数学理卷·2019届辽宁省瓦房店市第三高级中学高二上学期第二次月考（2017-12） 10页

‎2017～2018学年第一学期第二次月考考试试卷 高二数学(理科)‎ 第I卷 一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．与向量＝(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为(　　)‎ ‎（A）(1,3,2) （B）(-1，-3,2) （C）(-1,3，-2) （D）(1，-3，-2)‎ ‎2．已知，，，则动点的轨迹是（　　）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线 ‎3. 已知命题：,，则是（ ）‎ ‎ （A）R, （B）R,‎ ‎ （C）R, （D）R,‎ ‎4.已知，则的最小值为( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎5．“”是“且”的(　　)‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎6．设等比数列的公比，前项和为，则的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C）（D）‎ ‎7．下列命题中，真命题是(　　)‎ ‎（A）∃x0∈R，≤0 （B）∀x∈R,2x＞x2‎ ‎（C）双曲线的离心率为 ‎（D）双曲线的渐近线方程为 ‎8．已知实数满足则的最小值是（ ）‎ ‎（A）5 （B） （C） （D）‎ ‎9．已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则椭圆方程为（　　）‎ ‎（A）（B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎10．设（R,且）， 则 大小关系为（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎11. 设正方体的棱长为，与相交于点,则（ ）‎ ‎（A） (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎12.已知离心率的双曲线:右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则的值为(　　)‎ ‎（A）（B）3 （C）4 （D）5‎ 第II卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．抛物线的焦点到准线的距离是.‎ ‎14.为等差数列的前项和，，则 ‎15．下列命题中：‎ ‎①命题使得”，则￢是假命题；‎ ‎②“若，则互为相反数”的逆命题为假命题；‎ ‎③，若，则”；‎ ‎④命题“若，则”的逆否命题是“若￢则￢”，‎ 其中真命题的序号是　 　．‎ ‎16.过点的双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为.‎ 三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 解关于的不等式 ‎18．(本小题满分12分)‎ 数列的前项和为,,．‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项；‎ ‎ （Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知为直角梯形，,平面，‎ ‎ (Ⅰ)求证：平面;‎ ‎(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为,抛物线上一点的横坐标为2，且.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线交抛物线于，两点,求证: .‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，.‎ ‎(Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎(Ⅱ)在线段上是否存在点？使得二面角的大小为60°，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 设一个焦点为,且离心率的椭圆上下两顶点分别为,直线交椭圆于两点,直线与直线交于点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)求证：三点共线.‎ ‎2017～2018学年第一学期期末考试参考答案与评分标准 高二数学（理科）‎ 一、选择题 ‎1．C；2．D；3.C；4.C；5．B；6．B；7．D；8．C；9．A；10．D；11. A；12．C．‎ 二、填空题 13.1 14. 21 15.(1)(4) 16.8．‎ 三、解答题17．解：由 得，即. 2分 ‎(1)当时，不等式转化为，故无解． 4分 ‎(2)当时，不等式转化为.∵，∴不等式的解集为. 6分 ‎(3)当时，不等式转化为，又，∴不等式的解集为. 8分，综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集为. 10分 ‎18. 解：（Ⅰ），，． 2分 又，数列是首项为，公比为的等比数列，． 4分，当时，， 6分 ‎ （Ⅱ），当时，；‎ 当时，， ①‎ ‎， ②‎ 得： 8分 ‎． 10分 ‎．‎ 又也满足上式，． 12‎ ‎19.解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，‎ 可得。 2分 ‎（Ⅰ）证明法一：因为，‎ 所以, 4分 所以,,平面，平面，‎ 所以平面. 6分 证明法二：因为平面，平面，所以,又因为=90°，即，,平面，平面，‎ 所以平面. 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量，‎ 又,且所以 所以平面的一个法向量为所以 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分 ‎20.解：（Ⅰ）由题设抛物线的方程为：，‎ 则点的坐标为，点的一个坐标为， 2分 ‎∵，∴， 4分 ‎∴，∴，∴. 6分 ‎（Ⅱ）设、两点坐标分别为、，‎ 法一：因为直线当的斜率不为0，设直线当的方程为 方程组得，‎ 因为 所以 ‎=0，‎ 所以.‎ 法二：①当的斜率不存在时，的方程为，此时 即有所以.…… 8分 ② 当的斜率存在时，设的方程为 方程组得 所以 10分 因为所以 所以.由①②得. 12分 ‎21.解：如图，以中点为原点建立空间直角坐标系，‎ 可得.‎ ‎（Ⅰ）所以，平面的一个法向量 所以，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.……… 6分 ‎（Ⅱ）假设存在满足条件的点，设AD=，‎ 则，设平面的法向量，‎ 因为,，‎ 且 所以 所以平面的一个法向量 又因为平面的一个法向量 所以 解得，因为，此时,‎ 所以存在点，使得二面角B1—DC—C1的大小为60°. …………………… 12分 ‎22.解：(Ⅰ)由题知，，∴， 3分 ‎∴椭圆. 4分 ‎(Ⅱ) 设点，由(Ⅰ)知 ‎∴直线的方程为，∴. 5分 ‎∴，， 8分 由方程组 化简得:,,.‎ ‎ 10分 ‎∴,‎ ‎∴三点共线. 12分