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- 2021-06-09 发布
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2017 年青海省西宁市高考二模试卷数学文
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.复数 5
12
i
i
=( )
A.2-i
B.1-2i
C.-2+i
D.-1+2i
解析:
5 1 25 21 2 1 2 1 2
iii ii i i
.
答案:C
2.设集合 M={-1,0,1},N={a,a2}则使 M∩N=N 成立的 a 的值是( )
A.1
B.0
C.-1
D.1 或-1
解析:∵M={-1,0,1},N={a,a2},M∩N=N,∴ 2
1
1
a
a
,
,
解得 a=-1.
答案:C
3.已知平面向量 a =(1,2),b =(-2,m),且 a ∥ ,则| |为( )
A.2 5
B.5
C.3
D.1
解析:∵ ∥ ,平面向量 =(1,2), =(-2,m),
∴-2×2-m=0,解得 m=-4.∴ =(-2,-4),∴ 222 4 2 5b .
答案:A
4.已知 cos 4)45( ,则 sin2α=( )
A. 24
25
B. 7
25
C.±
D.± 7
25
解析:由 cos 4)45( ,
可得:cos
4
cosα+sin sinα= 4
5
,则 cosα+sinα= 42
5
,
两边平方,得 1+sin2α= 32
25
,则 sin2α= .
答案:B
5.某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角
形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是( )
A.8
B. 8
3
C.4
D. 4
3
解析:由三视图可知,几何体是一个底面是正方形的四棱锥,且一条侧棱垂直于底面.
底面对角线的长为 2,底面面积是 S= 1
2
×22=2,
四棱锥高为 h=2,所以它的体积是 142233 .
答案:D
6.抛物线 y2=16x 的焦点为 F,点 A 在 y 轴上,且满足 OA OF ,抛物线的准线与 x 轴的
交点是 B,则 FA AB =( )
A.-4
B.4
C.0
D.-4 或 4
解析:抛物线 y2=16x 的焦点为 F(4,0), ,可得 A(0,±4),
又 B(-4,0),即有 FA =(-4,4), AB =(-4,-4),或 =(-4,-4), =(-4,4),
则有 =16-16=0.
答案:C
7.在△ABC 中,A,B,C 成等差数列是(b+a-c)(b-a+c)=ac 的( )
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(1)如图,若 A,B,C 成等差数列:2B=A+C,所以 3B=180°,B=60°;
∴由余弦定理得,b2=a2+c2-ac;∴a2+c2-b2=ac;
∴(b+a-c)(b-a+c)=b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=-ac+2ac=ac;即(b+a-c)(b-a+c)=ac;
∴A,B,C 成等差数列是(b+a-c)(b-a+c)=ac 的充分条件;
(2)若(b+a-c)(b-a+c)=ac,则:b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=ac;∴a2+c2-b2=ac;
由余弦定理:a2+c2-b2=2ac·cosB;∴cosB= 1
2
;∴B=60°;
∴60°-A=180°-(A+60°)-60°;即 B-A=C-B;
∴A,B,C 成等差数列;∴A,B,C 成等差数列是(b+a-c)(b-a+c)=ac 的必要条件;
∴综上得,A,B,C 成等差数列是(b+a-c)(b-a+c)=ac 的充要条件.
答案:C
8.现有四个函数:①y=x·sinx;②y=x·cosx;③y=x·|cosx|;④y=x·2x 的图象(部分)
如图:
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A.①④③②
B.③④②①
C.④①②③
D.①④②③
解析:根据①y=x·sinx 为偶函数,它的图象关于 y 轴对称,故第一个图象即是;
根据②y=x·cosx 为奇函数,它的图象关于原点对称,它在(0,
2
)上的值为正数,
在(
2
,π)上的值为负数,故第三个图象满足;
根据③y=x·|cosx|为奇函数,当 x>0 时,f(x)≥0,故第四个图象满足;
④y=x·2x,为非奇非偶函数,故它的图象没有对称性,故第 2 个图象满足.
答案:D
9.若偶函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),c=f(
3
22 ),则 a,b,c
满足( )
A.a<b<c
B.b<a<c
C.c<a<b
D.c<b<a
解析:∵偶函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在{0,+∞)上单调递增,
∵2>log23=log49>log45,
3
22 >2,∴f(log45)<f(log23)<f( ),∴b<a<c.
答案:B.
10.函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,A、B
分别为最高点与最低点,且|AB|=2 2 ,则该函数图象的一条对称轴为( )
A.x=
2
B.x=
3
C.x=2
D.x=1
解析:由函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,可得φ=kπ+
2
,k∈z.
再结合 0<φ<π,可得φ= .
再根据 AB2=8=4+(
)2,求得ω= ,∴函数 y=cos(
22x )=-sin
2
x,故它的一条对称
轴方程为 x=1.
