山西省长治市第二中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试卷 24页

‎2018—2019学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）‎ 一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1.若复数满足，则的虚部为（ ）‎ A. 5 B. C. D. -5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】由（1+i）z＝|3+4i|，‎ 得z，‎ ‎∴z的虚部为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎2.已知命题,，则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，‎ 则，，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3.. 函数y＝4x2单调递增区间是（ ）‎ A. （0，+∞） B. C. （，+∞） D. （，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，然后由y’＞0可得x的 范围，从而可求函数的单调递增区间．‎ ‎【详解】解析：y′＝8x，令y′＞0，解得x，‎ 则函数的单调递增区间为（，+∞）．‎ 故答案：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系的应用，属于基础试题．‎ ‎4.若随机变量满足，，则下列说法正确的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：随机变量满足，，‎ 则：，‎ 据此可得：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）‎ A. 150 B. 200 C. 300 D. 400‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．‎ ‎【详解】∵，，‎ 所以，‎ 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．‎ ‎6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用（万元） ‎ ‎4 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎5 ‎ 销售额（万元） ‎ ‎49 ‎ ‎26 ‎ ‎39 ‎ ‎54 ‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，‎ ‎∵数据的样本中心点在线性回归直线上，‎ 回归方程中的为9.4，‎ ‎∴42=9．4×3．5+a，‎ ‎∴=9．1，‎ ‎∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，‎ ‎∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5‎ 考点：线性回归方程 ‎7.已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：将圆的方程化为标准方程得，过点的最长弦为直径，所以；最短的弦为过点且垂直于该直径的弦，所以，且，四边形面积，故选B．‎ 考点：1、圆的标准方程；2、对角线垂直的四边形面积．‎ ‎8.函数y=sin2x的图象可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.‎ 详解：令， ‎ 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;‎ 因为时，，所以排除选项C，选D.‎ 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎9.如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，则（ ）‎ A. 33 B. 31 C. 17 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由简单的合情推理得：是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2n，所以P（n）＝2n﹣1，得解．‎ ‎【详解】设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n﹣1），‎ 则有P（n）＝2P（n﹣1）+1，‎ 则有P（n）+1＝2[P（n﹣1）+1]，又P（1）＝1，‎ 即是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，‎ 由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2n，所以P（n）＝2n﹣1，‎ 即P（4）＝24﹣1＝15，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了数列的递推公式及等比数列的通项公式，属中档题．‎ ‎10.用数字0，2，4，7，8，9组成无重复数字的六位数，其中大于420789的正整数的个数( )‎ A. 479 B. 180 C. 455 D. 456‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对满足的六位数分类：（1）十万位大于；（2）十万位等于，十万位等于四这一类还需要再细分.‎ ‎【详解】若十万位大于，则有个；若十万位等于，当万位大于时，有个，当万位等于千位不等于时有个，当万位等于千位等于时有个， 则一共有：个.选C.‎ ‎【点睛】排列组合问题中涉及到满足要求的几位数的个数时候，采用分类讨论比较方便，能精准的将满足要求的每类数利用排列数、组合数计算出来.‎ ‎11.在的展开式中常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，故可通过求展开式中的的系数来求常数项.‎ ‎【详解】因为，故，‎ 又的展开式中的系数为，故选A.‎ ‎【点睛】三项展开式的指定项的系数，可以利用二项式定理的推导方法求出指定项的系数，也可以把三项代数式变形为两项代数式，再利用二项式定理求出指定项的系数.‎ ‎12.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.‎ ‎（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；‎ ‎（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.‎ 则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，，故，，，由上面比较可知，故选A 考点：独立事件的概率,数学期望.‎ 二、填空题(把答案填在横线上.) ‎ ‎13.