2020届上海市崇明区高考一模数学试卷（解析版） 11页

‎2020年上海市崇明区高考数学一模试卷 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（　　）‎ A. B. -a＞b C. a3＜b3 D. a2＞b2‎ 2. 已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（　　）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，在底面半径和高均为的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点．已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于（　　）‎ A. B. 1 C. D. ‎ 4. 若不等式（|x-a|-b）sin（πx+）≤0对x∈[-1，1]恒成立，则a+b的值等于（　　）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）‎ 5. 已知集合A={0，1，2，3}，B={x|0＜x≤2}，则A∩B=______．‎ 6. 不等式|x-2|＜1的解集是______．‎ 7. 半径为1的球的表面积是______．‎ 8. 已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，则该数列的前n项和Sn=______．‎ 9. 函数f（x）=的反函数是______．‎ 10. 计算：=______．‎ 11. 在二项式的展开式中，常数项等于______．‎ 12. 若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为______ ．‎ 13. 已知a，b∈R+，若直线x+2y+3=0与直线（a-1）x+by=2互相垂直，则ab的最大值等于______．‎ 14. 已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数．当0＜x≤1时，f（x）=x3-ax+1，则实数a的值等于______．‎ 15. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种．‎ 16. 正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为______．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）‎ 17. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB1=2． （1）求异面直线B1C1与A1C所成角的大小； （2‎ ‎）求直线B1C1与平面A1BC的距离． ‎ ‎ ‎ 1. 已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（2）设△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且，，若，求a,b的值． ‎ 2. 某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升． （1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围； （2）求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值． ‎ 3. 已知椭圆，其左右顶点分别为A，B，上下顶点分别为C，D．圆O是以线段AB为直径的圆． （1）求圆O的方程； （2）若点E，F是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线CE，DF分别交x轴于点M ‎、N，求证：为定值； （3）若点P是椭圆Γ上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． ‎ 1. 已知无穷数列{an}，{bn}，{cn}满足：对任意的n∈N*，都有an+1=|bn|-|cn|，bn+1=|cn|-|an|，cn+1=|an|-|bn|．记dn=max{|an|，|bn|，|cn|}（max{x，y，z}表示3个实数x，y，z中的最大值）． （1）若a1=1，b1=2，c1=4，求，b4，c4的值； （2）若a1=1，b1=2，求满足d2=d3的c1的所有值； （3）设a1，b1，c1是非零整数，且|a1|，|b1|，|c1|互不相等，证明：存在正整数k，使得数列{an}，{bn}，{cn}中有且只有一个数列自第k项起各项均为0． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，由于a＜0＜b，则＜0＜，A错误； 对于B，若|a|＜|b|，则-a＜b，B错误； 对于C，由于a＜0＜b，则a3＜0＜b3，C正确； 对于D，若|a|＜|b|，则a2＜b2，D错误； 故选：C． 根据题意，依次分析选项中不等式是否正确，综合即可得答案． 本题考查不等式的性质以及应用，关键是掌握不等式的基本性质，属于基础题． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断． 