2019-2020学年高中数学课时作业4二元平均值不等式北师大版选修4-5 12页

课时作业(四)‎ ‎(第一次作业)‎ ‎1．下列不等式证明过程正确的是(　　)‎ A．若a，b∈R，则＋≥2＝2‎ B．若x>0，y>0，则lgx＋lgy≥2 C．若x<0，则x＋≥－2＝－4‎ D．若x<0，则2x＋2－x>2＝2‎ 答案　D 解析　∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1.‎ ‎∴2x＋2－x>2＝2.∴D正确．‎ 而A，B首先不满足“一正”，C应当为“≤”．‎ ‎2．(2013·重庆)(－6≤a≤3)的最大值为(　　)‎ A．9　　　　　　　　 B. C．3 D. 答案　B 解析　方法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．‎ 方法二：＝≤，当且仅当a＝－时等号成立．‎ ‎3．已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是(　　)‎ A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 答案　D 解析　只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0，1)，∴a20，则y＝3－3x－的最大值是(　　)‎ A．3 B．3－3 C．3－2 D．－1‎ 答案　C ‎5．若a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式成立的是(　　)‎ 12‎ A．ab≤ B．a2＋b2≤ C．a2＋b2> D．ab≤ 答案　D ‎6．(2013·福建)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)‎ A．[0，2] B．[－2，0]‎ C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ 答案　D 解析　∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2，故选D.‎ ‎7．(2011·陕西)设00，y>0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是(　　)‎ A．40 B．10‎ C．4 D．2‎ 答案　D 解析　∵x＋4y＝40，且x>0，y>0，‎ ‎∴x＋4y≥2＝4.(当且仅当x＝4y时取“＝”)‎ ‎∴4≤40.∴xy≤100.‎ ‎∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.‎ ‎∴lgx＋lgy的最大值为2.‎ ‎9．当x>2时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，2] B．(－∞，4]‎ C．[0，＋∞) D．[2，4]‎ 答案　B 12‎ 解析　∵x＋≥2恒成立，‎ ‎∴a必须小于或等于x＋的最小值．‎ ‎∵x>2，∴x－2>0.‎ ‎∴x＋＝(x－2)＋＋2≥4.(当且仅当x＝3时，取“＝”)‎ ‎10．(2015·湖南)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A. B．2‎ C．2 D．4‎ 答案　C 解析　方法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋‎2a≥2，∴ab≥2.‎ 方法二：由题设易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，选C.‎ ‎11．下列函数中，最小值为4的是________．‎ ‎①y＝x＋； ②y＝sinx＋(00)，由ab＝a＋b＋3≥2＋3，则t2≥2t＋3，所以t≥3或t≤－1(舍去)，所以≥3，ab≥9，当a＝b＝3时取等号．‎ 12‎ ‎14．建造一个容积为‎8 m3‎，深为‎2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁‎1 m2‎的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为________元．‎ 答案　1 760‎ 解析　设水池底面的长度、宽度分别为a m，b m，则ab＝4，令水池表面的总造价为y，‎ 则y＝ab×120＋2(‎2a＋2b)×80‎ ‎＝480＋320(a＋b)≥480＋320×2＝480＋320×4＝1 760，当且仅当a＝b＝2时取“＝”．‎ ‎15．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求a＋b的最小值．‎ 思路一　化二元函数为一元函数．‎ 解析一　∵ab＝a＋b＋3，∴b＝.‎ 由得a＞1.‎ ‎∴a＋b＝a＋＝a＋1＋ ‎＝a－1＋＋2≥2＋2＝6.‎ ‎(当且仅当a－1＝即a＝3时，上式取“＝”号．)‎ ‎∴a＋b的最小值为6.‎ 思路二　将ab＝a＋b＋3与ab≤()2联立消去ab可建立关于a＋b的不等式，求出a＋b的取值范围，从而求得a＋b的最小值．‎ 解析二　∵ab≤()2，①‎ 将ab＝a＋b＋3代入①式，得 a＋b＋3≤()2.‎ 整理得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，‎ 解得a＋b≥6或a＋b≤－2.