2020届山东省济宁市济宁一中高三上学期10月阶段检测数学试题 8页

页 1 第 济宁一中 2017 级高三年级第一学期阶段检测 数学试题 2019.10 注意事项：1.本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 2.选择题答案请填涂在答题卡的相应位置，非选择题答案必须用黑色签字笔写在规定的答题 区域内，否则不得分。 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．已知集合 2{ | 2 0}M x x x    ， { 1,0,1,2}N  ，则 MN的子集个数为（ ） A． 2 B． 4 C．8 D．16 2．已知复数 2zi，则 1 z i 在复平面上对应的点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在等差数列{}na 中，若 3 5a  ， 4 24S  ，则 9a  （ ） A． 5 B． 7 C． 9 D． 11 4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A． 3()f x x x B． ( ) 3 1xfx C． 1()fx x D． 3( ) logf x x 5． 7cos( )24     ，则cos2 的值为（ ） 山东中学联盟 A． 1 8 B． 7 16 C． 1 8 D．13 16 6．已知向量 ( 1,2)a  ， (1, )bm ，则“ 1 2m  ”是 ,ab为钝角的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若向量 a ，b 的夹角为 3  ，且| | 2a  ，| | 1b  r ，则向量 2ab 与向量 的夹角为（ ） 页 2 第 A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  8．函数 ()fx在(0, ) 上单调递增，且 ( 2)fx 关于 2x  对称，若 ( 2) 1f ，则 ( 2) 1fx 的 x 的取值范围是（ ） A．[ 2,2] B．   , 2 2,    C．   ,0 4,   D．[0,4] 9．设函数 2 sin cos( ) ( , 0)x x xf x a R aax    ，若 ( 2019) 2f ， (2019)f  （ ） A． 2 B． 2 C． 2019 D． 2019 10．函数 ( ) sin( )f x A x（其中 0, 0A ，||2   ）的图象如图所示，为了得到 ()y f x 的图象，只需把 13( ) sin cos22g x x x 的图象上所有点（ ） A．向左平移 6  个单位长度 B．向左平移 3  个单位长度 C．向右平移 6  个单位长度 D．向右平移 个单位长度 11．在 ABC 中，M 是 BC 的中点， 1AM  ，点 P 在 AM 上且满足 2AP PM ，则 ()PA PB PC 等于（ ） A． 4 3 B． 4 3 C． 4 9 D． 4 9 12．定义在 R 上的函数 ()fx满足： ( ) '( ) 1f x f x， (0) 4f  ，则不等式 ( ) 3xxe f x e 的解 集为（ ） A．(3,+ ∞) B．(－∞,0)∪(3,+ ∞) C．(－∞,0)∪(0,+∞) D． (0,+∞) 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分． 13．若等差数列 na 的前5 项和为 25 ，则 3a _________．Sdzxlm 页 3 第 14. 已知 (3,4)a  ， ( , 6)bt，且 ,ab共线，则向量a 在b 方向上的投影为__________． 15．设 ( ) sin2 3cos2f x x x ，将 ()fx的图像向右平移 ( 0) 个单位长度，得到 ()gx的图 像，若 ()gx是偶函数，则 的最小值为__________． 16．已知函数 1 1, 1() 3 ln , 1 xxfx xx      ，则当函数 ( ) ( )F x f x ax恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：本题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． 17．（本小题满分 10 分）已知函数 y=ax（a＞0 且 a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为 20，记 ． （1）求 a 的值； （2）证明 ； （3）求 的值． 18.（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （I）求函数 ()fx的最小正周期和对称中心坐标； （II）讨论 ()fx在区间[0, ]2  上的单调性． 19．（本小题满分 12 分）已知 ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc， 2cos ( cos cos ) 0C a C c A b   ． （1）求角C 的大小； （2）若 2, 2 3bc ，求 的面积． 页 4 第 20. （本小题满分 12 分） 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和．已知 an>0，a2 n＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝ 1 anan＋1 ，求数列{bn}的前 n 项和． 21. （本小题满分 12 分）某品牌电脑体验店预计全年购入 360 台电脑，已知该品牌电脑的 进价为 3 000 元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入 x(x∈N*)台，且每批需付运费 300 元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系 数为 k)，若每批购入 20 台，则全年需付运费和保管费 7 800 元． (1)记全年所付运费和保管费之和为 y 元，求 y 关于 x 的函数； (2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？ 22．（本小题满分 12 分）已知 a 为实数，函数 2() xf x e ax． （1）讨论函数 ()fx的单调性； （2）若函数 ()fx有两个不同的零点 1 2 1 2, ( )x x x x ， ①求实数a 的取值范围； ②证明： 122xx． 