数学文卷·2019届湖北省华中师大一附中高二上学期期中考（2017-11） 10页

华中师大一附中2017—2018学年度上学期高二期中检测 数学（文科）试题 第I卷（选择题共60分）‎ 注意事项：务必将每小题的答案填在答题卡的相应位置.答在试卷上无效.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项代号涂填在选择题的答题卡内.‎ ‎(1) 抛物线的焦点坐标是[]‎ A. B. C. D. ‎ ‎(2) 圆的圆心到直线的距离为，则的值为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎(3) 用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》里就有记载，如“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A．169石 B．268石 C．338石 D．1500石 ‎(4) 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率是，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎(5) 如图所示的程序框图的运行结果为 开始 结束 是 否 输出 ‎(第5小题图)‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(6) 某班有50名学生，男女人数不等.随机询问了该班5名男生 和5名女生‎ 男生成绩 女生成绩 ‎ ‎ 4 2 0 9 3 3 3‎ ‎ 8 6 8 8 8‎ 的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下：‎ 则下列说法一定正确的是 A．这种抽样方法是一种分层抽样 ‎ B．这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数 C．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 D．这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差 ‎(7) 给出下列说法：‎ ‎①方程表示一个圆；‎ ‎②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆； ‎ ‎③已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；‎ ‎④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.‎ 其中正确说法的个数是 ‎ A. 1 B. 2 ‎ C. 3 D. 4‎ ‎(8) 我国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现 该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为1，3，5，则输出的值为 A．17 B．12 []‎ C．15 D．5‎ ‎ (9) 两圆和相 外切，且，则的最大值为 A． B．1 ‎ C． D．‎ ‎(10) 直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，且，垂足为点，则抛物线的准线方程是 A. B. C. D. ‎ ‎(11) 已知直线过椭圆的右焦点，与椭圆交于两点．点是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且∥，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(12) 双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为 的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为 ‎ A． B. C. D.‎ 第II卷(非选择题共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡内相应题号对应的横线上.‎ ‎(13) 某校老年教师人、中年教师人和青年教师人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的中年教师人数为________．‎ ‎(14) 已知点关于直线的对称点为，则圆关于直线对称的圆的标准方程为 . ‎ ‎(15) 过点作斜率为的直线，与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎(16) 平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线.给出以下四个结论：‎ ‎①当时，曲线是一个圆；②当时，曲线的离心率为；‎ ‎③当时，曲线的渐近线方程为；‎ ‎④当时，曲线的焦点坐标分别为和.其中全部正确结论的序号为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.[]‎ ‎(17) (本小题满分12分)（解答过程写在试卷上无效）‎ 已知圆上存在两点关于直线对称.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点作圆的两条切线，切点分别为，试求的值.‎ ‎①‎ ‎(18) (本小题满分10分)（解答过程写在试卷上无效）‎ 在一次“汉马”（武汉马拉松比赛的简称）全程比赛中，50名参赛选手（24名男选手和26名女选手）的成绩（单位：分钟）分别为数据 (成绩不为0).‎ ‎（Ⅰ）24名男选手成绩的茎叶图如图⑴所示，若将男选手成绩由好到差编为1～24号，再用系统抽样方法从中抽取6人，求其中成绩在区间上的选手人数；‎ ‎（Ⅱ）如图⑵所示的程序用来对这50名选手的成绩进行统计.为了便于区别性别，输入时，男选手的成绩数据用正数，女选手的成绩数据用其相反数(负数)，请完成图⑵中空白的判断框①处的填写，并说明输出数值和的统计意义.‎ ‎ ‎ ‎ 15 0 0 1 2 3 ‎ ‎ 16 1 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6‎ ‎ 17 0 1 2 2 3 3 4 5‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎⑴ ‎ ‎⑵‎ ‎(19) (本小题满分12分)（解答过程写在试卷上无效）‎ 已知双曲线的渐近线方程为，右焦点坐标为，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且，试求实数的取值范围.‎ ‎(20) (本小题满分12分)（解答过程写在试卷上无效）‎ 从参加某次高中英语竞赛的学生中抽出100名，将其成绩整理后，绘制频率分布直方图（如图所示）．其中样本数据分组区间为：，，，，，.‎ ‎（Ⅰ）试求图中的值，并计算区间上的样本数据的频率和频数；‎ ‎（Ⅱ）试估计这次英语竞赛成绩的众数、中位数及平均成绩（结果精确到）.‎ 注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表 ‎[]‎ ‎(21) (本小题满分12分)（解答过程写在试卷上无效）‎ 已知点为抛物线：的焦点，点为抛物线上一定点。‎ ‎（1）直线过点交抛物线于、两点，若，求直线的方程；‎ ‎（2）过点作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线于异于点的两点，试证明直线的斜率为定值，并求出该定值。‎ ‎(22) (本小题满分12分)（解答过程写在试卷上无效）‎ 已知是圆上任意一点，过作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段中点的轨迹为曲线（包括点和点），为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与曲线相切，且与圆相交于两点，当的面积最大时，试求直线的方程.‎ 华中师大一附中2017—2018学年度上学期高二期中检测 数学(文)试题参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A B D D B C C D A B 二、填空题 ‎13. 36 14. 15. 16. ①②④‎ 三、解答题 ‎(17) (本小题满分12分)‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）圆，‎ 依题意，直线过圆心，‎ ‎，即.………………………6分 ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，，，‎ 则.‎ 设点到直线的距离为，‎ 有，‎ ‎，.………………12分其他解法相应给分.‎ ‎(18) (本小题满分10分)‎ 解： ‎ ‎（Ⅰ）依题意，男选手分为段，每段抽取1人，‎ 其中成绩在区间上的恰有4段，每段1人， ‎ 成绩在区间上的选手人数为4.………………………………………4分 ‎（Ⅱ）①处填写…………………………………………………6分 输出数值的统计意义：24名男选手的平均成绩，…………8分 输出数值的统计意义：50名选手的平均成绩. …………………10‎ ‎(19) (本小题满分12分)‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）依题意，设双曲线的方程为，则 ‎，又，，‎ 即双曲线的标准方程为.……………………………5分 ‎（Ⅱ）联立，消去得，，‎ 直线与双曲线恒有两个不同的交点，‎ ‎，且，①‎ 设和，则，‎ ‎，‎ 即，，②‎ 综上①②得，或.………………………12分 ‎(20) (本小题满分12分)‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由图可知，‎ ‎，.…………2分 区间上的样本数据的频率为 ‎．…………………………4分 频数为．………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）众数为，…………………………………………7分 中位数为．……………………………9分 平均成绩为 ‎ ………12分 ‎(结果精确到0.1)‎ ‎（21）解：‎ ‎（1）依题意，点的坐标为.设直线的方程为，‎ 联立方程组：，消去并整理得：‎ 设，则 故，解得：.‎ 故直线的方程为，或.‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为.令，‎ 联立方程组：，消去并整理得：‎ 设，因为点的坐标为，所以，故，‎ 从而点的坐标为，点的坐标为，‎ 直线的斜率为 ‎ ‎(22) (本小题满分12分)‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）设线段中点，，则，即，‎ 代入，包括点和点，‎ 得，曲线的方程为.……………………………4分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，不合题意，故设方程为，‎ 联立，得，‎ ‎，.………………6分 又点到直线的距离为，且，‎ ‎，‎ 当即时，的面积最大为4，………………9分 ‎，解得，，‎ 此时直线有4条，方程为或.（或一般方程为：‎ 或或或）‎ ‎（写成扣1分） ………………12分