‎ ‎∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥6.‎ ‎∴a＋b的最小值为6.‎ ‎16．已知a>0，b>0，c>0且a，b，c不全相等，求证：＋＋>a＋b＋c.‎ 证明　∵a，b，c ∈R＋，且不全相等，‎ ‎∴＋≥2 ＝‎2c.‎ 12‎ 同理：＋≥‎2a，＋≥2b.‎ 上述三个等号至少有一个不成立，三式相加，得 ‎2>2(a＋b＋c)．‎ 即＋＋>a＋b＋c.‎ ‎1．设a>0，b>0，且ab－a－b≥1，则(　　)‎ A．a＋b≥2(＋1) B．a＋b≤＋1‎ C．a＋b≤(＋1)2 D．a＋b≤2(＋1)‎ 答案　A ‎2．在下列结论中，错用算术平均数与几何平均数不等式作依据的是(　　)‎ A．x，y均为正数，则＋≥2 B．a为正数，则(1＋a)(a＋)≥4‎ C．lgx＋logx10≥2，其中x>1 D.≥2‎ 答案　B ‎3．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　)‎ A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ 答案　B ‎4．(2013·山东)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)‎ A．0 B. C．2 D. 答案　C 解析　＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.‎ ‎5．(2012·福建)下列不等式一定成立的是(　　)‎ 12‎ A．lg(x2＋)>lgx(x>0) B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)‎ 答案　C 解析　取x＝，则lg(x2＋)＝lgx，故排除A；取x＝π，则sinx＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，故排除D.应选C.‎ ‎6．(2013·四川)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．‎ 答案　36‎ 解析　f(x)＝4x＋≥2＝4(当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号)，则由题意知a＝4×32＝36.‎ ‎7．已知a，b，c∈R，求证：‎ ‎(1)＋＋≥(a＋b＋c)；‎ ‎(2)a4＋b4＋c4≥a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2≥abc(a＋b＋c)．‎ 证明　(1)∵≥()2，‎ ‎∴≥≥.‎ 即≥(a＋b)．‎ 同理≥(b＋c)，‎ ≥(c＋a)．‎ 三式相加，得 ＋＋≥(a＋b＋c)．‎ ‎(2)∵a4＋b4≥‎2a2b2，b4＋c4≥2b‎2c2，c4＋a4≥‎2c2a2，‎ ‎∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2)．‎ 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2.‎ 又a2b2＋b‎2c2≥2ab‎2c，b‎2c2＋c‎2a2≥2abc2，‎ c‎2a2＋a2b2≥‎2a2bc，‎ ‎∴2(a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2)≥2(ab‎2c＋abc2＋a2bc)．‎ 即a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2≥ab‎2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)．‎ 12‎ ‎8．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽‎2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料‎60 m2‎，问a，b各为多少m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)．‎ 答案　a＝‎6 m，b＝‎‎3 m 解析　设y为流出的水中杂质的质量分数，‎ 根据题意可知：y＝，其中k是比例系数且k>0.‎ 依题意要使y最小，只需求ab的最大值．‎ 由题设，得4b＋2ab＋‎2a＝60(a>0，b>0)，‎ 即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)．‎ ‎∵a＋2b≥2，∴2·＋ab≤30.‎ 当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值．‎ ‎∴当a＝2b时有2·＋ab＝30，即b2＋2b－15＝0.‎ 解之得b1＝3，b2＝－5(舍去)，∴a＝2b＝6.‎ 故当a＝‎6 m，b＝‎3 m时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最少．‎ 课时作业(四)‎ 12‎ ‎(第二次作业)‎ ‎1．下列结论正确的是(　　)‎ A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2 B．当x>0时，＋≥2‎ C．当x≥2时，x＋最小值为2 D．