已知随机变量，则E(X)= ______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据根据二项分布的均值计算公式来计算即可.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ ‎【点睛】二项分布的均值与方差计算公式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎14.过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为______‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定焦点和虚轴写出直线的方程，与双曲线联立得到交点坐标，即可求弦长.‎ ‎【详解】因为，所以焦点坐标；取，则平行于虚轴的直线方程为，联立解得 ，则弦长为：.‎ ‎【点睛】对于双曲线而言，过焦点且平行于虚轴的弦就是通径，其长度等于.‎ ‎15.现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为__________．‎ ‎【答案】26‎ ‎【解析】‎ 分析：从选取的数学杂志的本数入手讨论即可。‎ 详解：若选取的三本书没有数学杂志，有1种选法 若选取的三本书有1本数学杂志，有种选法 若选取的三本书有2本数学杂志，有种选法 若选取的三本书有1本数学杂志，有种选法 故不同选法的种数为26‎ 点睛：本题主要考查分类加法原理和组合的简单应用，属于基础题。‎ ‎16.已知，则的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，则点在，点在上，分别画出和的图象，利用切点平行线，结合抛物线的定义，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】设点，则点在，点在上，‎ 分别画出和的图象，如图所示，‎ 函数的切线方程为，切点为，‎ 又由表示 由抛物线的定义，可得 又由焦点到直线的距离为，‎ 所以最小值为，‎ 即的最小值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的最值问题，其中解答中把函数的最值问题转化为函数 和图象上两点间的距离的最小值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎17.计算：‎ ‎（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据组合数的对称性计算；‎ ‎（2）将括号中内容拆分，一部分按定积分性质计算，另一部分使用定积分几何意义计算.‎ ‎【详解】（1）；‎ ‎（2），其中中是奇函数，所以 ；表示圆心在原点半径等于的圆在轴上方的面积，故.‎ ‎【点睛】（1）计算（）时，若为奇函数，则；若为偶函数，则.‎ ‎（2）组合数对称性：.‎ ‎18.若 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求 ‎【答案】(1) 72 ；(2) 1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求时，可通过二项展开式的通项去求解；‎ ‎（2）先观察式子特征，注意到可进行平方差变形；然后根据时的值来计算最终结果.‎ ‎【详解】（1）因为，所以；‎ ‎（2）‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 所以.‎ ‎【点睛】对于形式的展开式，奇次项系数和：，偶次项系数和：，所有项系数和：.‎ ‎19.2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：‎ 年龄段 人数（单位：人）‎ ‎180‎ ‎180‎ ‎160‎ ‎80‎ 约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.‎ ‎（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？‎ ‎（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列列联表，并回答能否有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？‎ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 ‎12‎ 中年 ‎5‎ 总计 ‎30‎ ‎（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎【答案】（1） ；（2）列联表见解析，没有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）第（1）问，直接利用分层抽样的定义求解.（2）第（2）问，利用随机变量的公式计算得到它的值，再查表下结论. （3）第（3）问，利用古典概型的概率公式解答.‎ 试题解析：‎ ‎ (1)抽出的青年观众为18人，中年观众12人 ‎（2）列联表如下：‎ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ 中年 ‎7‎ ‎5‎ ‎12‎ 总计 ‎13‎ ‎17‎ ‎30‎ ‎，‎ ‎∴没有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关.‎ ‎（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为，其余两人记为，则从中选两人，一共有如下15种情况：‎ 抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，‎ 所以.‎ ‎20.已知圆：，点，直线.‎ ‎(1)求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；‎ ‎（2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上的任一点，都有为一常数，试求出所有满足条件的点的坐标.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所求直线与已知直线垂直,可设出直线方程,再根据直线与圆相切,所以有(其中表示圆心到直线的距离),可得到直线方程；（2）方法一:假设存在这样的点,由于的位置不定,所以首先考虑特殊位置,①为圆与轴左交点；②为圆与轴右交点这两种情况,由于对于圆上的任一点，都有为一常数,可得①②两种情况下的相等, 可得到,然后证明在一般的下,为一常数.方法二:设出,根据对于圆 上的任一点，都有为一常数,设出以及该常数,通过,代入的坐标化简,转化为恒成立问题求解.‎ ‎【详解】（1）已知直线变形为，因为所求直线与已知直线垂直，‎ 所以设所求直线方程为，即.‎ 由直线与圆相切，可知，其中表示圆心到直线的距离，‎ 则，得，故所求直线方程为.‎ ‎（2）假设存在这样的点，‎ 当为圆与轴左交点时，，‎ 当为圆与轴右交点时，‎ 依题意，，解得（舍去），或.