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- 2021-06-09 发布
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[基础题组练]
1.四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面个数有( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
解析:选A.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面.
2.已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
解析:选B.在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A错;两条平行直线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B正确;相互平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错.
3.如图,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面
解析:选A.连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,
所以A1,C1,C,A四点共面,
所以A1C平面ACC1A1,
因为M∈A1C,
所以M∈平面ACC1A1.
又M∈平面AB1D1,
所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.
所以A,M,O三点共线.
4.
(2020·广东东莞模拟)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( )
A.CC1与B1E是异面直线
B.AC⊥平面ABB1A1
C.AE,B1C1为异面直线,且AE⊥B1C1
D.A1C1∥平面AB1E
解析:选C.因为CC1与B1E都在平面CC1B1B内,且CC1与B1E是相交直线,所以选项A错误.假设AC⊥平面ABB1A1,则AC⊥AB,即∠CAB=90°,从而可得∠C1A1B1=90°,这与题设“底面三角形A1B1C1是正三角形”矛盾,故假设错误,即选项B错误.因为点B1∉AE,直线B1C1交平面AEB1于点B1,所以AE,B1C1为异面直线;由题意可知△ABC是正三角形,又E是BC的中点,所以AE⊥BC,结合BC∥B1C1可得AE⊥B1C1,故选项C正确.因为直线AC交平面AB1E于点A,又AC∥A1C1,所以直线A1C1与平面AB1E相交,故选项D错误.综上,选C.
5.在各棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中,已知M是棱BB1的中点,N是棱AC的中点,则异面直线A1M与BN所成角的正切值为( )
A. B.1
C. D.
解析:选C.法一:如图,取AA1的中点P,连接PN,PB,则由直三棱柱的性质可知A1M∥PB,则∠PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角).设三棱柱的棱长为2,则PN=,PB=,BN=,所以PN2+BN2=PB2,所以∠PNB=90°,在Rt△PBN中,
tan∠PBN===,故选C.
法二:以N为坐标原点,NB,NC所在的直线分别为x轴,y轴,过点N与平面ABC垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则N(0,0,0),A1(0,-1,2),B(,0,0),M(,0,1),所以=(,0,0),=(,1,-1),设直线A1M与BN所成的角为θ,则cos θ=|cos〈,〉|===,则sin θ=,
tan θ=.
6.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且==,则下列说法正确的是________.
①EF与GH平行;
②EF与GH异面;
③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上;
④EF与GH的交点M一定在直线AC上.
解析:连接EH,FG(图略),依题意,可得EH∥BD,FG∥BD,故EH∥FG,所以E,F,G,H四点共面.因为EH=BD,FG=BD,故EH≠FG,所以EFGH是梯形,EF与GH必相交,设交点为M.因为点M在EF上,故点M在平面ACB上.同理,点M在平面ACD上,所以点M是平面ACB与平面ACD的交点,又AC是这两个平面的交线,所以点M一定在直线AC上.
答案:④
7.一正方体的平面展开图如图所示,在这个正方体中,有下列四个命题:
①AF⊥GC;
②BD与GC成异面直线且夹角为60°;
③BD∥MN;
④BG与平面ABCD所成的角为45°.
其中正确的是________(填序号).
解析:将平面展开图还原成正方体(如图所示).
对于①,由图形知AF与GC异面垂直,故①正确;
对于②,BD与GC显然成异面直线.如图,连接EB,ED,则BE∥GC,所以∠EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角).在等边△BDE中,∠EBD=60°,所以异面直线BD与GC所成的角为60°,故②正确;
对于③,BD与MN为异面垂直,故③错误;
对于④,由题意得,GD⊥平面ABCD,所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在Rt△BDG中,∠GBD不等于45°,故④错误.综上可得①②正确.
答案:①②
8.(2020·河南安阳调研四)在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E∈平面AA1B1B,点F是线段AA1的中点,若D1E⊥CF,则当△EBC的面积取得最小值时,=________.
解析:
如图所示,连接B1D1,取AB的中点G,连接D1G,B1G.由题意得CF⊥平面B1D1G,
所以当点E在直线B1G上时,D1E⊥CF,
设BC=a,则S△EBC=EB·BC=EB·a,
当△EBC的面积取最小值时,线段EB的长度为点B到直线B1G的距离,
所以线段EB长度的最小值为,所以==.
答案:
9.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B.
因为E,F分别是AB,AA1的中点,
所以EF∥BA1.
又A1B∥D1C,所以EF∥CD1,
所以E,C,D1,F四点共面.
(2)因为EF∥CD1,EF