江西省宜春市高安市高安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 20页

‎2019-2020学年江西省宜春市高安中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.设a，b，且，则下列选项中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质分别进行判断即可．‎ ‎【详解】对于A，当时不成立，‎ 对于B，当，时，不成立，‎ 对于C，成立，‎ 对于D，当，时不成立，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，要求熟练掌握不等式的性质．‎ ‎2.已知A、B、C三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，现从中抽取一个容量为n的样本，若从C社区抽取了15人，则（ ）‎ A. 33 B. 18 C. 27 D. 21‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分层抽样的性质直接求解．‎ ‎【详解】A、B、C三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，‎ 从中抽取一个容量为n的样本，从C社区抽取了15人，‎ 则，‎ 解得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查实数值的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎3.一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x，23，28，30，50，其中，中位数为22，则（ ）‎ A. 21 B. 15 C. 22 D. 35‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中位数定义直接求解．‎ ‎【详解】一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x，23，28，30，50，‎ 其中，中位数为22，‎ ‎，‎ 解得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查实数值的求法，考查中位数定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎4.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．‎ A. 收入最高值与收入最低值的比是 B. 结余最高的月份是月份 C. 与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同 D. 前个月的平均收入为万元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；‎ 结余最高为月份，为，故项正确；‎ 至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；‎ 前个月的平均收入为万元，故项错误．‎ 综上，故选．‎ ‎5.在长度为12cm的线段AB上任取一点M，使得线段AM长度满足的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构建长度的几何概型，求出即可．‎ ‎【详解】根据几何概型，满足的概率为长度之比 ‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型求概率，是基础题．‎ ‎6.已知变量x，y之间具有较强的线性相关性，测得它们的四组数据如表所示：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y 现已求得变量x，y之间的回归方程为，请根据给出的条件，预测时，y的值约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得，，代入求得a值，则线性回归方程可求，取求得y 值即可．‎ ‎【详解】，，‎ ‎，则线性回归方程为，‎ 取，得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．‎ ‎7.已知实数x，y满足，若直线经过该可行域，则实数k的最大值是（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，再利用直线过定点，再利用k的几何意义，只需求出直线过点时，k值即可．‎ ‎【详解】直线过定点，‎ 作可行域如图所示，‎ ‎，‎ 由，得．‎ 当定点和B点连接时，斜率最大，此时，‎ 则k的最大值为： ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎8.运行如图所示的程序框图，如果输入的n的值为7，那么输出的n的值为（ ）‎ A. 34 B. 1 C. 22 D. 17‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得 ‎， ‎ 满足条件n是奇数，， ‎ 满足条件，不满足条件n是奇数，， ‎ 满足条件，满足条件n是奇数，， ‎ 此时，不满足条件，退出循环，输出n的值为34．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎9.下列说法正确的个数为（ ）‎ ‎①命题“若，则”的逆命题为真命题；‎ ‎②命题“若或，则”的否命题为真命题；‎ ‎③存在，使得；‎ ‎④若正数a、b满足，则恒成立．‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接写出原命题的逆命题判断；利用否命题的真假判断；绝对值的几何意义判断；基本不等式求解最值判断．‎ ‎【详解】命题“若，则”逆命题为“若，则”显然逆命题是假命题；所以不正确 命题“若或，则”的否命题为“若且，则”是真命题；所以正确；‎ 存在，使得；不满足绝对值的几何意义，所以不正确；‎ 若正数a、b满足，，当且仅当，时成立，则恒成立．所以是真命题．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查原命题、逆命题、否命题的真假，基本不等式的应用，是基础题．‎ ‎10.不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，解二次不等式即可求解．‎ ‎【详解】由可得，‎ 解可得，且，‎ 即不等式的解集为且，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用，注意分母不为0．‎ ‎11.若x，y满足，且，且的最大值为（ ）‎ A. B. 1 C. 3 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，平移目标函数，求得最大值．‎ ‎【详解】，即，且，且，画出可行域（阴影所示）‎ 令当直线过点A时取得最大值，易得A 故的最大值为3，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎12.已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．‎ ‎【详解】当时，，得；最多一个零点；‎ 当时，，‎ ‎，‎ 当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；‎ 当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；‎ 根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，‎ 如图：‎ 且，‎ 解得，，．‎ 故选．‎ ‎【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.写出命题“”的否定：______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为 ‎14.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 ‎【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.‎ 由，得，，‎ 即切点，‎ 则切点Q到直线的距离为，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.‎ ‎15.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故．“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事．她们分别是中国古代的四大美女．某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，列出甲，乙，丙扮演的所有的基本事件共6种，而甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君包含1个基本事件，代入古典概型的概率公式即可．