答案:D
11.椭圆
22
22
xy
ab =1(a>b>0)的中心在原点,F1,F2 分别为左、右焦点,A,B 分别是椭圆的
上顶点和右顶点,P 是椭圆上一点,且 PF1⊥x 轴,PF2∥AB,则此椭圆的离心率等于( )
A. 1
3
B. 1
2
C. 2
2
D. 5
5
解析:如图所示,把 x=-c 代入椭圆方程 =1(a>b>0),可得 P(-c,
2b
a
),
又 A(0,b),B(a,0),F2(c,0),∴kAB= b
a ,kPF2=
2
2
b
ac ,
∵PF2∥AB,∴
2
2
bb
a ac ,化为:b=2c.∴4c2=b2=a2-c2,即 a2=5c2,∴e=
2
2
5
5
c
a .
答案:D
12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:①f(x)=f(4-x),②f(x+2)=f(x),③在[0,1]上表达
式为 f(x)=2x-1,则函数 g(x)=f(x)-log3|x|的零点个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
解析:函数 f(x)满足:①f(x)=f(4-x),∴f(x+2)=f(2-x),
∴函数的对称轴为 x=2,
∵f(x+2)=f(x),∴函数的周期为 2,
∵在[0,1]上表达式为 f(x)=2x-1,
做出函数的图象和 y=log3|x|的图象,
通过图象得出交点的个数为 4.
答案:A
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.2016 年夏季大美青海又迎来了旅游热,甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青
海湖,海北百里油菜花海,茶卡天空之境三个地方时,
甲说:我去过的地方比乙多,但没去过海北百里油菜花海;
乙说:我没去过茶卡天空之境;
丙说:我们三人去过同一个地方.
由此可判断乙去过的地方为 .
解析:由乙说:我没去过茶卡天空之境,则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境,
但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过海北百里油菜花海,则乙只能是去过陆心之海青海
湖,茶卡天空之境中的任一个,
再由丙说:我们三人去过同一个地方,
则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖.
答案:陆心之海青海湖
14.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面
积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小
数点后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计
的一个程序框图,则输出 n 的值为 .(参考数据:sin15°=0.2588,sin7.5°
=0.1305)
解析:模拟执行程序,可得 n=6,S=3sin60°= 33
2
,
不满足条件 S≥3.10,n=12,S=6×sin30°=3,
不满足条件 S≥3.10,n=24,S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056,
满足条件 S≥3.10,退出循环,输出 n 的值为 24.
答案:24
15.在区间[-1,1]上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 有公共点的概率
为 .
解析:圆 x2+y2=1 的圆心为(0,0),
圆心到直线 y=k(x+2)的距离为
2
2
1
k
k
,
要使直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 有公共点,则
2
2
1
k
k
<1 解得 33
33k ,
∴在区间[-1,1]上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 有公共点的概率为
33
333
1 1 3
.
答案: 3
3
16.已知正四棱锥 S-ABCD 中,SA=2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 .
解 析 : 设 底 面 边 长 为 a , 则 高 h=
2 2
2 2 1222
aaSA
, 所 以 体 积 V=
6
2411123 3 2
aa h a,
设 y=12a4- 1
2
a6,则 y′=48a3-3a5,当 y 取最值时,y′=48a3-3a5=0,解得 a=0 或 a=4 时,当
a=4 时,体积最大,此时 h=
2
12 2
a 2.
答案:2
三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和.
解析:(1)设{an}是公差为 d 的等差数列,{bn}是公比为 q 的等比数列,运用通项公式可得
q=3,d=2,进而得到所求通项公式;
(2)求得 cn=an+bn=2n-1+3n-1,再由数列的求和方法:分组求和,运用等差数列和等比数列的
求和公式,计算即可得到所求和.
答案:(1)设{an}是公差为 d 的等差数列,{bn}是公比为 q 的等比数列,
由 b2=3,b3=9,可得 q= 3
2
b
b
=3,bn=b2qn-2=3·3n-2=3n-1;
即有 a1=b1=1,a14=b4=27,则 d= 14 1
13
aa =2,则 an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1;
(2)cn=an+bn=2n-1+3n-1,
则数列{cn}的前 n 项和为(1+3+…+(2n-1))+(1+3+9+…+3n-1)= 21 1 3 3 122 1 3 2
nn
n n n
.
18.为选拔选手参加“中国谜语大会”,某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次
竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本
(样本容量为 n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分
组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]
的数据).
(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“中
国谜语大会”,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率.
解析:(Ⅰ)由样本容量和频数频率的关系易得答案;
(Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5,
分数在[90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2,列举法易得.
答 案 : ( Ⅰ ) 由 题 意 可 知 , 样 本 容 量 n 8
0.016 10
=50 , y 2
50 10
=0.004 ,
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030;
(Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5,
分数在[90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2.抽取的 2 名学生的所有情况有 21
种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,
a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,
b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).
其中 2 名同学的分数都不在[90,100]内的情况有 10 种,分别为:
(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),
(a4,a5).
∴所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率 P= 10 111 21 21.
19.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 AD 上的点,点 F 为边 CD 的中点,AB=AE= 2
3
AD=4,现
将△ABE 沿 BE 边折至△PBE 位置,且平面 PBE⊥平面 BCDE.