页 5 第 济宁一中 2017 级高三年级第一学期第二次阶段检测 数学答案 一、 选择题。（本大题共 12 小题，每小题 5 分．满分 60 分） 1—5： C D B A A 6—10: B A D B B 11—12： C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】5 14. 【答案】 15．【答案】 5 12  16．【答案】 11[ , )3 e 【解析】由题可知方程 ()f x ax 恰有两个不同的实数根， 所以 ()y f x 与 y ax 有 2 个交点．因为 a 表示直线 y ax 的斜率，当 1x  时， 1()fx x   ， 设切点坐标为 00( , )xy， 0 1k x ，所以切线方程为 00 0 1 ()y y x xx   ， 而切线过原点，所以 0 1y  ， 0xe ， 1k e ，所以直线 1l 的斜率为 1 e ， 山东中学联盟 直线 2l 与 1 13yx平行，所以直线 2l 的斜率为 1 3 ，所以实数a 的取值范围是 11[ , )3 e ． 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 17. 解：（1）函数 y=ax（a＞0 且 a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为 20， 而函数 y=ax（a＞0 且 a≠1）在[1，2]上单调递增或单调递减 , ∴a+a2=20，得 a=4，或 a=-5（舍去）,∴a=4 ; （2）证明： , ∴ = = = =1 ; （3）由（2）知，=1009。 18.解：（Ⅰ） 页 6 第 ， 对称中心为 （II） 增区间 , 减区间 19．【解析】（1）∵ 2cos ( cos cos ) 0C a C c A b   ， 由正弦定理可得 2cos (sin cos sin cos ) sin 0C A C C A B   ， ∴ 2cos sin( ) sin 0C A C B   ，即2cos sin sin 0C B B， 又0 180B   ，∴sin 0B  ，∴ 1cos 2C  ，即 120C ． （2）由余弦定理可得 2 2 2 2(2 3) 2 2 2 cos120 2 4a a a a        ， 又 0, 2aa，∴ 1 sin 32ABCS ab C ，∴ ABC 的面积为 3 ． 20. 解： (1)由 a2 n＋2an＝4Sn＋3， ① 可知 a2 n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3. ② ②－①，得 a2 n＋1－a2 n＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即 2(an＋1＋an)＝a2 n＋1－a2 n＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由 an>0，得 an＋1－an＝2. 又 a2 1＋2a1＝4a1＋3，解得 a1＝－1(舍去)或 a1＝3. 所以{an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an＝2n＋1. (2)由 an＝2n＋1 可知 bn＝ 1 anan＋1 ＝ 1 2n＋12n＋3＝1 2 1 2n＋1－ 1 2n＋3 . 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1 2   1 3－1 5 ＋ 1 5－1 7 ＋…＋ 1 2n＋1－ 1 2n＋3 ＝ n 32n＋3. 21. 解：(1)由题意，得 y＝360 x ×300＋k×3 000x. sdzxlm 当 x＝20 时，y＝7 800，解得 k＝0.04. 所以 y＝360 x ×300＋0.04×3 000x＝360 x ×300＋120x(x∈N*)． (2)由(1)，得 y＝360 x ×300＋120x≥2 360×300 x ×120x＝2×3 600＝7 200. 页 7 第 当且仅当360×300 x ＝120x，即 x＝30 时，等号成立． 所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑 30 台． 22．【解析】（1） 2() xf x e a ， 当 0a  时， ( ) 0fx  ，函数 ()fx在 R 上单调递增； 当 0a  时，由 2( ) 0xf x e a    ，得 2 lnxa ， 若 2 lnxa ，则 ( ) 0fx  ，函数 ()fx在(2 ln , )a  上单调递增； ②若 2 lnxa ，则 ( ) 0fx  ，函数 ()fx在( ,2 ln )a  上单调递减． （2）①由（1）知，当 0a  时， ()fx在 R 上单调递增，没有两个不同的零点，当 0a  时， ()fx在 2 lnxa 处取得极小值， 所以 ln(2 ln ) (2 ln ) 0af a e a a     ，得 1a e ，所以a 的取值范围为 1( , )e  ． ②由 2e0x ax ，得 2 ln ln lnx ax a x    ，得 2 ln lnx x a   ， 所以 1 1 2 22 ln 2 ln lnx x x x a      ， 令 ( ) 2 ln ( 0)g x x x x    ，则 1( ) 1gx x   ， 当 1x  时， ( ) 0gx  ；当01x时， ( ) 0gx  ， 所以 ()gx在(0,1) 上单调递减，在(1, ) 上单调递增， 所以 1201xx   ，要证 122xx，只需证 2121xx   ， 因为 ()gx在(1, ) 上单调递增，所以只需证    212g x g x， 因为    12g x g x ，所以只需证    112g x g x，即证    1120g x g x   ， 令  ( ) ( ) (2 ) 2 ln 2 2 ln(2 )h x g x g x x x x x           2 2 ln ln(2 )x x x    ， 则 11( ) 2 ( )2hx xx      ， 山东中学联盟 因为 1 1 1 1 1[ (2 )]( ) 22 2 2xxx x x x      ，当且仅当 1x  时等号成立，所以当01x时， 页 8 第 ( ) 0hx  ，即 ()hx在(0,1) 上单调递减，所以 ( ) (1) 0h x h，即    1120g x g x   ，所以 122xx得证．