【数学】2019届一轮复习人教A版直线与圆、圆与圆、阿波罗尼斯圆（隐形圆）问题学案 8页

知识点归纳：‎ 一、 圆的标准方程：，圆心，半径 圆的一般方程：‎ 当时，才能表示圆，圆心，半径 当，表示一个点 当，不表示任何图形 二、 直线与圆的位置关系 设圆的标准方程：，直线方程：‎ 判别方法1：设圆心到直线的距离为，若，直线与圆相离；若，直线与圆相切；若，直线与圆相交；‎ 判别方法2：将直线与圆联立方程组消元得到一个关于或者的一元二次方程，若，直线与圆相交；若，直线与圆相切；若，直线与圆相离；‎ 三、 圆与圆的位置关系 设圆的方程，‎ 圆的圆心距为，的半径为，的半径为 若，两圆相外离；若，两圆相外切；若，两圆相交；‎ 若，两圆相内切；若，两圆相内含；‎ 四、 圆系方程 ‎①设直线与圆相交，则过两交点的圆的方程为 ‎②设圆，圆相交，则过两交点的圆的方程为 注：时，表示过两交点的圆；时，表示过两交点的直线方程，即圆与圆的相交弦所在的直线方程 ‎ 以，为直径端点的圆的方程 五、阿波罗尼斯圆 动点到两定点的距离的比值为一定值，即，且的点的轨迹是圆.‎ 当时，动点的轨迹为线段的垂直平分线，将其称之为阿波罗尼斯圆．学 ‎ 江苏高考中每年都会有圆的试题，填空题和解答题甚至应用题中都有可能出现，考点也不外乎上述的知识点总结，下面我们通过实例来看看每个知识点的考法。‎ 例1、（2013江苏卷17）如图，在平面直角坐标系中，点，直线。设圆的半径为，圆心在上。‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.‎ 考点：圆的切线方程，阿波罗尼斯圆，圆与圆的位置关系 解：（1）由得圆心为，∵圆的半径为 ‎∴圆的方程为：‎ 显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即 ‎∴∴∴∴或者 ‎∴所求圆的切线方程为：或者即或者 ‎（2）∵圆的圆心在在直线上，所以，设圆心为 则圆的方程为：‎ 又∵∴设M为（x,y）则整理得：设为圆 ∴点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点 ‎∴‎ 由得 由得 终上所述，的取值范围为：‎ 例2、（2016年江苏高考18）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：及其上一点．‎ ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．‎ 考点：圆的标准方程，直线与圆相交、相切 解：（1）因为在直线上，设，因为与轴相切，则圆为，‎ ‎，又圆与圆外切，圆：，则，解得，‎ 即圆的标准方程为．学 ‎ ‎（2）由题意得， 设，则圆心到直线的距离， 则，，即， 解得或，即：或．‎ 例3、（2017江苏高考13）在平面直角坐标系中，，，点在圆上，若，则点的横坐标的取值范围是 ‎ 考点：圆的轨迹，圆与圆相交交点 解：设，则，‎ 因为，所以，化简得 故点的轨迹表示为圆上的点和园内的所有点 圆与圆相交的交点横坐标通过联立两圆的方程解得交点横坐标为或 结合图像可得点的横坐标范围为 例4、（2017六市高三二模18）一缉私艇巡航至距领海边界线（一条南北方向的直线）海里的处，发现在其北偏东方向相距海里的处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．‎ ‎（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：°，）‎ 领海 A B 北 ‎30°‎ 公海 l ‎（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．‎ 考点（2）阿波罗尼斯圆 解：（1）设缉私艇在处与走私船相遇（如图1），‎ ‎ 依题意，． ‎ 在△中，由正弦定理得，‎ ‎． ‎ 因为°，所以°．‎ ‎ 从而缉私艇应向北偏东方向追击A B C 图1‎ 。在△中，由余弦定理得，‎ ‎，解得． ‎ 又到边界线的距离为．学 . ‎ 因为，所以能在领海上成功拦截走私船． ‎ ‎（2）如图2，以为原点，正北方向所在的直线为轴建立平面直角坐标系．‎ y 公海 领海 A B 图2‎ ‎60 ‎ l x 则，设缉私艇在处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则，即．‎ 整理得，， ‎ 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆． ‎ 因为圆心到领海边界线：的距离为，大于圆半径，‎ 所以缉私艇能在领海内截住走私船． ‎ ‎ 答：（1）缉私艇应向北偏东方向追击；‎ ‎ （2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船． ‎ ‎1、（2017盐城高三三模13）已知四点共面，，，，则的最大值为 ▲ ．‎ 考点：圆的轨迹 ‎2、（2017苏北四市高三上学期期中17）如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，．‎ ‎（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，，求直线的方程；‎ ‎（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．‎ 考点：直线与圆位置关系，圆的轨迹，圆与圆位置关系 解：（1）圆的标准方程为，所以圆心，半径为．‎ 因为，，，所以直线的斜率为 设直线的方程为 则圆心到直线的距离为．‎ 因为， ‎ 而，所以 ‎ 解得或，‎ 故直线的方程为或．‎ ‎ ‎ ‎3、（2016南通高三一模11）在平面直角坐标系中，点.若直线上存在点，使得,则实数的取值范围是 考点：阿波罗尼斯圆，直线与圆的位置关系 解：设，因为，所以化简得 ‎，直线与圆有交点，，即，所以 ‎4、（2016扬州高三期中19）已知直线与圆相交，截得的弦长为．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过原点作圆的两条切线，与抛物线相交于、两点（异于原点）．证明：直线与圆相切；‎ ‎（3）若抛物线上任意三个不同的点、、，且满足直线和都与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并加以证明．‎ 考点：圆的方程，直线与圆位置关系 解：（1）∵ ∴圆心到直线的距离为，‎ ‎∵截得的弦长为 ∴ ‎ ‎∴圆的方程为： ‎ ‎（3）直线与圆相切．证明如下：‎ 设，则直线、、的方程分别为：‎ ‎：，：；：‎ ‎∵是圆的切线 ∴，化简得： ①‎ ‎∵是圆的切线，同理可得： ② ‎ 则为方程的两个实根 ∴‎ ‎∵圆心到直线的距离为： ‎ ‎∴直线与圆相切．学 ‎