‎ 下面证明：点对于圆上任一点，都有为一常数.‎ 设，则.‎ ‎，‎ 从而为常数.‎ 方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，‎ 设于是，由于在圆上,所以,代入得，‎ ‎，‎ 即对恒成立，‎ 所以，解得或（舍去），‎ 故存在点对于圆上任一点，都有为一常数.‎ 考点：直线垂直,直线与圆的位置关系;讨论特殊点的位置关系,恒成立问题的转化.‎ ‎21.某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元,现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表:‎ 二级滤芯更换频数分布表：‎ 二级滤芯更换的个数 ‎5‎ ‎6‎ 频数 ‎60‎ ‎40‎ 以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.‎ ‎（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；‎ ‎（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求的分布列及数学期望；‎ ‎（3）记，分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定，的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）=23，=5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据图表，若一套净水系统在使用期内需要更换各级滤芯总个数恰好为，则一级个滤芯，二级个滤芯，分别算出相应的概率，一次更换为2个一级滤芯和1个二级滤芯，从而得到概率.‎ ‎（2）由柱状图，一级过滤器需要更换的滤芯个数，分别得到概率，然后得到可能取的值，算出每种情况的概率，写出分布列及数学期望.‎ ‎（3）因为且，则可分为两类，即和，分别计算他们的数学期望，然后进行比较，选取较小的一组.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换个滤芯，二级过滤器需要更换个滤芯。设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为”为事件.‎ 因为一个一级过滤器需要更换个滤芯的概率为，二级过滤器需要更换个滤芯的概率为，‎ 所以.‎ ‎（2）由柱状图可知，‎ 一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为，，的概率分别为，，.‎ 由题意，可能的取值为，，，，，并且 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎.‎ ‎（3）【解法一】‎ 因为，，若，，‎ 则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为；‎ 若，，‎ 则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 ‎.‎ 故，的值分别为，.‎ ‎【解法二】因为，，若，，‎ 设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为（单位：元），则 ‎.‎ 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为（单位：元），则 ‎，.‎ 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 ‎.‎ 若，，‎ 设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为（单位：元），则 ‎.‎ 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为（单位：元），则 ‎.‎ 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 ‎.‎ 故，的值分别为，.‎ ‎【点睛】本题题目较长，信息量比较大，需要对条件中的信息重新整理分类，考查了直方图和表格求概率，独立重复试验的概率和分布列，以及利用数学期望解决实际问题.属于中档题.‎ ‎22.已知函数。‎ ‎（1）若是曲线切线,求的值；‎ ‎（2）若,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 法一：（1）根据题意，设切点的坐标为（x1，y1），求出函数的导数，由导数的几何意义分析可得，解可得a的值，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，f（x）≥1+x+lnx即x（e2x﹣a）≥1+x+lnx，结合x的取值范围变形可得a+1≤e2x，设F（x）＝e2x，利用导数分析F（x）在（0，+∞）上的最小值，据此分析可得答案．‎ 法二：（1）同解法一. （2）设，求导后，先研究a=1时导函数的最小值，从而得到结论成立，再研究a>1和a<1时情况，利用变换主元的方法进行放缩后分别说明成立及不成立.‎ 法三：（1）同解法一.‎ ‎（2）先考查函数，通过导函数证明，利用此引理进行放缩，分 及去证明，分别去证明成立与说明不成立，得到a的范围.‎ ‎【详解】解法一：（1）因为，所以，‎ 设直线与的图象的切点为，‎ 则.①‎ 因为切点既在切线上又在曲线上，所以 由①②③得.‎ ‎（2）由题意得，即，‎ 因为，所以,‎ 设，则.‎ 考查函数，‎ 因为，所以在单调递增.‎ 又因为，且，‎ 故存在，使得，即， ‎ 所以当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增.‎ 所以.‎ 由题意得，.令，取对数得，④‎ 由，得，⑤…… ‎ 由④⑤得，‎ 设函数，则有， ‎ 因为在单调递增，‎ 所以，即， ‎ 所以，故，解得.‎ 故的取值范围是.‎ 解法二：（1）同解法一.‎ ‎（2）设，，‎ 则.‎ ‎①当时，令，‎ ‎， ‎ 设，.因为，‎ 所以在单调递增，又因为，，‎ 故存在，使得，‎ 所以，两边取对数得.,‎ 所以当，，，单调递减.‎ ‎，，，单调递增.‎ 所以.‎ 即时，有.所以符合题意，‎ ‎②当时，因为，‎ 所以，‎ 由①知，存在，使得，‎ 所以不符合题意.‎ ‎③当时，，符合题意.，‎ 综上，的取值范围是.‎ 解法三：（1）同解法一 ‎（2）考查函数，因为，所以当时，，‎ 当时，；当时，，‎ 所以在单调递减，在单调递增.‎ 所以.‎ ‎①当，即时，因为，‎ 所以，符合题意；‎ ‎②当，即时，设，‎ 因为，所以， ‎ 令，考察.‎ 因为，所以在单调递增.‎ 因为，，‎ 故存在，使得，即， ‎ 所以存在，使得，‎ 因为，故存在，使得，‎ 所以不符合题意.‎ 综上，取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数分析函数的最值以及计算切线的方程，考查了利用导数研究函数的恒成立问题，关键是掌握导数的定义，正确计算函数的导数，属于综合题．‎ ‎ ‎