江西省重点中学协作体2020届高三第一次联考试题 数学（文） 11页

江西省重点中学协作体 2020届高三第一次联考 数学(文科)试卷 满分：150时间：120分钟 一、选择题：本小题共 12小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 I＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，则( Ið A) ∩( Ið B)＝ A.{7，8} B.{3，4} C.{3，4，7，8} D.{5，6} 2.已知复数 z满足(1＋i)＝z(2＋i)，则|z|＝ A. 10 3 B. 2 5 C. 10 5 D. 10 6 3.下列命题中，是假命题的是 A.若a  ·b  ＝ a  · c  ，则 a  ⊥(b  － c  ) B. x∈R，x2－3x＋3>0 C.函数 f(x)＝|sinx＋cosx|的最小正周期为 2π D. 2log 32 ＝3 4.下图中，样本容量均为 9的四组数据，它们的平均数都是 5，条形统计图如下，则其中标准 差最大的一组是 5.已知单位圆上第一象限一点 P沿圆周逆时针旋转 3  到点 Q，若点 Q的横坐标为－ 1 2 ，则点 P的横坐标为 A. 1 3 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 6.函数 y＝exsinx的大致图像为 7.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作。 卷八中第 33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个。问该若干?”如图是解决该问题的程序框 图。执行该程序框图，求得该垛果子的总数 S为 A.28 B.56 C.84 D.120 8.已知平面向量 a  ，b  满足|a  |＝|b  |＝1，a  ·b  ＝ 1 2 ，若 c  ＝ 1 2 ( a  ＋b  )，d  ＝λ a  ＋(1－λ)b  ， (λ∈R)，则 c  · d  的值为 A. 1 3 B. 3 2 C. 3 4 D.与λ有关 9.已知双曲线 C： 2 2 2 1( 0)yx b b    ，F(c，0)为双曲线的右焦点，过 M( 3 2 c ，0)作斜率为 2 的直线与双曲线的两条渐近线分别交于 A，B两点，若 F为△OAB的内心，则双曲线方程为 A.x2－4y2＝1 B. 2 2 1 2 yx   C. 2 2 1 3 yx   D. 2 2 1 4 yx   10.已知函数 f(x)是定义在 R上的单调减函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，且 a1010>0，则 f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2018)＋f(a2019)的值 A.恒为负数 B.恒为正数 C.恒为 0 D.可正可负 11.已知 a＝3e，b＝e3，则下列选项正确的是 A.a>b B. a bln e 2   C. 2ln eab a b   D. lna lnb e 2   12.已知直角三角形 ABC中 AC＝1，BC＝ 3，斜边 AB上两点M，N，满足∠MCN＝30°， 则 S△MCN的最小值是 A. 3 4 B. 3 8 C. 6 3 3 2  D. 6 3 3 4  二、填空题： 本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13. cos15 sin15    。 14.已知 f(x)＝ 2x 2 x 0 1 , 0x x       ， ，若 f(2a)>a，则实数 a的解集是 。 15.已知直线 y＝kx－1 与焦点在 x 轴上的椭圆 C： 2 2 2 1( 0) 4 x y b b    总有公共点，则椭圆 C 的离心率取值范围是 。 16.已知三棱锥 P－ABC中，满足 PA＝BC＝1，PC＝AB＝ 3，AC＝2，则当三棱锥体积最大 时，直线 AC与 PB夹角的余弦值是 。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60分。 17.(12分) 某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下 2×2 列联表： (1)根据列联表，能否有 99.9%的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关? (2)若已经从 40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取了 5名，现从这 5名被调查者中随 机选取 3名，求这 3名被调查者中恰有 1名对手机游戏无兴趣的概率。 (注：参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d       ，其中 n＝a＋b＋c＋d) 18.(12分) 已知非零数列{an}满足 a1＝1， n+1 n 1 2 1 a a   ； (1)证明：数列{ n 1 a ＋1}为等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列{ n n a }的前 n项和 Sn。 19.(12分) 已知棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱 BB1，DD1D1C1和 A1D 的中点。 (1)证明：MN//平面 EFC1； (2)求点 A1到平面 EFC1的距离。 20.(12分) 已知函数 f(x)＝sinx＋lnx－1。 (1)求函数 f(x)在点( 2  ，ln 2  )处的切线方程； (2)当 x∈(0，x)时，讨论函数 f(x)的零点个数。 21.(12分) 已知圆 C：x2＋(y－1)2＝r2(r>1)，设点 A为圆 C 与 y 轴负半轴的交点，点 P为圆 C上一点， 且满足 AP的中点在 x轴上。 (1)当 r变化时，求点 P的轨迹方程； (2)设点 P的轨迹为曲线 E，M，N为曲线 E上两个不同的点，且在M，N两点处的切线的交 点在直线 y＝－2上，证明：直线MN过定点，并求此定点坐标。 (二)选考题：请考生在第 22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为 x 2 tcos y 3 tsin        (t为参数，α为直线 l的倾斜角)， 以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝ 2 2 sin(θ＋ 4  )。 (1)写出曲线 C的直角坐标方程，并求α＝ 3  时直线 l的普通方程； (2)若直线 l和曲线 C交于两点 A，B，点 P的直角坐标为(2，3)，求|PA|＋|PB|的最大值。 23.[选修 4－5：不等式选讲](10分) 已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1。证明： (1) 1 1 4 a b c    ； (2) 1 1 1 3 2 2 2a b b c c a       。