河南省豫南市级示范性高中2019-2020学年高二上学期联考语文试题 11页

课时作业(二)‎ ‎1．下列四个结论：‎ ‎①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数．‎ ‎②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点．‎ ‎③数列的项数是无限的．‎ ‎④数列的通项公式是唯一的．‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①②　　　　　　　　 B．①②③‎ C．②③ D．①②③④‎ 答案　A 解析　数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列的通项公式可以不唯一．例如数列1，0，－1，0，1，0，－1，0…的通项可以是an＝sin，也可以是an＝cos等．‎ ‎2．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么这个数列是(　　)‎ A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 答案　A 解析　an＝＝1－，随着n的增大而增大．‎ ‎3．若函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，则f(n)是(　　)‎ A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 答案　A 解析　∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，‎ ‎∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…，‎ f(n＋1)>f(n)，…，∴f(n)是递增数列．‎ ‎4．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　)‎ A．103 B．108 C．103 D．108‎ 答案　D ‎5．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}是(　　)‎ A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 答案　B 解析　由a1>0，且an＋1＝an，‎ 则an>0，又＝<1，∴an＋1an＋1‎ D．an与an＋1的大小关系和n有关 答案　B 解析　∵an＝＝＝1＋，‎ ‎∴an－an＋1＝－＝.‎ 当c－1>0时，an>an＋1；当c－1<0时，anan(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图像是(　　)‎ 答案　A 解析　据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即函数y＝f(x)的图像上任一点(x，y)都满足y>x，结合图像，只有A满足，故选A.‎ ‎9．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中最大的项为第________项．‎ 答案　5‎ 解析　∵f(n)＝－2n2＋21n ‎＝－2(n－)2＋(n∈N*)，‎ ‎∴n＝5或6时an最大．‎ ‎∵a5＝55，a6＝54，∴最大项为第5项．‎ ‎10．已知数列{an}的通项公式是an＝ 则它的前4项为________．‎ 答案　，，， ‎11．已知数列{an}满足a1>0，＝2，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．‎ 答案　递增 解析　由已知a1>0，＝2，得an>0.又an＋1－an＝2an－an>0，所以{an}是递增数列．‎ ‎12．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是第________项和第________项．‎ 答案　10　9‎ ‎13．已知an＝a()n(a为常数且a≠0)，试判断{an}的单调性．下面是一学生的解法，这种解法对吗？如果不对给出你的结论．‎ ‎∵an－an－1＝a()n－a()n－1＝－a()n<0，‎ ‎∴{an}是递减数列．‎ 解析　这种解法误认为a>0，所以不对，对于非零实数a应讨论a>0和a<0两种情况．‎ ‎∵an－an－1＝－a()n(n≥2)，‎ ‎∴当a>0时，an－an－1<0.‎ ‎∴an0，‎ ‎∴an>an－1.∴{an}是递增数列．‎ ‎14．已知数列{an}为，－，，－，…‎ ‎(1)写出数列的通项公式；‎ ‎(2)计算a10，a15，a2n＋1；‎ ‎(3)证明：数列{|an|} 是递增数列．‎ 解析　(1)原数列变形为：，－，，－，…，分别考查数列的分子，分母与项数n的关系以及符号相间出现，第一项为正，所以数列的通项公式为an＝(－1)n＋1.‎ ‎(2)当n＝10，则a10＝－＝－；‎ 当n＝15时，则a15＝；‎ 将an中n换成2n＋1时，得a2n＋1＝(－1)2n＋2·.‎ ‎(3)令bn＝|an|(n∈N*)，‎ 则bn＝|(－1)n＋1|＝.‎ ‎∵bn＋1－bn＝－＝>0.‎ ‎∴bn＋1>bn.即对一切正整数n，恒有|an＋1|>|an|成立．因此数列{|an|}‎ 为递增数列．‎ 讲评　本题求解时，若与函数的定义，函数相关的性质联系容易理解，an＝f(n)即为函数的解析式；a10＝f(10)，即是函数在n＝10的函数值；a2n＋1＝f(2n＋1)即为函数代换，将函数中的变量n换成了2n＋1；当|an＋1|>|an|时，则数列在n∈N*时为递增数列，这与函数单调递增定义一样，即对一切正整数n当n＋1>n，都有|an＋1|>|an|，说明数列中每一项大于前一项，即为递增数列．‎ ‎15．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.‎ ‎(1)求数列{an}中有多少项是负数？‎ ‎(2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．‎ 解析　(1)令an＝n2－5n＋4<0，解得11)．‎ ‎【例1】　已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．‎ ‎【解析】　∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，‎ ‎∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；‎ a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；‎ a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；‎ a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.‎ 故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.‎ ‎【例2】　数列{an}满足a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an.‎ ‎(1)写出此数列的前8项；‎ ‎(2)求a2 015.‎ ‎【解析】　a3＝a2－a1＝3；‎ a4＝a3－a2＝－3；‎ a5＝a4－a3＝－6；‎ a6＝a5－a4＝－3；‎ a7＝a6－a5＝3；‎ a8＝6；‎ ‎……‎ ‎∴此数列为6项一循环(即此数列具有周期性)．‎ ‎∴a2 015＝a5＝－6.‎ ‎【例3】　已知数列{an}，a1＝2，an＝2an－1(n≥2)，求数列的通项公式an.‎ ‎【解析】　∵a1＝2，an＝2an－1，∴＝2.‎ ‎∴an＝··…···a1‎ ‎＝2×2×…×2×2×2n个＝2n.‎ ‎【例4】　已知a1＝1，an＋1＝，求通项公式an.‎ ‎【解析】　∵a1＝1，an＋1＝，‎ ‎∴a2＝＝，a3＝＝，‎ a4＝＝，a5＝＝.‎ ‎∴它的前5项依次是1，，，，.‎ 它的前5项又可写成，，，，.‎ 故它的一个通项公式为an＝.‎ ‎【练习1】　已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　a1＝1＝，∵an＋1＝an，∴a2＝＝.‎ 同理a3＝＝.猜想an＝.‎ ‎【答案】　B ‎【练习2】　函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 015＝________．‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ f(x)‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎【解析】　由题意可得x1，x2，x3，x4，x5，…的值分别为2，1，5，2，1，…，故数列{xn}是周期为3的周期数列．∴x2 015＝x3×671＋2＝x2＝1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎【练习3】　在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项，并猜想数列的通项公式．‎ ‎【解析】　a1＝2，a2＝3，‎ a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，‎ a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，‎ a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，‎ a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.‎ 可猜想an＝2n－1＋1.‎ ‎【练习4】　根据下列5个图形及相应的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．‎ ‎【解析】　图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；……；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.‎