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  • 2021-06-09 发布

2017年青海省西宁市高考二模试卷数学文

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2017 年青海省西宁市高考二模试卷数学文 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 5 12 i i =( ) A.2-i B.1-2i C.-2+i D.-1+2i 解析:      5 1 25 21 2 1 2 1 2 iii ii i i       . 答案:C 2.设集合 M={-1,0,1},N={a,a2}则使 M∩N=N 成立的 a 的值是( ) A.1 B.0 C.-1 D.1 或-1 解析:∵M={-1,0,1},N={a,a2},M∩N=N,∴ 2 1 1 a a    , , 解得 a=-1. 答案:C 3.已知平面向量 a =(1,2),b =(-2,m),且 a ∥ ,则| |为( ) A.2 5 B.5 C.3 D.1 解析:∵ ∥ ,平面向量 =(1,2), =(-2,m), ∴-2×2-m=0,解得 m=-4.∴ =(-2,-4),∴    222 4 2 5b      . 答案:A 4.已知 cos 4)45( ,则 sin2α=( ) A. 24 25 B. 7 25 C.± D.± 7 25 解析:由 cos 4)45( , 可得:cos 4  cosα+sin sinα= 4 5 ,则 cosα+sinα= 42 5 , 两边平方,得 1+sin2α= 32 25 ,则 sin2α= . 答案:B 5.某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角 形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是( ) A.8 B. 8 3 C.4 D. 4 3 解析:由三视图可知,几何体是一个底面是正方形的四棱锥,且一条侧棱垂直于底面. 底面对角线的长为 2,底面面积是 S= 1 2 ×22=2, 四棱锥高为 h=2,所以它的体积是 142233   . 答案:D 6.抛物线 y2=16x 的焦点为 F,点 A 在 y 轴上,且满足 OA OF ,抛物线的准线与 x 轴的 交点是 B,则 FA AB =( ) A.-4 B.4 C.0 D.-4 或 4 解析:抛物线 y2=16x 的焦点为 F(4,0), ,可得 A(0,±4), 又 B(-4,0),即有 FA =(-4,4), AB =(-4,-4),或 =(-4,-4), =(-4,4), 则有 =16-16=0. 答案:C 7.在△ABC 中,A,B,C 成等差数列是(b+a-c)(b-a+c)=ac 的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:(1)如图,若 A,B,C 成等差数列:2B=A+C,所以 3B=180°,B=60°; ∴由余弦定理得,b2=a2+c2-ac;∴a2+c2-b2=ac; ∴(b+a-c)(b-a+c)=b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=-ac+2ac=ac;即(b+a-c)(b-a+c)=ac; ∴A,B,C 成等差数列是(b+a-c)(b-a+c)=ac 的充分条件; (2)若(b+a-c)(b-a+c)=ac,则:b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=ac;∴a2+c2-b2=ac; 由余弦定理:a2+c2-b2=2ac·cosB;∴cosB= 1 2 ;∴B=60°; ∴60°-A=180°-(A+60°)-60°;即 B-A=C-B; ∴A,B,C 成等差数列;∴A,B,C 成等差数列是(b+a-c)(b-a+c)=ac 的必要条件; ∴综上得,A,B,C 成等差数列是(b+a-c)(b-a+c)=ac 的充要条件. 答案:C 8.现有四个函数:①y=x·sinx;②y=x·cosx;③y=x·|cosx|;④y=x·2x 的图象(部分) 如图: 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A.①④③② B.③④②① C.④①②③ D.①④②③ 解析:根据①y=x·sinx 为偶函数,它的图象关于 y 轴对称,故第一个图象即是; 根据②y=x·cosx 为奇函数,它的图象关于原点对称,它在(0, 2  )上的值为正数, 在( 2  ,π)上的值为负数,故第三个图象满足; 根据③y=x·|cosx|为奇函数,当 x>0 时,f(x)≥0,故第四个图象满足; ④y=x·2x,为非奇非偶函数,故它的图象没有对称性,故第 2 个图象满足. 答案:D 9.若偶函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),c=f( 3 22 ),则 a,b,c 满足( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 解析:∵偶函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在{0,+∞)上单调递增, ∵2>log23=log49>log45, 3 22 >2,∴f(log45)<f(log23)<f( ),∴b<a<c. 答案:B. 10.函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,A、B 分别为最高点与最低点,且|AB|=2 2 ,则该函数图象的一条对称轴为( ) A.x= 2  B.x= 3  C.x=2 D.x=1 解析:由函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,可得φ=kπ+ 2  ,k∈z. 再结合 0<φ<π,可得φ= . 再根据 AB2=8=4+(   )2,求得ω= ,∴函数 y=cos( 22x )=-sin 2  x,故它的一条对称 轴方程为 x=1. 答案:D 11.椭圆 22 22 xy ab =1(a>b>0)的中心在原点,F1,F2 分别为左、右焦点,A,B 分别是椭圆的 上顶点和右顶点,P 是椭圆上一点,且 PF1⊥x 轴,PF2∥AB,则此椭圆的离心率等于( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 2 D. 5 5 解析:如图所示,把 x=-c 代入椭圆方程 =1(a>b>0),可得 P(-c, 2b a ), 又 A(0,b),B(a,0),F2(c,0),∴kAB= b a ,kPF2= 2 2 b ac , ∵PF2∥AB,∴ 2 2 bb a ac   ,化为:b=2c.