1+1）＝log22＝1；
当n≥2时，bn-bn-1=log2(an+1)-log2(an-1+1)=log2an+1an-1+1=log22an-1+2an-1+1=log22=1；
所以数列{bn}是以1为首项、公差为1的等差数列．
（2）由（1）的结论，数列{bn}是以1为首项、公差为1的等差数列，则bn＝2+（n﹣1）＝n，
则an+1=2n，于是cn=n2n，
Tn=1×12+2×(12)2+3×(12)3+⋯+(n-1)×(12)n-1+n×(12)n，①
12Tn=1×(12)2+2×(12)3+⋯+(n-1)×(12)n+n×(12)n+1，②
①﹣②可得：12Tn=12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n-n×(12)n+1，
=12-(12)n+11-12-n×(12)n+1=1-12n-n2n+1，所以Tn=2-2+n2n．
19解（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD＝AD，底面ABCD是矩形，BA⊥AD，
∴BA⊥平面PAD，则平面PBA⊥平面PAD，
∵AD＝PD，取PA的中点G，连接FG，DG，则DG⊥PA，
∴DG⊥平面PAB．
又E、F分别是CD、PB的中点，G是PA的中点，底面ABCD是矩形，
∴四边形EFGD为矩形，则DG∥EF，
∴EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：由AB=3BC＝3，得BC=3，AB＝3，AD＝AP=3，且F是PB的中点．
∴VP﹣AEF＝VB﹣AEF＝VF﹣ABE=12VP-ABE=12⋅13S△ABE⋅PD=12×13×12×3×3×3=34．
20解：（1）根据样本数据知，A药店应选择乙药厂购买中药材；
（2）（ⅰ）从乙药厂所抽取的每件中药材的质量平均数为
x=110×（7+9+11+12+12+17+18+21+21+22）＝15；
估计A药店所购买的100件中药材的总质量为100×15＝1500克；
（ⅱ）乙药厂所提供的每件中药材的质量n＜15的概率为510=0.5，
15≤n≤20的概率为210=0.2，n＞20的概率为310=0.3，
则A药店所购买的100件中药材的总费用为100×（50×0.5+0.2a+100×0.3）；
依题意得100×（50×0.5+0.2a+100×0.3）≤7000，解得a≤75，∴a的最大值为75．
21. 解：（1）依题意，1a2+12b2=112a2+34b2=1，解得a2=2b2=1，∴椭圆方程为x22+y2=1；
（2）当直线l的斜率存在时，可设直线l：y＝kx+m，
与椭圆方程联立可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由相切可得△＝8（2k2﹣m2+1）＝0，即m2＝2k2+1，
联立y=kx+mx2+y2=3，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则4(3k2+3-m2)＞0x1+x2=-2km1+k2x1x2=m2-31+k2，∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2-3k21+k2，
进而kOM⋅kON=y1y2x1x2=m2-3k2m2-3，将m2＝2k2+1代入4（3k2+3﹣m2）＞0恒成立，
∴kOM⋅kON=y1y2x1x2=m2-3k2m2-3=2k2+1-3k22k2+1-3=1-k22k2-2=-12，故kOM•kON是定值且定值为-12．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±2．
若直线l的方程为x=2，则M，N的坐标为（2，-1），（2，1），此时满足kOM•kON=-12．
若直线l的方程为x=-2，则M，N的坐标为（-2，﹣1），（-2，1），此时也满足足kOM•kON=-12．
综上，kOM•kON为定值且定值为-12．
22. 解：（Ⅰ）∵f(x)=ex-ax+a2，∴f'（x）＝ex﹣a，∴f'（1）＝e﹣a，
由题设知∴f'（1）＝0，即e﹣a＝0，解得a＝e．经验证a＝e满足题意．
（Ⅱ）令f'（x）＝0，即ex＝a，则x＝lna，（1）当lna＜1时，即0＜a＜e
对于任意x∈（﹣∞，lna）有f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，lna）单调递减；
对于任意x∈（lna，1）有f'（x）＞0，故f（x）在（lna，1）单调递增，
因此当x＝lna时，f（x）有最小值为a-alna+a2=a(32-lna)＞0成立．
（2）当lna≥1时，即a≥e
对于任意x∈（﹣∞，1）有f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，1）单调递减，
所以f（x）＞f（1）．因为f（x）的图象恒在x轴上方，所以f（1）≥0，
因为f（x）＞0，所以f（1）≥0，即a≤2e，综上，a的最大值为2e．
22.解：（1）直线l的参数方程为x=1+2ty=12-t可化为x+2y＝2，
曲线C的参数方程为x=2cosθy=sinθ，可化为x24+y2=1
两方程联立，可得y2﹣y＝0，∴y＝0或1，∴A（2，0），B（0，1），∴|AB|=5；
（2）设P（2cosθ，sinθ），则
P到AB的距离为|2cosθ+2sinθ-2|5=|22sin(θ+π4)-2|5
∴sin(θ+π4)=1，即θ=5π4时d最大，即△ABP的面积取最大值，点P的坐标为（-2，-22）．
23.解：（1）当a＝1时，g（x）≥f（x）⇔x≤-1x2-x≥-x-1-x+1或-1＜x＜1x2-x≥2或x≥1x2-x≥x+1+x-1，
解得x≤﹣1或x≥3，
所以原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}
（2）f（x）=-(a+1)x-1+a，x≤-1a(a-1)x+1+a，-1a＜x＜a(a+1)x+1-a，x≥a，
当0＜a≤1时，f（x）min＝f（a）＝a2+1≥2，a＝1；
当a＞1时，f（x）max＝f（-1a）＝a+1a≥2，a＞1，
综上：a∈[1，+∞）
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