本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题． 【解答】 解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+​=0． ∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件． 故选B. 3.【答案】D ‎ ‎【解析】解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H． ∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为， ∴OH=EH=． ∴OE=1． 在平面CED内建立直角坐标系如图． 设抛物线的方程为y2=2px． （p＞0），F为抛物线的焦点． C（1，）， ∴2=2p•1． 解得p=1． F（，0）． 即OF=，EF=， ∵PB=2，PE=1， ∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为= 故选：D． 根据圆锥的性质，建立坐标系，确定抛物线的方程，计算出EF 的长度，结合直角三角形的关系进行求解即可． 本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，是中档题． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：当-1≤x≤-或≤x≤1时，sin（πx+）≤0， 当-≤x≤时，sin（πx+）≥0， ∴当-1≤x≤-或≤x≤1时，|x-a|-b≥0，当-≤x≤时，|x-a|-b≤0， 设f（x）=|x-a|-b，则f（x）在（-∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增， 且f（x）的图象关于直线x=a对称， ∴f（-）=f（）=0， ∴2a=-+=，即a=，又f（）=|-|-b=0，故b=． ∴a+b=． 故选：B． 设f（x）=|x-a|-b，得出f（x）的符号变化情况，根据f（x）的单调性和对称性即可得出a，b的值． 本题考查了三角函数值的计算，函数单调性的应用，属于中档题． 5.【答案】{1，2} ‎ ‎【解析】解：∵A={0，1，2，3}，B={x|0＜x≤2}； ∴A∩B={1，2}． 故答案为：{1，2}． 进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 6.【答案】（1，3） ‎ ‎【解析】解：由不等式|x-2|＜1可得，-1＜x-2＜1， 解得1＜x＜3， 故答案为：（1，3）． 由不等式|x-2|＜1可得，-1＜x-2＜1，由此解得不等式的解集． 本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 7.【答案】4π ‎ ‎【解析】解：由题意，半径为1的球的表面积是4π•12=4π． 故答案为4π． 直接利用球的表面积公式，即可得出结论． 本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础． 8.【答案】n2 ‎ ‎【解析】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差为2， ∴该数列的前n项和Sn=n×=n2． 故答案为：n2． 利用等差数列前n项和公式直接求解． 本题考查等差数列前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.【答案】f-1（x）=x2-1（x≥0） ‎ ‎【解析】解：由y=可得：x=y2-1，y≥0， ∴f（x）=的反函数是：f-1（x）=x2-1（x≥0）， 故答案为：f-1（x）=x2-1 （x≥0）． 将y=转化为用y表示x的算式，进而可得答案． 本题考查了反函数的求法，考查了函数与方程思想，转化思想，难度中档． 10.【答案】3 ‎ ‎【解析】解：===3 故答案为：3． 可将分子分母同除以3n再利用和极限的四则运算法则即可求解． 本题主要考查极限及其运算．解题的关键是要分子分母同除以3n使得分子和分母的极限均存在． 11.【答案】160 ‎ ‎【解析】解：展开式的通项为= 令6-2r=0可得r=3 常数项为=160 故答案为：160 展开式的通项为=，要求常数项，只要令6-2r=0可得r，代入即可求 本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题 12.【答案】 ‎ ‎【解析】解：依题意可知a=3，c=5 ∴b= 根据顶点坐标可知焦点在x轴， ∴双曲线的方程为 故答案为： 根据顶点坐标求得a，根据焦距求得c，进而根据b2=c2-a2求得b，进而求得双曲线的标准方程． 本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是挖掘题设中的信息，充分利用a，b和c的关系，同时注意焦点是在x轴还是在y轴． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：根据题意，若直线x+2y+3=0与直线（a-1）x+by=2互相垂直， 则有（a-1）+2b=0，变形可得a+2b=1， 则ab=（a×2b）≤×（）2=，当且仅当a=2b=时，等号成立； 即ab 的最大值为， 故答案为：． 