陕西省渭南市韩城市司马迁中学2020届高三下学期冲刺考试数学（文）试卷 11页

陕西省渭南市韩城市司马迁中学2020届高三下学期冲刺考试数学（文）试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项正确。‎ ‎1．已知为虚数单位，实数，满足，则（）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎2．已知集合，集合，‎ 若，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．函数图象向右平移个单位后所得图象关于原点对称，可以是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．地的天气预报显示，地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0—9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：‎ 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中表示除以的余数，例如．若输入的值为8时，则输出的值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．已知，则、、的大小排序为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．，是两个平面，，是两条直线，则下列命题中错误的是（）‎ A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 ‎9．已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（）‎ A．3 B．1 C． D．2‎ ‎10．已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于、、点，令，，则当时，的值为（）‎ ‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎12．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．已知实数，满足条件，则的最大值为__________．‎ ‎14．已知，，则__________．‎ ‎15．在中，是的中点，，点在上，且满足，则的值为___________．‎ ‎16．已知中，角、、所对的边分别是、、且，，有以下四个命题：‎ ‎①的面积的最大值为40；②满足条件的不可能是直角三角形；‎ ‎③当时，的周长为15；④当时，若为的内心，则 的面积为．其中正确命题有__________（填写出所有正确命题的番号）．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）数列满足，（为常数）．‎ ‎（1）试探究数列是否为等比数列，并求；‎ ‎（2）当时，求数列的前项和．‎ ‎18．（12分）为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；‎ ‎（2）①试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎②若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率．‎ ‎19．（12分）三棱柱中，，，分别为棱，，的中点．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）若三棱柱的体积为，求三棱锥的体积．‎ ‎20．（12分）已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、，在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数．若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，设，求证：当时，不等式成立．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．【坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，直线：（‎ 为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：．‎ ‎（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值．‎ ‎23．【不等式选讲】 已知函数． ‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题 DABDC BADDA CC 二、填空题 13. 14. 15. 16. ③④‎ ‎10.为奇函数，且，函数在上递增， ‎ ‎，‎ 即，实数的取值范围是．故选A．‎ ‎11.设，， ，，又，可得，，分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，则，同理可得，‎ ‎12.设，当时，，∴此时函数单调递增．，，‎ 又，，故选C．‎ 三、解答题 17.（1）∵，∴，‎ 又，所以当时，，数列不是等比数列．‎ 此时，即；当时，，所以．‎ 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．‎ 此时，即．‎ ‎（2）由（1）知，所以，‎ ‎①，②，‎ ‎①-②得：‎ ‎，所以．‎ ‎18.（1）由直方图可知，样本中数据落在的频率为，‎ 则估计全校这次考试中优秀生人数为．‎ ‎（2）①设样本数据的平均数为，‎ 则，‎ 则估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5．‎ ‎②由分层抽样知识可知，成绩在，，间分别抽取了3人，2人，1人．记成绩在的3人为，，，成绩在的2人为，，成绩在的1人为，记恰好抽中2名优秀生为事件，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，‎ 其中恰好抽中2名优秀生的结果有， ，，，，， ，，共9种，则．‎ ‎19.（1）连交于点，连，．则，且，又，且∴，且，∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，又平面，平面，∴平面．‎ ‎（2）由题意得，‎ ‎∵平面，∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎20.（1）设，，，‎ 由于，所以，‎ 即，所以，又，所以，‎ 从而，即曲线的方程为：．‎ ‎（2）由题意设直线的方程为：，，，‎ 由得：，所以，‎ 故，，‎ 假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，则 ‎，‎ 当，且时，为常数，解得；‎ 显然当时，常数为；当时，常数为，‎ 所以存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为．‎ ‎21. 解：（1）， ……………（2分）‎ 当时，恒成立，即恒成立， ‎ ‎∴在时恒成立，或在时恒成立，‎ ‎∵，∴或 ………………（6分）‎ ‎（II），‎ ‎∵定义域是，，即 ‎∴在是增函数，在是减函数，在是增函数 ‎∴当时，取极大值，‎ 当时，取极小值， ………………（8分）‎ ‎∵，∴ ………………（10分）‎ 设，则，‎ ‎∴，∵，∴∴在是增函数，∴∴在也是增函数∴，即，‎ 而，∴‎ ‎∴当时，不等式成立． ………………（14分）‎ ‎22.（1）由题意得直线的普通方程为：，所以其极坐标方程为：；‎ 由得：，所以曲线的直角坐标方程为：．‎ ‎（2）由，，‎ 所以，‎ 由于，所以当时，取得最大值．‎ ‎23.（1）；（2）．‎