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- 2021-06-09 发布
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课时作业8 指数与指数函数
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2＋2x<0}，B＝，则A∩∁RB＝( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(－2，－1] D．[－1,0)
解析：因为A＝{x|－2b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
解析：由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.
答案：A
4．当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A．(1，) B.
C.∪(1，) D．(0,1)∪(1，)
解析：当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0且a≠1)，当a>1时，y＝ax是一个增函数，则有a2<2，可得－或a<－(舍)，故有0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．无法确定
解析：函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在负半轴上．而当x＝0时，y＝a0－b＝1－b，由题意得解得所以ab∈(0,1)．
答案：C
6．已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．[－3,0)
C．[－3，－1] D．{－3}
解析：当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x<0时，
f(x)∈，
所以[－8,1]，
即－8≤－<－1，即－3≤a<0.
答案：B
二、填空题
7．函数f(x)＝的值域为________．
解析：当x≥1时，f(x)＝logx≤0；当x<1时，
f(x)＝2x∈(0,2)，综上，f(x)∈(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
8．当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax＋2＋5的图象必过定点________．
解析：令x＋2＝0，得x＝－2，f(－2)＝a－2＋2＋5＝6，
即f(x)的图象过定点(－2,6)．
答案：(－2,6)
9．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)且f(1)＝9.则f(x)的单调递减区间是________．
解析：由f(1)＝9得a2＝9，∴a＝3.因此f(x)＝3|2x－4|，又∵g(x)＝|2x－4|的递减区间为(－∞，2]，∴f(x)的单调递减区间是(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
三、解答题
10．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝2x－x2；(2)y＝.
解：(1)显然定义域为R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，且y＝x为减函数．
∴2x－x2≥1＝.
故函数y＝2x－x2的值域为.
(2)由32x－1－≥0，得32x－1≥＝3－2，
∵y＝3x为增函数，
∴2x－1≥－2，即x≥－，
此函数的定义域为，
由上可知32x－1－≥0，∴y≥0.
即函数的值域为[0，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)试确定f(x)；
(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
∴
②÷①得a2＝4，又a>0且a≠1，
∴a＝2，b＝3，∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知()x＋()x－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤()x＋()x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝()x＋()x，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，
故所求实数m的取值范围是(－∞，]．
1．已知函数f(x)＝下列结论正确的是( )
A．函数f(x)为奇函数
B．f＝
C．函数f(x)的图象关于直线y＝x对称
D．函数f(x)在R上是增函数
解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，可知A，C，D均错．
答案：B
2．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
解析：由f(1－a)＝f(a－1)，1－a和a－1互为相反数，得e2(1－a)＝ea－(a－1)(1－a>0)，解得a＝，或e2(a－1)＝ea－(1－a)(a－1>0)，此方程无解，故a＝.
答案：
3．已知函数f(x)＝当t∈[0,1]时，f(f(t))∈[0,1]，则实数t的取值范围是________．
解析：因为t∈[0,1]，所以f(t)＝3t∈[1,3]，
又函数f(x)＝
所以f(f(t))＝－·3t.因为f(f(t))∈[0,1]，
所以0≤－·3t≤1，解得log3≤t≤1，
又t∈[0,1]，所以实数t的取值范围为.
答案：
4．已知函数f(x)＝是R上的奇函数．
(1)求m的值；
(2)设g(x)＝2x＋1－a.若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点．求实数a的取值范围．
解：(1)由函数f(x)是R上的奇函数可知，f(0)＝1＋m＝0，解得m＝－1.
(2)函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点．
即方程＝2x＋1－a至少有一个实根，
方程4x－a·2x＋1＝0至少有一个实根．
令t＝2x>0，则方程t2－at＋1＝0至少有一个正根．
令h(t)＝t2－at＋1，由于h(0)＝1>0，
所以只须解得a≥2.
所以a的取值范围为[2，＋∞)．
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