∴4c2=b2=a2-c2,即 a2=5c2,∴e= 2 2 5 5 c a  . 答案:D 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:①f(x)=f(4-x),②f(x+2)=f(x),③在[0,1]上表达 式为 f(x)=2x-1,则函数 g(x)=f(x)-log3|x|的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:函数 f(x)满足:①f(x)=f(4-x),∴f(x+2)=f(2-x), ∴函数的对称轴为 x=2, ∵f(x+2)=f(x),∴函数的周期为 2, ∵在[0,1]上表达式为 f(x)=2x-1, 做出函数的图象和 y=log3|x|的图象, 通过图象得出交点的个数为 4. 答案:A 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.2016 年夏季大美青海又迎来了旅游热,甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青 海湖,海北百里油菜花海,茶卡天空之境三个地方时, 甲说:我去过的地方比乙多,但没去过海北百里油菜花海; 乙说:我没去过茶卡天空之境; 丙说:我们三人去过同一个地方. 由此可判断乙去过的地方为 . 解析:由乙说:我没去过茶卡天空之境,则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境, 但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过海北百里油菜花海,则乙只能是去过陆心之海青海 湖,茶卡天空之境中的任一个, 再由丙说:我们三人去过同一个地方, 则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖. 答案:陆心之海青海湖 14.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面 积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小 数点后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计 的一个程序框图,则输出 n 的值为 .(参考数据:sin15°=0.2588,sin7.5° =0.1305) 解析:模拟执行程序,可得 n=6,S=3sin60°= 33 2 , 不满足条件 S≥3.10,n=12,S=6×sin30°=3, 不满足条件 S≥3.10,n=24,S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056, 满足条件 S≥3.10,退出循环,输出 n 的值为 24. 答案:24 15.在区间[-1,1]上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 有公共点的概率 为 . 解析:圆 x2+y2=1 的圆心为(0,0), 圆心到直线 y=k(x+2)的距离为 2 2 1 k k  , 要使直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 有公共点,则 2 2 1 k k  <1 解得 33 33k   , ∴在区间[-1,1]上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 有公共点的概率为   33 333 1 1 3     . 答案: 3 3 16.已知正四棱锥 S-ABCD 中,SA=2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 . 解 析 : 设 底 面 边 长 为 a , 则 高 h= 2 2 2 2 1222 aaSA      , 所 以 体 积 V= 6 2411123 3 2 aa h a, 设 y=12a4- 1 2 a6,则 y′=48a3-3a5,当 y 取最值时,y′=48a3-3a5=0,解得 a=0 或 a=4 时,当 a=4 时,体积最大,此时 h= 2 12 2 a 2. 答案:2 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和. 解析:(1)设{an}是公差为 d 的等差数列,{bn}是公比为 q 的等比数列,运用通项公式可得 q=3,d=2,进而得到所求通项公式; (2)求得 cn=an+bn=2n-1+3n-1,再由数列的求和方法:分组求和,运用等差数列和等比数列的 求和公式,计算即可得到所求和. 答案:(1)设{an}是公差为 d 的等差数列,{bn}是公比为 q 的等比数列, 由 b2=3,b3=9,可得 q= 3 2 b b =3,bn=b2qn-2=3·3n-2=3n-1; 即有 a1=b1=1,a14=b4=27,则 d= 14 1 13 aa =2,则 an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1; (2)cn=an+bn=2n-1+3n-1, 则数列{cn}的前 n 项和为(1+3+…+(2n-1))+(1+3+9+…+3n-1)= 21 1 3 3 122 1 3 2 nn n n n    . 18.为选拔选手参加“中国谜语大会”,某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次 竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本 (样本容量为 n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分 组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100] 的数据). (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“中 国谜语大会”,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率. 解析:(Ⅰ)由样本容量和频数频率的关系易得答案; (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5, 分数在[90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2,列举法易得. 答 案 : ( Ⅰ ) 由 题 意 可 知 , 样 本 容 量 n 8 0.016 10 =50 , y 2 50 10 =0.004 , x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030; (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5, 分数在[90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2.