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- 2021-06-09 发布
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南昌二中2019—2020学年度上学期期末考试
高二数学(理)试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.用反证法证明命题:“,若可被整除,那么中至少有一个能被整除.”时,假设的内容应该是( )
A.都不能被5整除 B.都能被5整除
C.不都能被5整除 D.能被5整除
3.函数的图象在点处的切线的倾斜角为( )
A.0 B. C.1 D.
4.下列命题中错误的是( )
A.若命题为真命题,命题为假命题,则命题“”为真命题
B.命题“若,则或”为真命题
C.命题“若函数的导函数满足,则是函数的极值点”的逆否命题是真命题
D.命题p:,则p为
5.直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若,则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.函数在区间上的最大值是( )
A. B. C. D.
8.若,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.甲、乙、丙,丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有两位优秀,两位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则( )
A.乙、丁可以知道自己的成绩 B.乙可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.丁可以知道四人的成绩
10.下列命题为真命题的个数是( )
① ② ③
A.0 B.1 C.2 D.3
11.双曲线的左,右顶点分别是,是上任意一点,直线分别与直线交于,则的最小值是( )
A. B. C.2 D.3
12.若函数与函数的图象存在公切线,则正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数,则等于____________.
14. __________.
15.已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x+2)2+(y―4)2=1上任意一点,则|PQ|+x的最小值为_____.
16.已知函数.下列说法正确的是___________.
①有且仅有一个极值点;
②有零点;
③若极小值点为,则;
④若极小值点为,则.
三、解答题:本大题共6个题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
命题,命题方程表示焦点在轴上的椭圆.
(1)若“或”为假命题,求实数的取值范围;
(2)若“非”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.
18.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,曲线为(为参数).在以为原点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为,射线与除极点外的一个交点为,设直线经过点,且倾斜角为,直线与曲线的两个交点为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)求的值.
19.(本小题满分12分)
数列的前项和为,且满足.
(1)求,,,的值;
(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
20.(本小题满分12分)
设函数.
(1)当时,恒成立,求实数的取值范围;
(2)方程有唯一实数解,求正数的值.
21.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(,0),B(-,0),直线PA与PB的斜率之积为-.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合),求证:直线MQ过定点.
22.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:.
高二数学(理)期末考试参考答案
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
【答案】B
2.用反证法证明命题:“,若可被整除,那么中至少有一个能被整除.”时,假设的内容应该是( )
A.都不能被5整除 B.都能被5整除
C.不都能被5整除 D.能被5整除
【答案】A
3.函数的图象在点处的切线的倾斜角为( )
A.0 B. C.1 D.
【答案】B
试题分析:,令,则倾斜角为.
4.下列命题中错误的是( )
A.若命题为真命题,命题为假命题,则命题“”为真命题
B.命题“若,则或”为真命题
C.命题“若函数的导函数满足,则是函数的极值点”的逆否命题是真命题
D.命题p:,则p为
【答案】C
5.直线的倾斜角的取值范围是( D )
A. B. C. D.
6.若,则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
7.函数在区间上的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
8.若,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】B
依题意,,故,所以选B.
9.甲、乙、丙,丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有两位优秀,两位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则( )
A.乙、丁可以知道自己的成绩 B.乙可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.丁可以知道四人的成绩
【答案】A
10.下列命题为真命题的个数是( C )
① ② ③
A.0 B.1 C.2 D.3
11.双曲线的左,右顶点分别是,是上任意一点,直线
分别与直线交于,则的最小值是( B )
A. B. C.2 D.3
12.若函数与函数的图象存在公切线,则正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
13.已知函数,则等于____________.
详解:函数
,
将代入,得
14.__________.
15.已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x+2)2+(y﹣4)2=1上任意一点,则|PQ|+x的最小值为_____.
【答案】3
画出图像,设焦点为,由抛物线的定义有,故.
又当且仅当共线且为与圆的交点时取最小值为 .故的最小值为.
又当为线段与抛物线的交点时取最小值,
此时
16.已知函数.下列说法正确的是___________.
①有且仅有一个极值点;
②有零点;
③若极小值点为,则
④若极小值点为,则
①③
17.命题,命题方程表示焦点在轴上的椭圆.
(1)若“或”为假命题,求实数的取值范围;
(2)若“非”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.
试题解析:(1)关于命题,
时,显然不成立,时成立,恒成立
时,只需即可,解得:,故为真时:;
关于命题,解得: ,
命题“或”为假命题,即均为假命题,则;.
(2)非,所以
18.在平面直角坐标系中,曲线为(为参数).在以为原点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为,射线与除极点外的一个交点为,设直线经过点,且倾斜角为,直线与曲线
的两个交点为.
(1)求普通方程和的直角坐标方程;
(2)求的值.
18.试题分析:(1)的普通方程是.
由得,所以的直角坐标方程是
(2)联立与得或,不是极点,.
依题意,直线的参数方程可以表示为 (为参数),
代入得,设点的参数是,则
,
19.数列的前项和为,且满足.
(1)求,,,的值;
(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
解:(1)当时,∵,∴,
又,∴,
同理,;
(2)猜想
下面用数学归纳法证明这个结论.
①当时,结论成立.
②假设时结论成立,即,
当时,,
∴,∴
即当时结论成立.
由①②知对任意的正整数n都成立.
20.(本小题满分12分) 设函数.
(Ⅰ)当时,恒成立,求范围;
(Ⅱ)方程有唯一实数解,求正数的值.
20.【解析】(Ⅰ)当时, .
解得或(舍去).当时,,单调递增,当时,,单调递减 . 所以的最大值为.故.
(Ⅱ)方程即
解法1:设,解
得(<0舍去),
在单调递减,在单调递增,最小值为
因为有唯一实数解,有唯一零点,所以
由得,因为单调递增,且,所以 . 从而
解法2:分离变量
21. 在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(,0),B(-,0),直线PA与PB
的斜率之积为-.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合),求证:直线MQ过定点.
解:(1)由题知:·=-.
化简得+y2=1(y≠0).(4分)
(2)方法1:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:x=my+1,
代入+y2=1(y≠0)整理得(m2+2)y2+2my-1=0.(7分)
y1+y2=,y1y2=,
MQ的方程为y-y1=(x-x1),(10分)
令y=0,
得x=x1+=my1+1+=+1=2,
∴直线MQ过定点(2,0).(12分)
方法2:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:y=k(x-1),
代入+y2=1(y≠0)整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,(7分)
x1+x2=,x1x2=,
MQ的方程为y-y1=(x-x1),(10分)
令y=0,
得x=x1+=x1+==2.
∴直线MQ过定点(2,0).(12分)
22.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:.
解:(1)由得.
当即时,,所以在上单调递增.
当即时,由得;由得,
所以在上单调递减,在上单调递增.
(2)要证成立,
只需证成立,即证.
现证:.
设.则,
所以在上单调递减,在上单调递增.
所以.
因为,所以,则,
即,当且仅当,时取等号.
再证:.设,则.
所以在上单调递增,则,即.
因为,所以.当且仅当时取等号,
又与两个不等式的等号不能同时取到,
即,所以.