根据题意，由直线垂直的判断方法可得（a-1）+2b=0，变形可得a+2b=1，进而结合基本不等式的性质分析可得答案． 本题考查直线与直线垂直的判断，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题． 14.【答案】2 ‎ ‎【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数． 当0＜x≤1时，f（x）=x3-ax+1， ∴f（-1）=-f（1）且f（-1）=f（-1+2）=f（1）， ∴f（1）=0，即f（1）=1-a+1=2-a=0， ∴a=2． 故答案为：2． 根据函数的周期为2，奇函数，又已知当0＜x≤1时的解析式，故f（-1）=-f（1）且f（-1）=f（-1+2）=f（1）推出f（1）=0，解出即可． 本题考查了函数的奇偶性和周期性，和特殊值，属于基础题． 15.【答案】78 ‎ ‎【解析】解：根据题意，分3种情况讨论： ①，从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙，甲有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3×A33=18种选派方法； ②，从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲，乙有3种安排方法，剩下三人全排列即可得，此时有3×A33=18种选派方法； ③，从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙， 需要在剩下3人中选出2人，有C32种选法，选出4人的安排方法有A33+2×2×A22种， 则此时有C32（A33+2×2×A22）=42种选派方法； 故一共有18+18+42=78种选派方法； 故答案为：78 根据题意，按甲乙两人是否被选中分3种情况讨论，求出每一种情况的选派方法数目，由加法原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 16.【答案】-7 ‎ ‎【解析】解：如图，以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系， 则B（2，-2），C（2，2）， ∴2=+（1-λ）=λ（2，-2）+（1-λ）（2，2）=（2，2-4λ），∴=（1，1-2λ） 即P点坐标为（1，1-2λ）， 设M（a，-2），则N（-a，2），-2≤a≤2， ∴=（a-1，2λ-3），=（-a-1，2λ+1） ∴=（a-1）（-a-1）+（2λ-3）（2λ+1）=1-a2+4λ2-4λ-3， 当a=±2且λ=-=时，有最小值-7‎ ‎． 故答案为：-7． 建立坐标系，根据，求出P点坐标，设出M，N坐标分别为（a，-2），（-a，2），将转化为关于a，λ的函数，即可得到其最小值． 本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题． 17.【答案】解：（1）由题意可得BC∥B1C1， ∴∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角， 由题意可知BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B， ∴△A1BC为直角三角形， ∴tan∠A1CB===， ∴异面直线B1C1与A1C所成的角为arctan； （2）∵BC∥B1C1，BC⊂平面A1BC，B1C1⊄平面A1BC， ∴B1C1∥平面A1BC， ∴直线B1C1上任意一点到平面A1BC的距离均为直线B1C1到平面A1BC的距离， 不妨取B1，且设B1到平面A1BC的距离为h， 由等体积法可得=，即×h=×BC 代入数据可得××1××h=××2×1×1，解得h= ∴直线B1C1到平面A1BC的距离为 ‎ ‎【解析】（1）由题意可得∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角，解三角形可得； （2）可证B1C1∥平面A1BC，则B1到平面A1BC的距离h即为所求，由等体积法可得=，代入数据计算可得． 本题考查异面直线所成的角，涉及直线到平面的距离，等体积是解决问题的关键，属中档题． 18.【答案】解：（1）∵f（x）=sin2x-cos2x-  (x∈R) =sin2x-- =sin（2x-）-1， ∴T==π， ∴由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ，kπ+]，k∈Z， ∴f（x）单调递减区间是：[kπ，kπ+]，k∈Z； （2）f（C）=sin（2C-）-1=0，则sin（2C-）=1， ∵0＜C＜π， ∴C=， ∵sinB=2sinA， ∴由正弦定理可得b=2a，① ‎ ‎∵c=， ∴由余弦定理可得c2=a2+b2-ab=3，② 由①②可得a=1，b=2． ‎ ‎【解析】（1）先化简函数f（x），再求函数的单调递减区间和最小正周期； （2）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值． 本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题． 19.