2020届黑龙江省齐齐哈尔市八中高三10月月考数学（文）试卷 7页

- 1 - 2019—2020 学年度上学期 10 月月考 高三数学（文）试题 第一部分 选择题（共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．若集合  2 1 2 3A ，，， ，  2B x x n n N  ， ，则 （ ） A． 2 B． 2 C． 22 ， D． 2.复数 i1 3i  等于（ ） A． 93i10 10 B． 13i10 10 C． 93i10 10 D． 13i10 10 10, 6 =a b a b a b a b             3.设向量 ，，满足 ，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．下列说法错误的是（ ） A．“若 2x  ，则 2 5 6 0xx   ”的逆否命题是“若 2 5 6 0xx   ，则 2x  ” B．“ 3x  ”是“ 2 5 6 0xx   ”的充分不必要条件 C．“ xR ， 2 5 6 0xx   ”的否定是“ 0xR ， 2 005 6 0xx   ” D．命题：“在锐角 ABC△ 中， sin cosAB ”为真命题 5．已知直线 12:3 2 5 0, : (3 1) 2 0l x ay l a x ay       ，若 12//ll，则 a 的值为（ ） A、 1 6 B、 6 C、 0 D、 或 6.记单调递增的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则 A.Sn＋1－Sn＝2n＋1 B.an＝2n C.Sn＝2n－1 D.Sn＝2n－1－1 7.若 ,2sin)(tan xxf  则 )1(f 的值为 （ ） A． 2sin B． 1 C． 2 1 D．1 8.函数   lnf x x x 的图像可能是( ) - 2 - A B C D 9．已知函数 π 3( ) cos( ) 3 cos(π )(0 )22f x x x        的图象过点 5π( ,2)3 ，则要得到函数 ()fx的 图象，只需将函数 2sinyx 的图象（ ） A．向左平移 2π 3 个单位长度 B．向右平移 2π 3 个单位长度 C．向左平移 π 3 个单位长度 D．向右平移 π 3 个单位长度 10. 若圆 2 2 2( 3) ( 5)x y r    上有且只有两个点到直线 4x－3y=2 的距离等于 1，则半径 r 的范围是 （ ） A.（4，6］ B.［4，6） C.（4，6） D.［4，6］ 11.在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，△PAD 是一个正三角形，若平面 PAD⊥平面 ABCD， 则该四棱锥的外接球的表面积为 A．14 3  B． 28 3  C． 56 3  D．112 3  12．定义在 R 上的函数 ()fx满足 '( ) ( ) 2 (xf x f x e e 为自然对数的底数），其中 '( )fx为  fx的导函数， 若 2(2) 4fe ，则 () 2 xfx xe 的解集为（ ） A． ,1 B． 1,  C． ,2 D． 2, 第二部分 非选择题（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将正确填在答题卡的横线上.） 13．己知 x，y 满足约束条件 2 2 0 xy xy x      ，则目标函数 z＝x－3y 的取值范围为 . 14.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 . 15.已知圆： 224 6 12 0x y x y     ，点 ( , )P x y 为圆上任意一点，则 y x 的最大值 . - 3 - 16.己知关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x<－a＋13x 在区间[2，3]上恒成立，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（10 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知(a－b)2＝c2－ab （1）求角 C； （2）若 4 cos( ) sin 02c A b C   ，a＝1，求△ABC 的面积。 18．（ 12 分）在公差不为零的等差数列{}na 中， 1 2 4 81, , ,a a a a 成等比数列. （1）求数列 的通项公式 na ； （2）若数列{}nb 满足 1 1 n nn b aa   ， 12nnT b b b   ，求 nT . 19. （12 分） 已知函数 f(x)=4tanxsin( 2 x  )cos( 3x  )- 3 . （1）求 f(x)的定义域与最小正周期； （2）求 f(x)的单调递增区间. 20.（12 分）如图,在三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别为 AB,PB 的中点,且 ED⊥AB,PA⊥AC,PC⊥BC. ⑴求证:BC⊥平面 PAC; ⑵若 PA=2BC 且 AB=EA,三棱锥 P-ABC 的体积为 1,求点 B 到平面 DCE 的距离. 21. （12 分）已知函数 f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12 和直线 m：y＝kx＋9，且 f′(－1)＝0. - 4 - (Ⅰ)求 a 的值． (Ⅱ)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y＝f(x)的切线，又是曲线 y＝g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值； 如果不存在，请说明理由． 22.