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  • 2021-06-09 发布

2019-2020学年高中数学课时作业4二元平均值不等式北师大版选修4-5

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课时作业(四)‎ ‎(第一次作业)‎ ‎1.下列不等式证明过程正确的是(  )‎ A.若a,b∈R,则+≥2=2‎ B.若x>0,y>0,则lgx+lgy≥2 C.若x<0,则x+≥-2=-4‎ D.若x<0,则2x+2-x>2=2‎ 答案 D 解析 ∵x<0,∴2x∈(0,1),2-x>1.‎ ‎∴2x+2-x>2=2.∴D正确.‎ 而A,B首先不满足“一正”,C应当为“≤”.‎ ‎2.(2013·重庆)(-6≤a≤3)的最大值为(  )‎ A.9         B. C.3 D. 答案 B 解析 方法一:因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0.由基本不等式,可知≤=,当且仅当a=-时等号成立.‎ 方法二:=≤,当且仅当a=-时等号成立.‎ ‎3.已知a,b∈(0,1)且a≠b,下列各式中最大的是(  )‎ A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b 答案 D 解析 只需比较a2+b2与a+b.由于a,b∈(0,1),∴a20,则y=3-3x-的最大值是(  )‎ A.3 B.3-3 C.3-2 D.-1‎ 答案 C ‎5.若a>0,b>0,且a+b=1,则下列不等式成立的是(  )‎ 12‎ A.ab≤ B.a2+b2≤ C.a2+b2> D.ab≤ 答案 D ‎6.(2013·福建)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(  )‎ A.[0,2] B.[-2,0]‎ C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]‎ 答案 D 解析 ∵2x+2y≥2=2(当且仅当2x=2y时等号成立),∴≤,∴2x+y≤,得x+y≤-2,故选D.‎ ‎7.(2011·陕西)设00,y>0,且x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是(  )‎ A.40 B.10‎ C.4 D.2‎ 答案 D 解析 ∵x+4y=40,且x>0,y>0,‎ ‎∴x+4y≥2=4.(当且仅当x=4y时取“=”)‎ ‎∴4≤40.∴xy≤100.‎ ‎∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2.‎ ‎∴lgx+lgy的最大值为2.‎ ‎9.当x>2时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,2] B.(-∞,4]‎ C.[0,+∞) D.[2,4]‎ 答案 B 12‎ 解析 ∵x+≥2恒成立,‎ ‎∴a必须小于或等于x+的最小值.‎ ‎∵x>2,∴x-2>0.‎ ‎∴x+=(x-2)++2≥4.(当且仅当x=3时,取“=”)‎ ‎10.(2015·湖南)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(  )‎ A. B.2‎ C.2 D.4‎ 答案 C 解析 方法一:由已知得+==,且a>0,b>0,∴ab=b+‎2a≥2,∴ab≥2.‎ 方法二:由题设易知a>0,b>0,∴=+≥2,即ab≥2,选C.‎ ‎11.下列函数中,最小值为4的是________.‎ ‎①y=x+; ②y=sinx+(00),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.‎ 12‎ ‎14.建造一个容积为‎8 m3‎,深为‎2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁‎1 m2‎的造价分别为120元和80元,那么水池表面积的最低造价为________元.‎ 答案 1 760‎ 解析 设水池底面的长度、宽度分别为a m,b m,则ab=4,令水池表面的总造价为y,‎ 则y=ab×120+2(‎2a+2b)×80‎ ‎=480+320(a+b)≥480+320×2=480+320×4=1 760,当且仅当a=b=2时取“=”.‎ ‎15.已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,求a+b的最小值.‎ 思路一 化二元函数为一元函数.‎ 解析一 ∵ab=a+b+3,∴b=.‎ 由得a>1.‎ ‎∴a+b=a+=a+1+ ‎=a-1++2≥2+2=6.‎ ‎(当且仅当a-1=即a=3时,上式取“=”号.)‎ ‎∴a+b的最小值为6.‎ 思路二 将ab=a+b+3与ab≤()2联立消去ab可建立关于a+b的不等式,求出a+b的取值范围,从而求得a+b的最小值.