当00时，y＝＝x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立．当x<0时，y＝＝－(－x＋)≤－2，当且仅当x＝－1时，等号成立．‎ ‎3．若x，y>0，且2x＋3y＝1，则＋的最小值是(　　)‎ A．5－2 B．5＋2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　∵2x＋3y＝1，∴＋＝(＋)(2x＋3y)＝2＋3＋＋≥5＋2.‎ ‎4．若实数a，b满足a＋b＝4，则‎3a＋3b的最小值是(　　)‎ A．18 B．6‎ C．2 D．4 答案　A 解析　∵‎3a>0，3b>0，∴‎3a＋3b≥2＝2＝18.当且仅当‎3a＝3b即a＝b＝2时，等号成立．‎ ‎5．设x，y>0，若＋≤k恒成立，则k的最小值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D．2 答案　C 12‎ 解析　∵k≥恒成立，∴只需求的最大值即可．‎ ‎∵()2＝＝1＋≤1＋1＝2，故kmin＝.‎ ‎6．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 答案　B 解析　z＝(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2 ＝1＋a＋2＝(1＋)2对任意正实数x，y恒有z≥9.‎ 即(1＋)2≥9，∴a≥4.‎ ‎7．若点A(x，y)在第一象限且在2x＋3y＝6上移动，则logx＋logy(　　)‎ A．最大值为1 B．最小值为1‎ C．最大值为2 D．没有最大、最小值 答案　A ‎8．若a，b∈R＋，且‎2a＋b＝1，则S＝2－‎4a2－b2的最大值是(　　)‎ A.－1 B. C.＋1 D. 答案　B 解析　S＝2－(‎4a2＋b2)＝·－[(‎2a)2＋b2]≤－2()2＝.‎ ‎9．已知正整数a，b满足‎4a＋b＝30，则使得＋取得最小值时，实数对(a，b)是(　　)‎ A．(5，10) B．(6，6)‎ C．(10，5) D．(7，2)‎ 答案　A 解析　方法一：∵a>0，b>0，＋＝1，∴＋＝(＋)·＝(4＋＋＋1)≥[5＋2 ]＝(5＋4)＝.‎ 当且仅当＝，即‎4a2＝b2，即b＝‎2a时“＝”成立，故选A.‎ 12‎ 方法二：将答案代入验证．‎ ‎10．设a，b，c是正实数，且a，b满足＋＝1，则使a＋b≥c恒成立的c的范围是(　　)‎ A．(0，8] B．(0，10]‎ C．(0，12] D．(0，16]‎ 答案　D ‎11．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．‎ 答案　3‎ 解析　因为x>0，y>0，所以＋≥2＝当且仅当＝，即x＝，y＝2时取等号，即≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3.‎ ‎12．已知a，b为正实数，且a＋2b＝1，则＋的最小值为________．‎ 答案　3＋2 解析　(＋)(a＋2b)＝1＋＋＋2≥2＋3＝2＋3.‎ ‎13．一批货物随17列货车从A市以v km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长为‎400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于()‎2 km(货车的长度忽略不计)，那么这批货物全部运到B市，最快需要________ h.‎ 答案　8‎ 解析　这批货均从A市全部运到B市的时间t＝＝＋≥2 ＝8.‎ ‎14．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．‎ 答案　3‎ 解析　∵y＝，∴＝＝＋≥＋＝3.‎ ‎15．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.‎ 解析　∵x＋y＝(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，‎ 当且仅当＝时取等号．‎ 12‎ 又(x＋y)min＝(＋)2＝18，‎ 即a＋b＋2＝18.　　 ①‎ 又a＋b＝10，　　 ②‎ 由①②可得或 ‎16．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)a2＋b2＋c2≥；‎ ‎(2)＋＋≤.‎ 证明　(1)由a2＋≥2＝a，b2＋≥2＝b，c2＋≥2＝c，相加得：a2＋b2＋c2＋≥(a＋b＋c)＝，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．‎ 所以a2＋b2＋c2≥.‎ ‎(2)由a>0，b>0，c>0，所以 ≤，≤，≤，‎ 相加得：≤＝1.‎ 所以＋＋≤.‎ 当且仅当a＝b＝c＝时取等号．‎ ‎1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值为(　　)‎ A．()3π B．()3π C．()3π D.()3π 答案　A ‎2．下列不等式 ‎①x＋≥2；②|x＋|≥2；‎ ‎③若00时，x＋≥2，当x<0时错，②∵x与同号，∴正确；③当00，b>0，a2＋＝1，则a的最大值是______________．‎ 答案　 解析　∵a2＋＝1⇔a2＋＝，∴a＝· ≤·＝·＝.当且仅当即a＝，b＝时取“＝”．‎ 12‎