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- 2021-06-09 发布
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专题07 数列(测)
【满分:100分 时间:90分钟】
一、选择题(12*5=60分)
1.等比数列,…的第四项等于( )
A.-24 B.0 C.12 D.24
【答案】A
【解析】由x,3x+3,6x+6成等比数列得
2.已知等比数列满足,,则( )
【答案】C
【解析】由题意可得,所以 ,故 ,选C.
3.记数列的前n项和为,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时,,当时,,所以,选:D
4.已知数列中,,若对任意的,,则( )
A.12 B.16 C.8 D.10
【答案】C
【解析】依题意,,,两式相加可得,则,故周期为6,又,故.故选:C
5.《九章算术》之后,人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张邱建算经》卷上第题为:今有女善织,日益功疾(注:从第天起每天比前一天多织相同量的布),第一天织尺布,现在一月(按天计),共织尺布,则第天织的布的尺数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设公差为d,由题意可得:前30项和=420=30×5+d,解得d=.∴第2天织的布的尺数
=5+d=.故选A.
6.在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为( )
A.12 B.10 C.8 D.
【答案】B
【解析】因为,所以原式,选B
7.在数列中,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,
故选A.
8.已知等差数列的前n项和为,若,,则最小时n的值为( )
A.10 B.11 C.5 D.6
【答案】C
【解析】由,得,由,得,
所以时,,时,,所以最小时,故选:C.
9.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为.因为数列也是等比数列,所以,解得,所以.选A.
10、设是首项为,公差为的等差数列,为其前项和,若成等比数列,则( )
A.8 B. C.1 D.
【答案】D
【解析】因为成等比数列,所以,即,解得:。
11.已知数列是公差不为0的等差数列,且,,为等比数列的连续三项,则的值为( )
A. B.4 C.2 D.
【答案】A
【解析】数列{an}是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,∴=a1•a7,可得=a1(a1+6d),化为:a1=2d≠0.∴公比q====2.则==.故选:A.
12.在数列{an}中,对任意,都有(k为常数),则称{an}为“等差比数列”. 下面对“等差比数列”的判断: ①k不可能为0;②等差数列一定是等差比数列;③等比数列一定是等差比数列;④通项公式为的数列一定是等差比数列,其中正确的判断为( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【答案】D
【解析】对于①,若k=0,则分母必为0,故k≠0,故①正确;当等差数列为常数列时,分母为0,不满足题设的条件,故②不正确;当等比数列为常数列时,不满足题设,故③不正确;对于④,把an=a•bn+c代入结果为b,为常数,故④正确;故选D.
二、填空题(4*5=20分)
13.已知等差数列是递增数列,是的前n项和,若是方程的两个根,则的值为_________
【答案】24
【解析】因为是方程的两个根且是递增数列,所以解得,所以,,,故填.
14.已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.记此数列为,则___________________ .
【答案】2
【解析】将所给的数列分组,第1组为:,第2组为:,第3组为:,,则数列的前n组共有项,由于,故数列的前63组共有2016项,数列的第2017项为,数列的第2018项为.
15.正项等比数列满足,且2,,成等差数列,设,则取得最小值时的值为_________.
【答案】
【解析】设等比数列的公比为.由,,成等差数列可得,则,所以,解得(舍去)或.因为,所以.
所以.所以.所以,当时,取得最小值,取得最小值.故答案为:.
16.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂,但其内部却是
有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系
统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图1,线段的长度为a,在线段上取两个
点,,使得,以为一边在线段的上方做一个正六边形,然后去掉线段
,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段作相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:记第个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为,现给出有关数列的四个命题:
①数列是等比数列;②数列是递增数列;
③存在最小的正数,使得对任意的正整数 ,都有 ;
④存在最大的正数,使得对任意的正整数,都有.
其中真命题的序号是________________(请写出所有真命题的序号).
【答案】②④
【解析】由题意,得图1中线段为,即;图2中正六边形边长为,则;
图3中的最小正六边形边长为,则;图4中的最小正六边形边长为,则;由此类推,,所以为递增数列,但不是等比数列,即①错误,②正确;因为
,即存在最大的正数,使得对任意的正整数,都有,即④正确;③错误,综上可知正确的由②④。
二、解答题(6*12=70分)
17.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为.若,,.
(I)求数列与的通项公式;
(II)求数列的前项和.
【答案】(I);(II).
【解析】(I)由,,则,设等差数列的公差为,则,所以.所以.设等比数列的公比为,由题,即,所以.所以;
(II),所以的前项和为
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列,熟记通项公式、前项和公式即可,属于常考题型.
18.【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列满足,且是的等比中项.
(I)求数列的通项公式;
(II)设,数列的前项和为,求使成立的最大正整数的值
【答案】(I).(II)8.
【解析】(I)设等差数列的公差为,,即,
,,,是,的等比中项,
,即,解得.
数列的通项公式为.
(II)由(I)得.
,
由,得.使得成立的最大正整数的值为.
【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和,考查基本分析求解能力,属中档题.
19.【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列满足:,,数列中,,且,,成等比数列.
(I)求证:数列是等差数列;
(II)若是数列的前项和,求数列的前项和.
【答案】(I)见解析;(II).
【解析】(I),
∴数列是公差为1的等差数列;
(II)由题意可得,即,所以,所以,
∴,∴,
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明,考查等差数列的前n项和的求法,考查裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.设是等差数列,是等比数列.已知.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足其中.
(i)求数列的通项公式;(ii)求.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)(ii)
【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.依题意得解得 故.
所以的通项公式为的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以,数列的通项公式为.
(ii)
.
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
21、已知数列 的前n项和 满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对任意的整数,都有
【答案】(1);(2)见证明
【解析】(1)由得:,当且时,有
,则,数列是以为首项,为公比的等比数列,,,经验证也满足上式
(2)证明:由通项公式得,当且为奇数时,
有
所以,当且为偶数时,
有
当且为奇数时,
所以对任意整数时,都有
【点睛】本题考查利用递推关系求解数列的通项公式、与数列有关的不等式的证明问题,难点在于进行不等式证明时,对原有数列通项进行适当放缩,从而可转化为等比数列求和的形式,进而再次放缩证得结果,属于难题.
22、设等差数列的前n项和为,,,数列满足:对每个
成等比数列.
(I)求数列的通项公式;
(II)记 证明:
【答案】(I),;(II)证明见解析.
【解析】(I)设数列的公差为d,由题意得,解得.
从而.所以,由成等比数列得
.解得.所以.
(II).
我们用数学归纳法证明.
(i)当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
(ii)假设时不等式成立,即.那么,当时,
.即当时不等式也成立.
根据(i)和(ii),不等式对任意成立.
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.