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- 2021-06-09 发布
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漳州市四地七校2013届高三6月模拟考
数学(理)试题
(考试时间:120分钟 , 满分 150分)
第I卷(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,
1.已知集合=
A.{0,1} B.{-1,0} C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2}
2.“”是“”成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.某几何体的三视图如下,则该几何体的体积是
A.124 B.144
C.192 D.256
4.设是三条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题不正确的是( )
A.若∥,∥,则∥ B.若∥,∥,则∥
C.若∥,,则∥ D.若∥,∥,则不一定平行于
5. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为以,再由,乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为
A. B. C. D.
6.偶函数则关于x的方程上解的个数是
A.l B.2 C.3 D.4
7.下面是计算P=l×2×3×4×…×2012的程序框图,则判断框中的M代表
A.i<2012 B.i>2012
C.i= 2011 D.i>2011
8.函数y=xsin(-x)在坐标原点附近的图象可能是
9.实数x,y满足不等式组的取值范围是
A.[一1,1) B.[一1,2) C.(-1,2) D.[一1,1]
10.两条平行直线和圆的位置关系定义为:若两条平行直线和圆有四个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相交”;若两平行直线和圆没有公共点,则称两条平行线和圆“相离”;若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相切”.已知直线相切,则a的取值范围是
A. B.或
C. D.
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11.若的展开式中第四项为常数项,则n= 。
12.已知直线与曲线相切,则的值为 。
13. 双曲线的右焦点,点是渐近线上的点,且,则=
14.已知中,角,,所对的边分别为,,,外接圆半径是,且满足条件,则的面积的最大值为 .
15.已知数列具有性质:
对任意,与两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题:①数列具有性质; ②数列具有性质;
③若数列具有性质,则;
④若数列具有性质,则.
其中真命题有 .
三、解答题(解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分13分)
已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60,且 的等比中项.
(I)求数列的通项公式;
(II)若数列的前n项和Tn.
17. (本小题满分13分)
按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示.
(I)求该班学生参加活动的人均次数;
(II)从该班中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率.
(III)从该班中任选两名学生,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列及数学期望.
18.(本小题满分13分)
如图,是圆的直径,点在圆上,,交于点,
平面,,.
(1)证明:;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19.(本小题满分13分)
如图,ADB为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且ODAB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
A
B
D
Q
O
(II)过点B的直线与曲线C交于M、N.两点,与OD所在直线交于E点,,证明:为定值.
20.(本小题满分14分)
已知函数.
(I)若在处取和极值,
①求、的值;②存在,使得不等式成立,求的最小值;
(II)当时,若在上是单调函数,求的取值范围.(参考数据)
21.本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分。
(1) (本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换
曲线在二阶矩阵的作用下变换为曲线,
(I)求实数的值;(II)求的逆矩阵.
(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是,直线的参数方程是(为参数)。
(I)将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与轴的交点是M,N为曲线C上一动点,求|MN|的最大值。
(3)(本小题满分7分)选修4-5,不等式选讲
已知函数
(I)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若的解集包含,求的取值范围。
漳州四地七校2013届联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:
ABCCB DDAAC
二、填空题:
11、5 12、2 13、2 14、 15、 ①③④
分
--13分
17. 解:由图可知,参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20. --2分
(I)该班学生参加活动的人均次数为=. --4分
(II)从该班中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为
. --8分
(III)从该班中任选两名学生,记“这两人中一人参加1次活动,另一人参加2次活动”为事件,“这两人中一人参加2次活动,另一人参加3次活动”为事件,“这两人中一人参加1次活动,另一人参加3次活动”为事件.易知
;
. --10分
的分布列:
0
1
2
的数学期望:. --13分
A
B
C
E
F
M
O
·
18. 解:(法一)(1)平面平面, .…1分
又,平面
而平面
. …………………………3分
是圆的直径,.
又,
.
平面,,平面.
与都是等腰直角三角形..
,即(也可由勾股定理证得).……………………5分
, 平面.
而平面,. …………………………………………………6分
(2)延长交于,连,过作,连结.
H
G
A
B
C
E
F
M
O
·
由(1)知平面,平面,.
而,平面.
平面,,
为平面与平面所成的
二面角的平面角. ……………………8分
在中,,,
.由,得.
.又,
,则. ………………………11分
是等腰直角三角形,.
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. ………………13分
(法二)(1)同法一,得. ………………3分
x
y
z
A
B
C
E
F
M
O
·
如图,以为坐标原点,垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系.由已知条件得,
. ………4分
由,
得, . ……………6分
(2)由(1)知.
设平面的法向量为,
由 得,
令得,, …………………9分
由已知平面,所以取面的法向量为,………………10分
设平面与平面所成的锐二面角为,
则, …………………12分
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. ………………13分
∴ ……………………………………………………………… 13分
【证法2】(Ⅱ):设点的坐标分别为,
易知点的坐标为.且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交.
显然直线 的斜率存在,设直线 的斜率为 ,则直线 的方程是 …6分
将直线 的方程代入到椭圆 的方程中,消去 并整理得
.
∴ ,……………………………………… 9分
又 ∵, 则.∴,
同理,由,∴…………………………………………11分
∴ ……………13分
, ∴ ,
故 。……………………………………………………………8分
(Ⅱ)当 a = b 时,
① 当时,则在上单调递增;……………9分
② 当时,∵ ,则在上单调递增;…………………………………………………11分
① 当时,设,只需,从而得,此时在上单调递减;…………………………………………………………………… 13分
综上可得, ………………………………………………14分
(3)(Ⅰ)当时,
或或
或
(Ⅱ)原命题在上恒成立
在上恒成立
在上恒成立