(1)求证:平面 PBE⊥平面 PEF;
(2)求四棱锥 P-BCEF 的体积.
解析:(1)在 Rt△DEF 中,由已知可得∠DEF=45°,在 Rt△ABE 中,得到∠AEB=45°,则可
得到 EF⊥BE,结合平面 PBE⊥平面 BCDE,可得 EF⊥平面 PBE,从而得到平面 PBE⊥平面 PEF;
(2)过 P 做 PO⊥BE,由面面垂直的性质及线面垂直的判定得到 PO⊥平面 BCDE,即 PO 为四棱
锥 P-BCFE 的高.把 S 四边形 BCFE 转化为 S 矩形 ABCD-S△ABE-S△DEF,求值后代入棱锥的体积公式得答案.
答案:(1)在 Rt△DEF 中,∵ED=DF,∴∠DEF=45°.
在 Rt△ABE 中,∵AE=AB,∴∠AEB=45°,∴∠BEF=90°,则 EF⊥BE.
∵平面 PBE⊥平面 BCDE,且平面 PBE∩平面 BCDE=BE,∴EF⊥平面 PBE,
∵EF平面 PEF,∴平面 PBE⊥平面 PEF;
(2)过 P 做 PO⊥BE,
∵PO平面 PBE,平面 PBE⊥平面 BCDE 且平面 PBE∩平面 BCDE=BE,∴PO⊥平面 BCDE,
四棱锥 P-BCFE 的高 h=PO=2 2 .S 四边形 BCFE=S 矩形 ABCD-S△ABE-S△DEF=6×4- 1
2
×4×4- ×2×2=14,
则 VP-BCFE= 1
3
S 四边形 BCFE·h= 1 28 214 2 233 .
20.已知椭圆 C:
22
22
xy
ab =1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),且点 P(1, 3
2
)在椭圆 C 上,O
为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
(Ⅱ)设过定点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角,求直线 l
的斜率 k 的取值范围.
解析:(Ⅰ)利用已知条件求出 c=1,得到 a2=b2+1.通过点 P(1,3
2
)在椭圆 C 上,得到 22
1 94
ab
=1,可解椭圆 C 的标准方程.
(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=kx+2,点 A(x1,y1),B(x2,y2),通过联立直线与椭圆方程,利用
韦达定理以及 x1x2+y1y2>0.判别式的符号,求解 k 的范围即可.
答案:(Ⅰ)由题意,得 c=1,所以 a2=b2+1.
因为点 P(1, )在椭圆 C 上,所以 =1,可解得 a2=4,b2=3.
则椭圆 C 的标准方程为
22
43
xy =1.
(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=kx+2,点 A(x1,y1),B(x2,y2),
由
22
143
2
xy
y kx
,
,
得(4k2+3)x2+16kx+4=0.
因为△=48(4k2-1)>0,所以 k2> 1
4
,
由根与系数的关系,得 x1+x2= 2
16
43
k
k
,x1x2= 2
4
43k
.
因为∠AOB 为锐角,所以OA OB >0,即 x1x2+y1y2>0.
所以 x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0,
即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0, 2
2
2 2 2
4 16 12 161 2 4 0 04 3 4 3 4 3
kkkkk k k
> > ,所
以 k2< 4
3
.
综上 14<k2< ,解得 2 3 1
32k< < 或 1 2 3
23k< < .
21.已知函数 f(x)=aln(x+1)-ax-x2.
(1)若 x=1 为函数 f(x)的极值点,求 a 的值;
(2)讨论 f(x)在定义域上的单调性.
解析:(1)求函数的导数,根据 x=1 为函数 f(x)的极值点,建立方程 f′(1)=0,进行求解即
可.
(2)求函数的导数,讨论 a 的取值范围,结合函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.
答案:(1)因为 f′(x)=
1
a
x
-a-2x,
令 f′(1)=0,即
2
a -a-2=0,解得 a=-4,
经检验:此时,x∈(0,1),f′(x)>0,f(x)递增;
x∈(1,+∞),f′(x)<0,f(x)递减,
∴f(x)在 x=1 处取极大值.满足题意.
(2)f′(x)=
22 2211
axxa axxx
,
令 f′(x)=0,得 x=0,或 x=- 2
2
a ,又 f(x)的定义域为(-1,+∞).
①当- ≤-1,即 a≥0 时,若 x∈(-1,0),则 f′(x)>0,f(x)递增;
若 x∈(0,+∞),则 f′(x)<0,f(x)递减;
②当-1<- <0,即-2<a<0 时,若 x∈(-1,- ),则 f′(x)<0,f(x)递减;
若 x∈(- ,0),则 f′(x)>0,f(x)递增;若 x∈(0,+∞),则 f′(x)<0,f(x)递减;
③当- =0,即 a=-2 时,f′(x)≤0,f(x)在(-1,+∞)内递减,
④当- >0,即 a<-2 时,若 x∈(-1,0),则 f′(x)<0,f(x)递减;
若 x∈(0,- ),则 f′(x)>0,f(x)递增;
若 x∈(- ,+∞),则 f′(x)<0,f(x)递减.
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