抽取的 2 名学生的所有情况有 21 种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2, a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4, b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2). 其中 2 名同学的分数都不在[90,100]内的情况有 10 种,分别为: (a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5), (a4,a5). ∴所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率 P= 10 111 21 21. 19.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 AD 上的点,点 F 为边 CD 的中点,AB=AE= 2 3 AD=4,现 将△ABE 沿 BE 边折至△PBE 位置,且平面 PBE⊥平面 BCDE. (1)求证:平面 PBE⊥平面 PEF; (2)求四棱锥 P-BCEF 的体积. 解析:(1)在 Rt△DEF 中,由已知可得∠DEF=45°,在 Rt△ABE 中,得到∠AEB=45°,则可 得到 EF⊥BE,结合平面 PBE⊥平面 BCDE,可得 EF⊥平面 PBE,从而得到平面 PBE⊥平面 PEF; (2)过 P 做 PO⊥BE,由面面垂直的性质及线面垂直的判定得到 PO⊥平面 BCDE,即 PO 为四棱 锥 P-BCFE 的高.把 S 四边形 BCFE 转化为 S 矩形 ABCD-S△ABE-S△DEF,求值后代入棱锥的体积公式得答案. 答案:(1)在 Rt△DEF 中,∵ED=DF,∴∠DEF=45°. 在 Rt△ABE 中,∵AE=AB,∴∠AEB=45°,∴∠BEF=90°,则 EF⊥BE. ∵平面 PBE⊥平面 BCDE,且平面 PBE∩平面 BCDE=BE,∴EF⊥平面 PBE, ∵EF平面 PEF,∴平面 PBE⊥平面 PEF; (2)过 P 做 PO⊥BE, ∵PO平面 PBE,平面 PBE⊥平面 BCDE 且平面 PBE∩平面 BCDE=BE,∴PO⊥平面 BCDE, 四棱锥 P-BCFE 的高 h=PO=2 2 .S 四边形 BCFE=S 矩形 ABCD-S△ABE-S△DEF=6×4- 1 2 ×4×4- ×2×2=14, 则 VP-BCFE= 1 3 S 四边形 BCFE·h= 1 28 214 2 233   . 20.已知椭圆 C: 22 22 xy ab =1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),且点 P(1, 3 2 )在椭圆 C 上,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设过定点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解析:(Ⅰ)利用已知条件求出 c=1,得到 a2=b2+1.通过点 P(1,3 2 )在椭圆 C 上,得到 22 1 94 ab =1,可解椭圆 C 的标准方程. (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=kx+2,点 A(x1,y1),B(x2,y2),通过联立直线与椭圆方程,利用 韦达定理以及 x1x2+y1y2>0.判别式的符号,求解 k 的范围即可. 答案:(Ⅰ)由题意,得 c=1,所以 a2=b2+1. 因为点 P(1, )在椭圆 C 上,所以 =1,可解得 a2=4,b2=3. 则椭圆 C 的标准方程为 22 43 xy =1. (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=kx+2,点 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 22 143 2 xy y kx     , , 得(4k2+3)x2+16kx+4=0. 因为△=48(4k2-1)>0,所以 k2> 1 4 , 由根与系数的关系,得 x1+x2= 2 16 43 k k   ,x1x2= 2 4 43k  . 因为∠AOB 为锐角,所以OA OB >0,即 x1x2+y1y2>0. 所以 x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0, 即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0,  2 2 2 2 2 4 16 12 161 2 4 0 04 3 4 3 4 3 kkkkk k k           > > ,所 以 k2< 4 3 . 综上 14<k2< ,解得 2 3 1 32k< < 或 1 2 3 23k< < . 21.已知函数 f(x)=aln(x+1)-ax-x2. (1)若 x=1 为函数 f(x)的极值点,求 a 的值; (2)讨论 f(x)在定义域上的单调性. 解析:(1)求函数的导数,根据 x=1 为函数 f(x)的极值点,建立方程 f′(1)=0,进行求解即 可. (2)求函数的导数,讨论 a 的取值范围,结合函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可. 答案:(1)因为 f′(x)= 1 a x  -a-2x, 令 f′(1)=0,即 2 a -a-2=0,解得 a=-4, 经检验:此时,x∈(0,1),f′(x)>0,f(x)递增; x∈(1,+∞),f′(x)<0,f(x)递减, ∴f(x)在 x=1 处取极大值.满足题意. (2)f′(x)= 22 2211 axxa axxx    , 令 f′(x)=0,得 x=0,或 x=- 2 2 a  ,又 f(x)的定义域为(-1,+∞). ①当- ≤-1,即 a≥0 时,若 x∈(-1,0),则 f′(x)>0,f(x)递增; 若 x∈(0,+∞),则 f′(x)<0,f(x)递减; ②当-1<- <0,即-2<a<0 时,若 x∈(-1,- ),则 f′(x)<0,f(x)递减; 若 x∈(- ,0),则 f′(x)>0,f(x)递增;若 x∈(0,+∞),则 f′(x)<0,f(x)递减; ③当- =0,即 a=-2 时,f′(x)≤0,f(x)在(-1,+∞)内递减, ④当- >0,即 a<-2 时,若 x∈(-1,0),则 f′(x)<0,f(x)递减; 若 x∈(0,- ),则 f′(x)>0,f(x)递增; 若 x∈(- ,+∞),则 f′(x)<0,f(x)递减.