北京市清华附中将台路校区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析 14页

‎2019清华附中将台路校区高19级高一数学第一学期期中考试 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用交集定义直接求解。‎ ‎【详解】集合，，所以集合。‎ ‎【点睛】本题主要考查集合交集的运算。‎ ‎2.已知函数，，则函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别代入求得即可.‎ ‎【详解】由题,故值域为 ‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查函数的值域,属于简单题型.‎ ‎3.已知命题：“”，则命题的否定为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．‎ ‎【详解】由全称命题的否定为特称命题可得 命题：“”的否定为，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．‎ ‎4.在区间上是减函数的是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一次函数、二次函数和反比例函数性质即可得到结果.‎ ‎【详解】在上单调递增，错误；在上单调递增，错误 上单调递减，正确；在上单调递增，错误 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查常见函数单调性的判断，属于基础题.‎ ‎5.已知条件，条件，则是的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用集合间的关系推出之间的关系.‎ ‎【详解】，则是的必要不充分条件,‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】成立的对象构成的集合为，成立的对象构成的集合为：‎ 是的充分不必要条件则有：；‎ 是的必要不充分条件则有：.‎ ‎6.若，，，则的最小值为（）‎ A. B. ‎4 ‎C. D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由a+2b≥2，可得a+2b的最小值．‎ 详解】∵a＞0，b＞0，ab＝2，‎ ‎∴a+2b≥2，‎ 当且仅当a＝2b＝2时取等号，‎ ‎∴a+2b的最小值为4．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属基础题．‎ ‎7.定义在上的奇函数满足，则函数的零点个数为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可知，为的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推在这个区间上的零点，即可得出答案。‎ ‎【详解】根据题意，可知，为 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推得也为的零点，所以的零点共有三个，故答案选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查奇函数图像关于零点对称的性质和函数零点个数的求解。‎ ‎8.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得．‎ 考点：函数模型的应用．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.集合的非空子集共有__个.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合共三个元素,故用元素个数为的集合的非空子集个数为可得.‎ ‎【详解】由元素个数为的集合的非空真子集个数为得,集合的非空子集共有个.‎ 故答案：7‎ ‎【点睛】本题主要考查了元素个数为的集合的非空真子集个数为,属于简单题型.‎ ‎10.不等式的解集是__.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值不等式的解法求解即可.‎ ‎【详解】由得,故解集为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,属于基础题型.‎ ‎11.已知函数，则__；若，则的值为__.‎ ‎【答案】 (1). -3 (2). 2或-5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接令求解,再根据列出关于的关系式进行求解即可.‎ ‎【详解】,又故,‎ 所以2或-5‎ 故答案为：(1)-3 (2) 2或-5‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数的基本运算,属于基础题型.‎ ‎12.若和分别是一元二次方程的两根．则__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用韦达定理与求解即可.‎ ‎【详解】因为和分别是一元二次方程的两根,故,‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查韦达定理的运用,属于基础题型.‎ ‎13.定义在上的奇函数满足：当，，则__.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的性质求解即可．‎ ‎【详解】由函数是奇函数,所以 故 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查了函数的性质在求解函数值中的应用,属于简单题．‎ ‎14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：‎ ‎（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；‎ ‎（ⅱ）女学生人数多于教师人数；‎ ‎（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．‎ ‎①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．‎ ‎②该小组人数的最小值为__________．‎ ‎【答案】 (1). 6 (2). 12‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为，则.‎ ‎①，‎ ‎②‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.‎ ‎15.已知，若，求所有可能的值.‎ ‎【答案】，或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分三种情况分别等于5进行讨论,注意集合的互异性即可.‎ ‎【详解】∵5∈A,∴,或,或,‎ 解得：,,或．‎ 经过验证：a＝2时不满足题意,舍去．‎ ‎∴,或．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的元素分类讨论与互异性,注意算得的答案要代入原集合进行互异性的讨论.‎ ‎16.已知函数 ‎（1）画出函数的图象；‎ ‎（2）若，求的取值范围；‎ ‎（3）直接写出的值域．‎ ‎【答案】（1）图像见解析（2）或（3）值域是 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)根据分段函数的表达式画图即可. (2)观察图像求解不等式即可. (3)根据图像求得最值再写出值域即可.‎ ‎【详解】(1)函数的图像如图；‎ ‎(2)当时,满足,‎ 当,由得,得或,‎ 此时或,‎ 当时,恒成立,‎ 综上得或,‎ 即x的取值范围是得或；‎ ‎(3)由图像知,即y＝f(x)的值域是．‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的图像问题,注意在画图的时候计算区间端点值与最大最小值等,属于基础题型.‎ ‎17.已知集合A＝{x|1‎2m,即集合B非空，然后由数轴表示关系，注意等号是否可取 ‎。（3）空集有两种情况，一种是集合B为空集，一种是集合B非空，此时用数灿表示，写出代数关系，注意等号是否可取。‎ 试题解析：（1）当m＝－1时， B＝{x|－23时，在上的最小值为,舍去，‎ 当03时，在上的最小值为,因为3，所以，‎ 综上.‎ ‎【点睛】研究二次函数最值，一般通过研究对称轴与定义区间位置关系得函数单调性，再根据单调性确定函数最值取法.‎ ‎20.已知函数的定义域为，若存在区间，使得 称区间为函数的“和谐区间”.‎ ‎（1）请直接写出函数的所有的“和谐区间”；‎ ‎（2）若为函数的一个“和谐区间”，求的值；‎ ‎（3）求函数的所有的“和谐区间”.‎ ‎【答案】（1）函数的所有“和谐区间”为；（2）2；‎ ‎（3）的所有“和谐区间”为和 ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)根据三次函数的图像与“和谐区间”的定义观察写出即可. (2)画图分析的图像性质即可. (3)画出图像,并根据“和谐区间”的定义利用函数分析即可.‎ ‎【详解】(1)函数的定义域为R,由题意令则,‎ ‎∴函数的所有“和谐区间”为；‎ ‎(2) 为函数的一个“和谐区间”,‎ 令,解得,‎ 画出图形,如图(1)所示,‎ 由题意知时满足题意,‎ ‎∴m的值为2；‎ ‎(3)函数,定义域为R,‎ 令,解得,‎ 画出函数f(x)的图象如图(2)所示,‎ 则f(x)的所有“和谐区间”为和 ．‎ ‎【点睛】本题主要考查新定义的题型,需要理解新定义的函数的意义,再数形结合求解即可.属于中等题型.‎