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- 2021-06-09 发布
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齐齐哈尔市实验中学2017—2018学年度高二上学期期中考试
数学试题(文科)
本试卷满分150分,考试时间120分钟
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线,则曲线C的方程为( )
A. B. []
C. D.
2.抛物线的准线方程是,则的值为 ( )
A. B. C. D.
3.在极坐标系中,过点(2,π)且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程是( )
A. B.
C. D.
4.设点,的周长为,则的顶点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
5.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.[]
6.若动点在曲线上运动,则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.在极坐标系中,若点,则(为极点)的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交于两点,若的中点坐标为,则的方程为( )
A. B. C. D.
9.已知分别是双曲线的左、右焦点,过点作垂直于轴的直线交双曲线于两点,若为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是
( )
A. B. C. D.
10.已知两点均在焦点为的抛物线上,若,线段的中点到直线的距离为1,则的值为( )
A.1 B.1或3 C.2 D.2或6
11.已知是椭圆上的点,分别是椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为,则的最大值与最小值之差一定是( )
A. B. C. D.
12.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,在抛物线上且满足,当取最大值时,点恰好在以为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上.)
13.在极坐标系中,以点为圆心,为半径的圆的极坐标方程是
14.函数在处有极值10,则 ,
15.已知是抛物线上一点,为其焦点,点在圆上,则的最小值是
16.若等轴双曲线的左、右顶点分别为椭圆的左、右焦点,点是双曲线上异于的点,直线的斜率分别为,则
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)
在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,分别为与轴、轴的交点.
(Ⅰ)写出的直角坐标方程,并求的极坐标;
(Ⅱ)设的中点为,求直线的极坐标方程.
18. (本小题满分12分)
在直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(Ⅰ)将圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与圆相交于两点,点的坐标为,试求的值.
19.(本小题满分12分)
设函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的极小值大于0,求k的取值范围.
20.(本小题满分12分)
已知是二次函数,是它的导函数,且对任意的恒成立.
(Ⅰ)求的解析表达式;
(Ⅱ)设,曲线C:在点处的切线为,与坐标轴围成的三角形面积为.求的最小值.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆的两个焦点分别为,短轴的两个端点分别为.
(Ⅰ)若为等边三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.
22.(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.A、B是椭圆的左、右顶点,直线过B点且与轴垂直.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设G是椭圆C上异于A、B的任意一点,作轴于点H,延长HG到点Q使得,连接AQ并延长交直线于点M,N为线段MB的中点,判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系,并证明你的结论.
齐齐哈尔市实验中学2017~2018学年度高二上学期期中考试
数学试题评分标准(文)
本试卷满分150分,考试时间120分钟
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9[]
10
11
12
答案
A
B
D[]
B
B
A
C
D
C
B
D
A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上.)
13. 14. 15. 16.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)
解析:(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为 ……3分
当时,,所以 ……4分
当时,,所以 ……5分
(Ⅱ)点的直角坐标分别为
点P的直角坐标为 则P点的极坐标为
直线的极坐标方程为 ……10分
18.(本小题满分12分)
解析:(Ⅰ)圆C的方程可化为,即
圆C的直角坐标方程为 ……4分
(Ⅱ)把直线的参数方程与圆C的直角坐标方程联立,
可得: ……6分
设点A、B对应的参数分别为,则 ……8分
……12分
19.(本小题满分12分)
解析:(I)当k=0时,f(x)=﹣3x2+1
∴f(x)的单调增区间为(﹣∞,0],单调减区间[0,+∞).……2分
当k>0时,f'(x)=3kx2﹣6x=3kx(x﹣)
∴f(x)的单调增区间为(﹣∞,0],[,+∞),单调减区间为[0,].
……6分
(II)当k=0时,函数f(x)不存在最小值. ……7分
当k>0时,依题意f()=﹣+1>0, ……9分
即k2>4, ……11分
由条件k>0,所以k的取值范围为(2,+∞) ……12分
20.(本小题满分12分)
解析:(I)设f(x)=ax2+bx+c(其中a≠0),
则f'(x)=2ax+b,f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c.
由已知,得2ax+b=(a+1)x2+(2a+b)x+a+b+c,
∴,
解之,得a=﹣1,b=0,c=1,
∴f(x)=﹣x2+1. ……4分
(II)由(I)得,P(t,1﹣t2),切线l的斜率k=f'(t)=﹣2t,
∴切线l的方程为y﹣(1﹣t2)=﹣2t(x﹣t),即y=﹣2tx+t2+1.……6分
从而l与x轴的交点为,l与y轴的交点为B(0,t2+1),
∴(其中t>0). ……8分
∴. ……10分
当时,S'(t)<0,S(t)是减函数;
当时,S'(t)>0,S(t)是增函数.
∴. ……12分
21.(本小题满分12分)
解析:(Ⅰ)设椭圆C的方程为
由题意知 解得[]
故椭圆C的方程为 ……4分
(II)由题意知椭圆C的方程为
当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; ……5分
当直线的斜率存在时,设直线的方程为
由得 ……7分
设,则
即
解得:,即 ……11分
故直线的方程为或 ……12分
22.(本小题满分12分)
解析:(Ⅰ)由题意:到直线的距离为,则
椭圆C的标准方程为 ……4分
(Ⅱ)设,则
直线的方程为 ……6分
与联立得:
则直线的方程为 ……8分
即
方程可化为 ……10分
到直线的距离为
故直线与以AB为直径的圆O相切. ……12分