‎ 解析二 ∵ab≤()2,①‎ 将ab=a+b+3代入①式,得 a+b+3≤()2.‎ 整理得(a+b)2-4(a+b)-12≥0,‎ 解得a+b≥6或a+b≤-2.‎ ‎∵a>0,b>0,∴a+b≥6.‎ ‎∴a+b的最小值为6.‎ ‎16.已知a>0,b>0,c>0且a,b,c不全相等,求证:++>a+b+c.‎ 证明 ∵a,b,c ∈R+,且不全相等,‎ ‎∴+≥2 =‎2c.‎ 12‎ 同理:+≥‎2a,+≥2b.‎ 上述三个等号至少有一个不成立,三式相加,得 ‎2>2(a+b+c).‎ 即++>a+b+c.‎ ‎1.设a>0,b>0,且ab-a-b≥1,则(  )‎ A.a+b≥2(+1) B.a+b≤+1‎ C.a+b≤(+1)2 D.a+b≤2(+1)‎ 答案 A ‎2.在下列结论中,错用算术平均数与几何平均数不等式作依据的是(  )‎ A.x,y均为正数,则+≥2 B.a为正数,则(1+a)(a+)≥4‎ C.lgx+logx10≥2,其中x>1 D.≥2‎ 答案 B ‎3.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则(  )‎ A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ 答案 B ‎4.(2013·山东)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为(  )‎ A.0 B. C.2 D. 答案 C 解析 ==+-3≥2-3=1,当且仅当x=2y时等号成立,因此z=4y2-6y2+4y2=2y2,所以x+2y-z=4y-2y2=-2(y-1)2+2≤2.‎ ‎5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是(  )‎ 12‎ A.lg(x2+)>lgx(x>0) B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)‎ 答案 C 解析 取x=,则lg(x2+)=lgx,故排除A;取x=π,则sinx=-1,故排除B;取x=0,则=1,故排除D.应选C.‎ ‎6.(2013·四川)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=________.‎ 答案 36‎ 解析 f(x)=4x+≥2=4(当且仅当4x=,即a=4x2时取等号),则由题意知a=4×32=36.‎ ‎7.已知a,b,c∈R,求证:‎ ‎(1)++≥(a+b+c);‎ ‎(2)a4+b4+c4≥a2b2+b‎2c2+c‎2a2≥abc(a+b+c).‎ 证明 (1)∵≥()2,‎ ‎∴≥≥.‎ 即≥(a+b).‎ 同理≥(b+c),‎ ≥(c+a).‎ 三式相加,得 ++≥(a+b+c).‎ ‎(2)∵a4+b4≥‎2a2b2,b4+c4≥2b‎2c2,c4+a4≥‎2c2a2,‎ ‎∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b‎2c2+c‎2a2).‎ 即a4+b4+c4≥a2b2+b‎2c2+c‎2a2.‎ 又a2b2+b‎2c2≥2ab‎2c,b‎2c2+c‎2a2≥2abc2,‎ c‎2a2+a2b2≥‎2a2bc,‎ ‎∴2(a2b2+b‎2c2+c‎2a2)≥2(ab‎2c+abc2+a2bc).‎ 即a2b2+b‎2c2+c‎2a2≥ab‎2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).‎ 12‎ ‎8.如图所示,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽‎2 m的无盖长方体的沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料‎60 m2‎,问a,b各为多少m时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔面积忽略不计).‎ 答案 a=‎6 m,b=‎‎3 m 解析 设y为流出的水中杂质的质量分数,‎ 根据题意可知:y=,其中k是比例系数且k>0.‎ 依题意要使y最小,只需求ab的最大值.‎ 由题设,得4b+2ab+‎2a=60(a>0,b>0),‎ 即a+2b+ab=30(a>0,b>0).‎ ‎∵a+2b≥2,∴2·+ab≤30.‎ 当且仅当a=2b时取“=”号,ab有最大值.‎ ‎∴当a=2b时有2·+ab=30,即b2+2b-15=0.‎ 解之得b1=3,b2=-5(舍去),∴a=2b=6.‎ 故当a=‎6 m,b=‎3 m时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最少.‎ 课时作业(四)‎ 12‎ ‎(第二次作业)‎ ‎1.下列结论正确的是(  )‎ A.当x>0且x≠1时,lgx+≥2 B.当x>0时,+≥2‎ C.当x≥2时,x+最小值为2 D.