‎ ‎【详解】依题意，所有的情况为甲西施，丙昭君，丁貂蝉，甲西施，丙貂蝉，丁昭君，甲昭君，丙西施，丁貂蝉，甲昭君，丙貂蝉，丁西施，甲貂蝉，丙昭君，丁西施，甲貂蝉，丙西施，丁昭君，共6种，‎ 其中满足条件的就1种，‎ 故所求事件的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率，考查分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎16.若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ②+≤； ③a2+b2≥2；④a3+b3≥3;.‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】对于①：因为，，所以，所以，故①项正确；‎ 对于②：左边平方可得：，所以，故②项错误；‎ 而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；‎ 对于③：因为，由①知，所以，故③项正确；‎ 对于④：,故④项错误；‎ 对于⑤+==≥2，故⑤项正确；‎ 故本题正确答案为：①③⑤.‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）当时，解关于x的不等式；‎ ‎（2）当时，解关于x的不等式．‎ ‎【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将的值代入已知可得，根据已知可得，解之即可得到解集；‎ ‎（2）对变形，对a讨论，分，，，化简不等式，即可得到所求解集.‎ ‎【详解】（1）当时，，由得．‎ 即，‎ 解得，或，‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）当时，由，得，即．‎ 方程的两根为，．‎ 当，即时，解得，‎ 当，即时，解得或，‎ 当，即时，解得或．‎ 综上所述：当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为．‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式和分类讨论的思想运用，利用因式分解法直接求一元二次方程的根是需要掌握的常用方法，属中档题.‎ ‎18.习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元．‎ ‎（1）每台充电桩第几年开始获利？（）‎ ‎（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．‎ ‎【答案】（1）公司从第3年开始获利；（2）在第8年时，每台充电桩年平均利润最大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，由此可得第n年时累计利润的解析式，则，解之即可；（2）每台充电桩年平均利润为，由基本不等式可求出最大值，注意等号成立的条件.‎ ‎【详解】（1）由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，设第n年时累计利润为，‎ ‎，‎ 开始获利即，∴，即，‎ 解得，∵，‎ ‎∴，∴公司从第3年开始获利；‎ ‎（2）每台充电桩年平均利润为 ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ 即在第8年时每台充电桩年平均利润最大为2400元．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的实际应用和利用基本不等式求最值，考查学生分析问题，解决问题的能力，根据条件列出符合题意的表达式是解本题的关键，属中档题.‎ ‎19.设命题:实数满足，其中， 命题:实数满足．‎ ‎（1）若且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将 代入分别求出命题与，然后结合为真，求出实数的取值范围 ‎(2)若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，然后列出不等式组求出结果 ‎【详解】解:（1）当时， ‎ 又为真，所以真且真，由，得 所以实数的取值范围为 ‎ ‎（2）因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件， ‎ 又,所以，解得 ‎ 经检验，实数的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查了复合命题的判断，考查了集合的包含关系，需掌握解题方法，本题属于常考题型．‎ ‎20.某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动．活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x 元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，奖励每名用户1000元的红包．为了合理确定保费x的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表其中y表示保费为x元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例：‎ x ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ y ‎（1）根据上面的数据求出y关于x的回归直线方程；‎ ‎（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x定为5元？‎ 参考公式：，，．‎ 参考数据：．‎ ‎【答案】（1）； （2）能，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；‎ ‎（2）把代入线性回归方程，求得y值，进一步求出该手机厂在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润，与70万元比较大小得结论．‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 关于x的回归直线方程为；‎ ‎（2）能把保费x定为5元．‎ 理由如下：若保费x为5元，则估计，‎ 估计该手机厂在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为：‎ 元万元万元．‎ 能把保费x定为5元．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．‎ ‎21.某高校在2016年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎5‎ 第2组 n 第3组 ‎30‎ p 第4组 ‎20‎ 第5组 ‎10‎ 合计 ‎100‎ ‎（1）求频率分布表中n，p的值，完善频率分布直方图并估计该组数据的中位数保留l位小数；‎ ‎（2）为了能选拔出最优秀学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，学校决定从这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．‎ ‎【答案】（1）n=35人，p=0.30,中位数为，详见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率，频数的关系以即可求出答案；利用中位数将频率分布直方图面积等分求解．‎ ‎（2）利用分层抽样得抽取的各组人数，根据古典概型概率公式得到结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意可知，第2组的频数人，‎ 第3组的频率；‎ 第一、二两组的频率和为，‎ 第三组的频率为，‎ 所以中位数落在第三组．‎ 设中位数距离170为x，则，解得，‎ 故笔试成绩的中位数为；‎ ‎（2）第3、4、5组共有60名学生，‎ 利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，‎ 试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有种，‎ 满足条件的事件是第4组至少有一名学生被考官A面试有种结果，‎ 至少有一位同学入选的概率为．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，考查古典概型，熟练掌握频率，矩形的高等常用公式及利用直方图计算平均数、中位数的方法是解答的关键．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若，都，使成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得的两根是，，运用韦达定理可得；‎ ‎（2）问题转化为，分别求出函数、在给定区间上的最小值，即可得出答案．‎ ‎【详解】（1）由得，整理得，‎ 因为不等式的解集为，所以方程的两个根是，；‎ 由根与系数的关系得，即；‎ ‎（2）由已知，只需，‎ 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，‎ 由于，‎ 所以函数在上的最小值为，‎ 因为开口向上，且对称轴为，故 ‎①当，即时，，解得；‎ ‎②当，即时，‎ ‎，‎ 解得或，所以；‎ ‎③当，即时，，‎ 解得，所以.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性和最值，考查分类讨论思想方法和任意性、存在性问题解法，注意转化思想的运用，考查化简运算能力，属于难题．‎ ‎ ‎