【答案】解：（1）由题意，令×（x-100+）≤9， 化简得x2-145x+4500≤0，解得45≤x≤100； 又因为60≤x≤120， 所以欲使每小时的油耗不超过9升，x的取值范围是[60，100]； （2）设该汽车行驶100公里的油耗为y； 则y=•（x-100+）=90000+，（其中60≤x≤120）； 由60≤x≤120，知∈[，]， 所以x=90时，汽车行驶100公里的油耗取得最小值为升． ‎ ‎【解析】（1）令×（x-100+）≤9，求出解集，结合题意得出x的取值范围； （2）写出y关于x的函数，求出函数的最小值即可． 本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 20.【答案】解：（1）由题意得：A（-2，0），B（2，0）， ∴圆O的圆心为原点，半径为2， ∴圆O的方程是x2+y2=4； （2）由题意可知：C（0，1），D（0，-1），设E（x0，y0），则F（-x0，y0），（x0≠1）， ∴直线CE的方程是：，∴点M（，0）， 同理点N（，0）， 又∵点E（x0，y0）在椭圆上，∴ ∴=， （3）显然直线AP的斜率存在，设其方程为：y=k（x+2）， 联立方程，化简得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0， 设P（x1，y1），则x1+（-2）=-， 所以|AP|=|x1-（-2）|=， 因为圆心O到直线AP的距离d=‎ ‎， 所以|AQ|=2=4， 假设存在点P，使得=，则|AQ|=4|AP|， 所以4=4，化简得：4+4k2=1+4k2，此方程在实数范围内无解， 故原假设错误，即不存在点P，使得=． ‎ ‎【解析】（1）由题意得：A（-2，0），B（2，0），即可求出圆O的方程； （2）由题意可知：C（0，1），D（0，-1），设E（x0，y0），则F（-x0，y0），（x0≠1），求出直线CE的方程是，从而求出点M坐标，同理求出点N坐标，再利用点E（x0，y0）在椭圆上，坐标满足椭圆方程，即可化简出为定值； （3）显然直线AP的斜率存在，设其方程为：y=k（x+2），代入椭圆方程得到（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，再利用根与系数的关系和弦长公式求出|AP|的长，再利用构造直角三角形用勾股定理算出|AQ|的长，假设存在点P，使得=，则|AQ|=4|AP|，所以4=4，化简得：4+4k2=1+4k2，此方程在实数范围内无解，故原假设错误，即不存在点P，使得=． 本题主要考查了椭圆与直线的位置关系，是中档题． 21.【答案】解：（1）由题意：a2=|b1|-|c1|=2-4=-2；b2=|c1|-|a1|=4-1=3；c2=|a1|-|b1|=1-2=-1；以此类推， 看得出a4=0，b4=-1，c4=1． （2），若a1=1，b1=2，c1=x，则a2=2-|x|，b2=|x|-1，c2=-1，d2=，a3=||x|-1|-1， b3=1-|2-|x||，c3=|2-|x||-|x|-1|，当0≤|x|＜1时，a3=-|x|，b3=|x|-1|，c3=1，d3=1，由d3=d2，得||x|=1，不符合题意． 当1≤|x|＜2，a3=|x|-2，b3=|x|-1，c3=3-2|x|，d3=，由d3=d2，得|x|=1，符合题意． 当|x|≥2，a3=|x|-2，b3=3-|x|，c3=-1，d3=由d3=d2，得|x|=2，符合题意， 综上c1的取值是：-2，-1，1，2． （3）先证明‘’存在正整数k≥3，使，ak，bk，ck中至少有一个为零，假设对任意正整数k≥3， ak，bk，ck都不为零，由a1，b1，c1是非零整数，且|a1|，|b1|，|c1|互不相等，得d1∈N*，d2∈N*， 若对任意k≥3，ak，bk，ck都不为零，则dk∈N*．即对任意k≥1，dk∈N*．当k≥1时， |ak+1|=|bk|-|ck||＜max{|bk|，|ck|}≤dk，|bk+1|=||ck|-|ak||＜dk，|ck+1|=||ak|-|bk||＜dk， 所以dk+1=max{|ak+1|，|bk+1|，|ck+1|}＜dk，所以{dk}单调递减，由d2为有限正整数，所以必存在正整数m≥3，使得dm≤0，矛盾， 所以存在正整数k≥3，使ak，bk，ck中至少有一个为零，不妨设ak=0，且a1≠0，a2≠0… ak-1≠0，则|bk-1|=|ck-1|，且|bk-1|=|ck-1|≠|ak-1|，否则若|bk-1|=|ck-1|=|ak-1|，因为ak-1+bk-1+ck-1=0‎ ‎，则 必有ak-1=bk-1=ck-1=0，矛盾．于是，bk=|ck-1|-|ak-1|≠0，ck=|ak-1|-|bk-1|≠0，且bk=-ck，所以，ak+1=0， bk+1=|ck|，ck+1=-|bk|=-|ck|， 以此类推，即有：对∀n≥k，an=0，bn+1=|ck|，cn+1=-|ck|，|ck|≠0，此时有且仅有一个数列{an}自k项起各项均为0． 综上：结论成立． ‎ ‎【解析】（1）由题意代入分别求出a4，b4，c4的值； （2）设c1=x，的值，讨论d2的函数表达式，进而得出a2，a3，b2，b3，c2，c3都用x表示，进而求出所有的c1的值； （3）分类讨论：先ak，bk，ck都不为零，由题意得出矛盾；所以存在正整数k≥3，使ak，bk，ck中至少有一个为零，再讨论两个为零得出矛盾，以此类推，即有：对∀n≥k，an=0，bn+1=|ck|，cn+1=-|ck|，|ck|≠0，此时有且仅有一个数列{an}自k项起各项均为0． 考查数列的递推公式的综合应用，属于难题． ‎