当00时,y==x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立.当x<0时,y==-(-x+)≤-2,当且仅当x=-1时,等号成立.‎ ‎3.若x,y>0,且2x+3y=1,则+的最小值是(  )‎ A.5-2 B.5+2 C.3 D.4‎ 答案 B 解析 ∵2x+3y=1,∴+=(+)(2x+3y)=2+3++≥5+2.‎ ‎4.若实数a,b满足a+b=4,则‎3a+3b的最小值是(  )‎ A.18 B.6‎ C.2 D.4 答案 A 解析 ∵‎3a>0,3b>0,∴‎3a+3b≥2=2=18.当且仅当‎3a=3b即a=b=2时,等号成立.‎ ‎5.设x,y>0,若+≤k恒成立,则k的最小值为(  )‎ A.1 B.2‎ C. D.2 答案 C 12‎ 解析 ∵k≥恒成立,∴只需求的最大值即可.‎ ‎∵()2==1+≤1+1=2,故kmin=.‎ ‎6.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(  )‎ A.2 B.4‎ C.6 D.8‎ 答案 B 解析 z=(x+y)(+)=1+a++≥1+a+2 =1+a+2=(1+)2对任意正实数x,y恒有z≥9.‎ 即(1+)2≥9,∴a≥4.‎ ‎7.若点A(x,y)在第一象限且在2x+3y=6上移动,则logx+logy(  )‎ A.最大值为1 B.最小值为1‎ C.最大值为2 D.没有最大、最小值 答案 A ‎8.若a,b∈R+,且‎2a+b=1,则S=2-‎4a2-b2的最大值是(  )‎ A.-1 B. C.+1 D. 答案 B 解析 S=2-(‎4a2+b2)=·-[(‎2a)2+b2]≤-2()2=.‎ ‎9.已知正整数a,b满足‎4a+b=30,则使得+取得最小值时,实数对(a,b)是(  )‎ A.(5,10) B.(6,6)‎ C.(10,5) D.(7,2)‎ 答案 A 解析 方法一:∵a>0,b>0,+=1,∴+=(+)·=(4+++1)≥[5+2 ]=(5+4)=.‎ 当且仅当=,即‎4a2=b2,即b=‎2a时“=”成立,故选A.‎ 12‎ 方法二:将答案代入验证.‎ ‎10.设a,b,c是正实数,且a,b满足+=1,则使a+b≥c恒成立的c的范围是(  )‎ A.(0,8] B.(0,10]‎ C.(0,12] D.(0,16]‎ 答案 D ‎11.已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为________.‎ 答案 3‎ 解析 因为x>0,y>0,所以+≥2=当且仅当=,即x=,y=2时取等号,即≤1,解得xy≤3,所以其最大值为3.‎ ‎12.已知a,b为正实数,且a+2b=1,则+的最小值为________.‎ 答案 3+2 解析 (+)(a+2b)=1+++2≥2+3=2+3.‎ ‎13.一批货物随17列货车从A市以v km/h匀速直达B市,已知两地铁路线长为‎400 km,为了安全,两列货车的间距不得小于()‎2 km(货车的长度忽略不计),那么这批货物全部运到B市,最快需要________ h.‎ 答案 8‎ 解析 这批货均从A市全部运到B市的时间t==+≥2 =8.‎ ‎14.设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则的最小值是________.‎ 答案 3‎ 解析 ∵y=,∴==+≥+=3.‎ ‎15.已知a,b,x,y∈R+,x,y为变数,a,b为常数,且a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b.‎ 解析 ∵x+y=(x+y)(+)=a+b++≥a+b+2=(+)2,‎ 当且仅当=时取等号.‎ 12‎ 又(x+y)min=(+)2=18,‎ 即a+b+2=18.   ①‎ 又a+b=10,   ②‎ 由①②可得或 ‎16.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,证明:‎ ‎(1)a2+b2+c2≥;‎ ‎(2)++≤.‎ 证明 (1)由a2+≥2=a,b2+≥2=b,c2+≥2=c,相加得:a2+b2+c2+≥(a+b+c)=,当且仅当a=b=c=时取等号.‎ 所以a2+b2+c2≥.‎ ‎(2)由a>0,b>0,c>0,所以 ≤,≤,≤,‎ 相加得:≤=1.‎ 所以++≤.‎ 当且仅当a=b=c=时取等号.‎ ‎1.如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值为(  )‎ A.()3π B.()3π C.()3π D.()3π 答案 A ‎2.下列不等式 ‎①x+≥2;②|x+|≥2;‎ ‎③若00时,x+≥2,当x<0时错,②∵x与同号,∴正确;③当00,b>0,a2+=1,则a的最大值是______________.‎ 答案  解析 ∵a2+=1⇔a2+=,∴a=· ≤·=·=.当且仅当即a=,b=时取“=”.‎ 12‎

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