（12 分）已知圆 C 经过 ( 2,0), (1, 3)AB 两点，且圆心 C 在直线 1 :l y x 上． （1）求圆 C 的方程； （2）已知过点 (1,2)P 的直线 2l 与圆 C 相交截得的弦长为 23，求直线 的方程； （3）已知点 (1,1)M ，在平面内是否存在异于点 M 的定点 N，对于圆 C 上的任意动点 Q，都有 QN QM 为定值? 若存在求出定点 N 的坐标，若不存在说明理由． - 5 - 2019.10.月月考答案 一、选择题 1．B 2.A 3．A 4．D 5．D 6.C 7．B 8.A 9．B 10.C 11.D 12．C 二、填空题 13. 14.连接 DE，设 AD=2，易知 AD∥BC，∴∠DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角，在△RtADE 中，由于 DE= ，AD=2，可得 AE="3" ，∴cos∠DAE= = ． 15.最大值为 6+2 3 3 16. 17.(10 分) - 6 - 18．（ 12 分）解析:（I）设等差数列 na 的公差为 d ，，则依题意得：          dadada a 73 1 11 2 1 1 ………………… 4 分 1d 或 0d (舍去),所以   ;11 ndnaan  …………………… 6 分 （II）由（I）有 nan ，所以  1 1 1 1 1 11n nn b a a n n n n       ，…… …… …… …… 10 分 12 1 1 1 1 1 1112 2 3 1 1nnT b b b n n n                             . …… …… ……12 分 19.   解：令 2,3zx函数 2sinyz 的单调递增区间是 2 , 2 , .22k k k Z    由 2 2 22 3 2k x k        ,得 5 ,.12 12k x k k Z      设 5, , ,4 4 12 12A B x k x k k Z            ， 20.(12 分) 21.【详解】（1）因为圆C 经过 ( 2,0), (1, 3)AB 两点，且圆心 在直线 1 :l y x 上 - 7 - 设圆C ： 22 0x y Dx Ey F     所以 2( 2) 2 0DF    ， 221 ( 3) 0D E F     ， 22 DE   所 以 0DE， 4F  所以圆 22:4C x y （2）当斜率不存在的时候， 1x  ，弦长为 23，满足题意 当斜率存在的时候，设 2 : 2 ( 1)l y k x   ，即 20kx y k    2 | 2 | 1, 41 3k k k    所以直线 2l 的方程为： 或3 4 5 0xy   （3）设  00, , ( , )Q x y N m n ，且 22 004xy 2222 00 22 00 ( 2 ) ( 2 ) 4( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) 6 m x n y m nQN x m y n QM x y x y               因为 QN QM 为定值，设 22 00 00 ( 2 ) ( 2 ) 4 ( 2) ( 2) 6 m x n y m n xy           化简得： 22 00(2 2 ) (2 2 ) 4 6 0m x n y m n          ，与Q 点位置无关， 所以 22 2 2 0 2 2 0 4 6 0 m n mn            解得： 1mn或 2mn所以定点为(2,2) 22 解： (Ⅰ)由已知得 f ′(x)＝3ax2＋6x－6a.(2 分)∵f ′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(4 分) (Ⅱ)存在．由题意，知直线 m 恒过定点(0，9)． 若直线 m 是曲线 y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x2 0＋6x0＋12)． ∵g′(x)＝6x＋6，∴g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为 y－(3x2 0＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)， 将(0，9)代入切线方程，解得 x0＝±1.当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9； 当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12x＋9.(8 分) 由(Ⅰ)知 f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，f ′(x)＝－6x2＋6x＋12， ①由 f ′(x)＝0 得－6x2＋6x＋12＝0，解得 x＝－1 或 x＝2. 在 x＝－1 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝－18；在 x＝2 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝9， ∴直线 y＝9 是 y＝f(x)与 y＝g(x)的公切线．(10 分) ②由 f ′(x)＝12 得－6x2＋6x＋12＝12，解得 x＝0 或 x＝1. 在 x＝0 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝12x－11；在 x＝1 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝12x－10， ∴y＝12x＋9 不是 y＝f(x)与 y＝g(x)的公切线． 综上所述，y＝f(x)与 y＝g(x)存在符合题意的公切线 y＝9，此时 k＝0.(12 分)